Determinante e Traço

Traço de uma Matriz

O traço de uma matriz quadrada corresponde à soma dos elementos da diagonal principal. Pode possuir várias interpretações físicas e geométricas consoante o contexto em que o utilizamos, interpretações essas que, por simplicidade, não abordaremos aqui (nem são necessárias para um bom aproveitamento na disciplina). De qualquer maneira, quem tiver o interesse mais aguçado pode espreitar esta e outras threads para entender melhor os vários cenários em que este conceito pode ser útil.

Formalmente, escrevemos:

tr(A)=i=1naii.\op{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}.

Possui um conjunto de propriedades particularmente útil:

  • tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\op{tr}(A + B) = \op{tr}(A) + \op{tr}(B)
  • tr(kA)=ktr(A),kR\op{tr}(kA) = k\op{tr}(A), k \in \R
  • tr(AB)=tr(BA)\op{tr}(AB) = \op{tr}(BA)

A título de exemplo:

A=[123456789]tr(A)=1+5+9=15B=[702030201]tr(B)=7+3+1=11A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}_{\op{tr}(A) = 1 + 5 + 9 = 15} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\op{tr}(B) = 7 + 3 + 1 = 11}
A+B=[1+72+03+24+05+36+07+28+09+1]tr(A+B)=15+11=26A + B = \begin{bmatrix} 1 + 7 & 2 + 0 & 3 + 2 \\ 4 + 0 & 5 + 3 & 6 + 0 \\ 7 + 2 & 8 + 0 & 9 + 1 \end{bmatrix}_{\op{tr}(A + B) = 15 + 11 = 26}

Matriz Transposta

É usual introduzir o conceito da transposição matricial quando se aborda o traço de uma matriz. Dizemos que a matriz transposta de AA, denotada por ATA^T, é a matriz obtida tal que:

AijT=Aji,i,j{1,,n}.A^T_{ij} = A_{ji}, \forall i, j \in \{1, \dots, n\}.

Colocado em linguagem corrente, a matriz transposta obtém-se trocando colunas e linhas de cada entrada da matriz original. Segue-se um exemplo abaixo:

A=[123456789],AT=[147258369]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}

Uma matriz dir-se-á simétrica, claro, caso A=ATA = A^T. As matrizes identidade e nula são exemplos de matrizes simétricas!

Voltando à questão do traço, temos que para toda a matriz quadrada AA, tr(A)=tr(AT)\op{tr}(A) = \op{tr}(A^T). Esta definição é relativamente simples de compreender: a diagonal principal fica sempre intacta, com as entradas a "rodar" sobre a mesma, pelo que o traço permanece inalterado.

A matriz transposta possui ainda algumas propriedades relevantes:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A - transpondo a transposta, obtemos a matriz original;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T - a transposta de uma soma matricial é a soma das transpostas;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T - a transposta de um produto matricial é o produto das transpostas, pela ordem inversa;
  • se AA for invertível, (A1)T=(AT)1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} - a transposta da inversa é a inversa da transposta.

A prova para a terceira propriedade pode ser encontrada aqui.

Determinante de uma Matriz

Essencialmente, o determinante de uma matriz permite-nos verificar quando é que uma qualquer matriz quadrada AA possui inversa: caso este seja 00, A1A^{-1} não existe. Em qualquer outro caso, podemos afirmar que AA tem inversa. Para além desta propriedade (fulcral, diga-se de passagem), existe uma noção "espacial" associado ao conceito de determinante, abordado em contextos mais teóricos (que não serão referidos nesta página). Usualmente escrevemo-lo de duas formas, det(A)\op{det}(A) ou A|A|.

Propriedades

Como referido acima, o determinante pretende determinar se uma matriz quadrada tem ou não inversa. Ora, esta definição não é válida por mero acaso: o determinante possui um conjunto de propriedades bem definidas, que nos permitem fazer esta afirmação.

A primeira propriedade (e a mais simples) é que o determinante da matriz identidade é 11.

Posteriormente, temos ainda que, obtendo uma matriz BB a partir de AA, podemos afirmar:

  • caso se obtenha BB multiplicando uma linha de AA por uma constante α\alpha, B=αA|B| = \alpha |A|. Note-se que αA\alpha A corresponde à matriz MM tal que todas as entradas de AA foram multiplicadas por uma constante α\alpha - assim sendo, fará sentido que M=αnA|M| = \alpha^n |A|;
  • caso se obtenha BB somando a uma linha de AA o produto de uma constante α\alpha por outra linha de AA, B=A|B| = |A|;
  • por fim, caso se obtenha BB trocando duas linhas de AA, B=A|B| = - |A|.

É ainda igualmente relevante afirmar que o determinante da matriz transposta é igual ao da matriz original, AT=A|A^T| = |A|. A prova pode ser encontrada aqui.

Até agora, tudo relativamente simples, não havendo implicações diretas entre estas propriedades e a primeira afirmação deste trecho. Continuemos:

  • toda a matriz com duas linhas iguais tem determinante nulo;
  • toda a matriz com uma linha nula tem determinante nulo;
  • se AA é diagonal, triangular, ou está em escada de linhas, A=i=1naii|A| = \prod_{i=1}^n a_{ii}·

Note-se que as primeiras propriedades imediatamente acima aplicam-se tanto a linhas como colunas, já que, como afirmado anteriormente, A=AT|A| = |A^T|.

Por fim, notar que AB=AB=BA|AB| = |A||B| = |BA|, e que o determinante da inversa é o inverso do seu determinante: A1=1A|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}.

Após abordadas tantas propriedades e conceitos associados ao determinante, será agora interessante aprender a calculá-lo. Para tal, vamos começar por delinear um algoritmo para o caso geral, abordando posteriormente casos particulares em que podemos simplificar o cálculo.

Cálculo do Determinante - Caso Geral

Dadas uma matriz quadrada AA e uma matriz LL em escada de linhas obtida a partir de AA, podemos afirmar que

kR\{0}:det(A)=kdet(L)=kl11l22lnn,\exists_{k \in \R \backslash \{0\}}: \op{det}(A) = k \op{det}(L) = k l_{11} l_{22} \cdots l_{nn},

onde aqui l11,l22,,lnnl_{11}, l_{22}, \ldots, l_{nn} correspondem aos pivôs de LL.

Note-se que, utilizando a eliminação de Gauss-Jordan para obter LL, vamos poder calcular kk iterativamente, consoante as transformações elementares que formos aplicando a AA. Segue-se um exemplo relativamente simples abaixo:

A=393002221=L323L1393002041=L2L3393041002=(342)=24|A| = \begin{vmatrix} 3 & 9 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_3 - \frac{2}{3}L_1}{=} \begin{vmatrix} 3 & 9 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -4 & -1 \end{vmatrix} \overset{L_2 \leftrightarrow L_3}{=} \smartcolor{orange}{-}\begin{vmatrix} 3 & 9 & 3 \\ 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot -4 \cdot 2) = 24

Note-se que:

  • com a primeira transformação, kk permanece neutro, 11, já que tal como referido mais acima, transformar uma linha na sua soma pelo produto de outra linha por uma constante não altera o determinante;
  • com a segunda transformação, kk passa a ser negativo, já que, como referido mais acima, trocar duas linhas altera o sinal do determinante.

Posteriormente, já com AA transformada em LL, em escada de linhas, podemos calcular o determinante diretamente.

Determinante - Matrix 2×22 \times 2

As matrizes que vamos sempre querer ao calcular determinantes são matrizes 2×22 \times 2. devido à simplicidade do seu cálculo, existindo inclusive uma fórmula bastante fácil de decorar para este propósito. Para qualquer matriz quadrada 2×22 \times 2, temos que:

abcd=adbc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Abaixo encontra-se uma derivação interessante para este resultado.

Regra de Laplace

Ora, obviamente não vamos querer sempre calcular determinantes de matrizes 2×22 \times 2. Para calcular o determinante de matrizes de dimensões superiores, podemos recorrer a todo um conjunto de regras e algoritmos - esta secção abordará uma delas, a Regra de Laplace.

Conceitos-Chave

A regra de Laplace requer domínio prévio sobre um pequeno conjunto de conceitos que nos vão ser particularmente úteis: submatriz e cofator.

Dizemos que a submatriz AijA_{ij} de uma matriz AA corresponde à matriz obtida a partir de AA, eliminando as respetivas linha ii e coluna jj. Segue-se um exemplo abaixo:

A=[123456789],A12=[4679]A = \begin{bmatrix} \smartcolor{red}{1} & \smartcolor{red}{2} & \smartcolor{red}{3} \\ 4 & \smartcolor{red}{5} & 6 \\ 7 & \smartcolor{red}{8} & 9 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}

Temos ainda que o cofator CijC_{ij} de uma matriz AA corresponde ao seguinte produto:

Cij=(1)i+jdet(Aij)C_{ij} = (-1)^{i+j} \op{det}(A_{ij})

A título de exemplo, dada a matriz AA acima, temos que:

C12=(1)1+2det(A12)=(1)3det(A12)=4679=(4967)=12\begin{aligned} C_{12} &= (-1)^{1+2} \op{det}(A_{12})\\ &= (-1)^{3} \op{det}(A_{12})\\ &= - \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}\\ &= - (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7)\\ &= 12 \end{aligned}

Explorados estes conceitos, temos agora tudo o que precisamos para definir a regra de Laplace, com formulação relativamente simples:

k=1,2,,n:det(A)=j=1nakjckj=i=1naikcik.\forall_{k = 1, 2, \cdots, n}: \op{det}(A) = \sum_{j=1}^n a_{kj} c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ik} c_{ik}.

Posto em linguagem corrente, temos que o determinante de uma matriz AA pode ser obtido, fixando uma qualquer linha ou coluna xx, somando o produto de cada entrada respetiva a xx pelo cofator respetivo. Se ainda assim parecer confuso, o exemplo abaixo provavelmente permitirá dissipar algumas dúvidas:

Exemplo

Consideremos a seguinte matriz AA:

[003006789011121314016]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 0 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 0 & 16 \end{bmatrix}

Recorrendo à regra de Laplace, podemos calcular o determinante de AA fixando a linha 11:

det(A)=j=14a1jc1j=0C11+0C12+3C13+0C14=3C13=3(1)1+3det(A13)=3det(A13)=30689012131416\begin{aligned} \op{det}(A) &= \sum_{j=1}^4 a_{1j} c_{1j}\\ &= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}\\ &= 3 \cdot C_{13}\\ &= 3 \cdot (-1)^{1+3} \op{det}(A_{13})\\ &= 3 \cdot \op{det}(A_{13})\\ &= 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 & 8 \\ 9 & 0 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{vmatrix} \end{aligned}

Vamos novamente aplicar a regra de Laplace, fixando agora a linha 22:

det(A)=3(9C21+0C22+12C23)=3(9det(A21)12det(A23))=3(9681416+12061314)=3(9(616814)+12(014613))=3(144936)=3(1080)=3240\begin{aligned} \op{det}(A) &= 3 (9 \cdot C'_{21} + 0 \cdot C'_{22} + 12 \cdot C'_{23})\\ &= 3 (- 9 \cdot \op{det}(A'_{21}) - 12 \cdot \op{det}(A'_{23}))\\ &= -3 (9 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 14 & 16 \end{vmatrix} + 12 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 13 & 14 \end{vmatrix})\\ &= -3 (9 \cdot (6 \cdot 16 - 8 \cdot 14) + 12 \cdot (0 \cdot 14 - 6 \cdot 13))\\ &= -3 (- 144 - 936)\\ &= 3 (1080)\\ &= 3240 \end{aligned}

Ora, empiricamente conseguimos perceber que quantas mais entradas nulas tiver a linha/coluna que escolhermos, mais rapidamente calculamos o valor pretendido (já que podemos só afirmar que o produto tem valor 00). É, assim, da maior importância que façamos uma escolha criteriosa da linha/coluna que vamos fixar, por forma a minimizar o trabalho que temos pela frente.

Matriz dos Cofatores

Pegando no conceito de cofator abordado mais acima, podemos introduzir a noção de matriz dos cofatores: dada uma matriz AA, n×nn \times n, a respetiva matriz dos cofatores é uma matriz de dimensões iguais, tal que a respetiva entrada ijij é dada por CijC_{ij}. Note-se, claro, que a soma de qualquer linha/coluna desta matriz é igual ao determinante da matriz AA.

Dada a matriz dos cofatores, podemos calcular a inversa de uma matriz AA da seguinte forma:

A1=1det(A)cof(A)TA^{-1} = \frac{1}{\op{det}(A)} \cdot \op{cof}(A)^T

Recorrendo a esta fórmula, temos agora uma maneira bastante simples de calcular a inversa de uma matriz 2×22 \times 2:

[abcd]1=1adbc[dbca]\begin{bmatrix} \smartcolor{red}{a} & \smartcolor{orange}{b} \\ \smartcolor{orange}{c} & \smartcolor{red}{d} \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \cdot \begin{bmatrix} \smartcolor{red}{d} & \smartcolor{green}{-}\smartcolor{orange}{b} \\ \smartcolor{green}{-}\smartcolor{orange}{c} & \smartcolor{red}{a} \end{bmatrix}

Note-se que o determinante de uma matriz 2×22 \times 2 é dado por adbcad - bc, pelo que o lado esquerdo do produto é relativamente óbvio. É igualmente trivial demonstrar que a transposta da matriz dos cofatores de uma matriz 2×22 \times 2 corresponde precisamente à matriz à direita.

Regra de Cramer

A regra de Cramer vai permitir-nos resolver sistemas de equações lineares recorrendo a uma fórmula, em vez de ter de usar o método de Gauss-Jordan, iterativo. Funciona exclusivamente para matrizes AA invertíveis, retornando, em caso afirmativo, a única solução possível para o sistema. Para tal, utiliza a igualdade referida acima, A1=1det(A)cof(A)TA^{-1} = \frac{1}{\op{det}(A)} \cdot \op{cof}(A)^T:

Ax=bx=A1bx=1det(A)cof(A)Tb\begin{aligned} Ax &= b\\ x &= A^{-1}b\\ x &= \frac{1}{\op{det}(A)} \cdot \op{cof}(A)^T b \end{aligned}

Esta fórmula permite-nos afirmar que cada uma das entradas de xx, xkx_k, serão dadas pela seguinte expressão (com a respetiva demonstração abaixo):

xk=det(matriz obtida de A substituindo a coluna k por b)det(A)x_k = \frac{\op{det}(\text{matriz obtida de $A$ substituindo a coluna $k$ por $b$})}{\op{det}(A)}
Demonstração

Ora, temos que:

cof(A)T[b1bn]=[c11b1+c21b2++cn1bnc1nb1+c2nb2++cnnbn]\op{cof}(A)^T \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} b_1 + c_{21} b_2 + \cdots + c_{n1} b_n \\ \vdots \\ c_{1n} b_1 + c_{2n} b_2 + \cdots + c_{nn} b_n \end{bmatrix}

Assim sendo, podemos afirmar que cada entrada de xx, xkx_k, será dada por:

xk=c1kb1+c2kb2++cnkbndet(A)x_k = \frac{c_{1k} b_1 + c_{2k} b_2 + \cdots + c_{nk} b_n}{\op{det}(A)}

É possível demonstrar (embora, por questões de brevidade, não seja feito aqui) que o numerador do quociente acima é equivalente ao determinante da matriz obtida de AA substituindo a coluna kk por bb:

a11a1k1b1a1k+1a1na21a2k1b2a2k+1a2nan1ank1bnank+1ann\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 k - 1} & b_1 & a_{1 k + 1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 k - 1} & b_2 & a_{2 k + 1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n k - 1} & b_n & a_{n k + 1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

Obtida esta fórmula, podemos resolver facilmente um sistema como o seguinte:

{2x1+3x2=13x1+4x2=1\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 &= 1 \\ 3x_1 + 4x_2 &= 1 \end{cases}
Exemplo - Resolução

Aqui, temos que:

A=[2334],b=[11]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} \smartcolor{orange}{1} \\ \smartcolor{orange}{1} \end{bmatrix}

Note-se que o determinante de AA é 1-1, pelo que podemos aplicar a regra de Cramer para obter a solução do sistema:

x1=13141=1,x2=21311=1x_1 = \frac{\begin{vmatrix}\smartcolor{orange}{1} & 3 \\\smartcolor{orange}{1} & 4\end{vmatrix}}{-1} = -1, \quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix}2 & \smartcolor{orange}{1} \\3 & \smartcolor{orange}{1}\end{vmatrix}}{-1} = 1
x=[11]x = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}