Núcleo de uma Matriz

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Espaço Nulo de uma Matriz

Definição

Seja $A$ uma matriz, o espaço nulo de uma matriz são todos os vetores $v$ que satisfazem a condição

A\vec v = \vec 0

Exemplo

Considerando a seguinte matriz

A = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

queremos descobrir $\operatorname{Nul} A$ .

Começamos por colocar a matriz em escada de linhas:

\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Existe uma variável livre nesta matriz (na última linha), que vamos chamar de $c$ , pelo que podemos escrever o seguinte:

\operatorname{Nul} A = \left\{\left(\frac{1}{2}c; -\frac{1}{2} c; c \right) : c \in \R \right\}

Esta é possivelmente a passagem mais confusa, que precisa de uma melhor explicação. O que se fez aqui foi converter a matriz num sistema:

\begin{cases} a = \frac{1}{2}c\\ b = -\frac{1}{2}c\\ c \in \R \end{cases}

Abaixo estão mais alguns exemplos desta passagem para ser fácil de perceber.

Finalmente, se colocar-mos $c$ em "evidência", obtemos a forma de um espaço linear

\operatorname{Nul} A = \left\{c\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; 1 \right) : c \in \R \right\}

e podemos finalmente escrever (e simplificar, multiplicando por 2 todas as componentes do(s) vetor(es))

\operatorname{Nul} A = \mathcal{L}\left\{\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; 1 \right)\right\} = \mathcal{L}\left\{\left(1; -1; 2 \right)\right\}

Mais exemplos

\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathcal{L} \{\empty \}

pois não existe nenhuma linha nula

\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \left\{\left(-2c; c; c \right) : c \in \R \right\} = \mathcal{L} \left\{ (-2, 1, 1) \right\}

\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \left\{\left(-\frac{1}{2}b; b \right) : b \in \R \right\} = \mathcal{L} \left\{ (1, -2) \right\}

\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \left\{\left(-2b + c; b; c \right) : b,c \in \R \right\} = \mathcal{L} \left\{ (-2; 1; 0); (1 ; 0 ; 1) \right\}

Após prática, é possível fazer estes passos em simultâneo, saltando os passos intermédios.