Bases de um Espaço Vetorial

Coordenadas de um Vetor numa Base

Podemos generalizar o referido no final da última página para espaços vetoriais, definindo o seguinte:

Definição

Considerando um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{K}$ , um conjunto $\mathcal{B} = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} \subset V$ diz-se uma base de $V$ se e só se $\mathcal{B}$ é linearmente independente e gerador de $V$ : $L(\mathcal{B}) = V$ , portanto.

Os conjuntos geradores de espaços como $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ são, claro, as respetivas bases canónicas: no caso de $\mathbb{R}^m$ , por exemplo, temos $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, \cdots, e_m\}$ , onde $e_i$ é o vetor unitário na direção $i$ .

Coordenadas de um Vetor numa Base

Considerando um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{K}$ e um conjunto $\mathcal{B} = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} \subset V$ tal que $L(\mathcal{B}) = V$ , existirá um conjunto de escalares $\{c_1, c_2, \cdots, c_n\} \subset \mathbb{K}$ onde, $\forall u \in V$ , existe necessariamente um vetor $v' \in \mathbb{K}^n$ (único) em que:

v' = (c_1, c_2, \cdots, c_n), \quad u = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = \sum_{i=1}^n v'_i v_i

No fundo, significa que podemos representar qualquer vetor $u \in V$ como uma combinação linear de vetores da base $\mathcal{B}$ - fisicamente, estamos a transformar a representação de um vetor em coordenadas cartesianas para outro sistema de coordenadas, neste caso, o sistema de coordenadas definido pelos vetores da base $\mathcal{B}$ .

Dizemos que estes escalares, correspondentes a $v'$ , correspondem às coordenadas de $u$ na base $\mathcal{B}$ , representando a posição de $u$ no espaço vetorial $V$ . Podemos representar esta informação da seguinte forma:

(u)_{\mathcal{B}} = (c_1, c_2, \cdots, c_n) \in \mathbb{K}^n

Note-se que a correspondência $u \mapsto (u)_{\mathcal{B}}$ , $V \mapsto \mathbb{K}^n$ , é uma transformação que preserva a adição e a multiplicação por escalares:

(u + v)_{\mathcal{B}} = (u)_{\mathcal{B}} + (v)_{\mathcal{B}} \quad \forall u, v \in V \\ (\lambda u)_{\mathcal{B}} = \lambda (u)_{\mathcal{B}} \quad \forall u \in V, \lambda \in \mathbb{K}