Operações com Matrizes

Soma de Matrizes e Produto de uma Matriz por um Escalar
Produto Matricial
Matriz Identidade
Matriz Elementar
Matrizes Invertíveis
- Algoritmo de Gauss-Jordan
Equações Matriciais

Como definições iniciais auxiliares, atente-se nas seguintes notações:

$[A]_{ij}$ corresponde à entrada na linha $i$ , coluna $j$ da matriz $A$ .
O conjunto das matrizes $m \times n$ é representado por $\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ .

Soma de Matrizes e Produto de uma Matriz por um Escalar

Tanto a soma de matrizes como o produto de uma matriz por um escalar são das operações mais simples que vamos encontrar em Álgebra Linear, também devido à sua semelhança com operações que já conhecemos do secundário.

Tendo duas matrizes $A$ e $B$ tal que

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \text{ e } B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}

Dizemos que a matriz-resultado da sua soma, $A + B$ , é a seguinte matriz:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}

Note-se que a operação pode ser feita com um número arbitrário de matrizes, seguindo as propriedades da soma nos reais já conhecidas: tendo $A + B + C$ , podemos escrever $A + (B + C)$ , somando assim $A$ à matriz $B + C$ .

O produto de uma matriz por um escalar, $\alpha \in \mathbb{R}$ , também não tem nada que saber: corresponde apenas à multiplicação de todas as entradas de $A$ por $\alpha$ .

\alpha A = \begin{bmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \cdots & \alpha a_{1n} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \cdots & \alpha a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \alpha a_{m2} & \cdots & \alpha a_{mn} \end{bmatrix}

Propriedades

Podemos, claro, definir algumas propriedades quanto às operações referidas acima. Note-se que apesar de muitas das propriedades das operações nos reais transitarem para as operações no espaço matricial, tal não acontece sempre! Não devemos, portanto, assumir sem segurança que podemos recorrer a todas as propriedades que vimos no secundário.

A comutatividade, $A + B = B + A$ , e a associatividade, $A + (B + C) = (A + B) + C$ e $(\alpha\beta)A = \alpha(\beta A)$ , são válidas para este conjunto de operações, com provas relativamente triviais. Mais ainda, podemos afirmar que a propriedade distributiva se verifica, $\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B$ e $(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A$ .

Podemos ainda afirmar que existe o elemento neutro, que na soma corresponde à matriz nula: tendo uma matriz $A$ , $m \times n$ , dizemos que a respetiva matriz nula é uma matriz $0$ , $m \times n$ , completamente preenchida por zeros, tal que $A + 0 = A$ .

As noções de simétrico e subtração transitam de igual forma dos reais.

Produto Matricial

O produto de matrizes é uma operação relativamente simples, mas que requer alguma prática para a sua interiorização.

Considerando duas matrizes $A$ e $B$ , respetivamente $m \times n$ e $n \times p$ , tal que

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \text{ e } B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{bmatrix}

temos que o respetivo produto matricial, $A \times B$ , corresponde a uma matriz $m \times p$ , onde o valor de cada uma das suas entradas é dada pela soma seguinte:

[AB]_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}

O excerto apresentado de seguida poderá ajudar a compreender melhor o que está de facto a acontecer:

Exemplo - Multiplicação Matricial

O produto matricial só pode ser realizado caso o número de colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita. Isto impede, por exemplo, que o produto matricial goze da propriedade comutativa.

Podemos, por exemplo, pensar no excerto acima e perceber que só funciona porque o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita: caso a matriz à direita tivesse três linhas, por exemplo, tentava-se multiplicar cada linha por cada coluna, mas havendo apenas 2 elementos por linha na matriz à esquerda, o terceiro elemento das colunas da matriz à direita ia ficar "sem par", invalidando assim a operação.

O produto de matrizes goza das propriedades associativa e distributiva:

$(AB)C = A(BC)$
$\alpha (AB) = (\alpha A)(B) = A(\alpha B)$
$A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$

Note-se, como foi referido anteriormente, que não goza da propriedade comutativa.

Por fim, é relevante realçar que a lei do anulamento do produto, presente nos reais, não se aplica aqui: tendo o produto matricial $AB$ , não é obrigatório que pelo menos uma das matrizes corresponda à matriz nula para o produto também o ser.

Matriz Identidade

Foi referido anteriormente o elemento neutro da soma de matrizes, a matriz nula. Tal como nos produto dos reais, existe também no produto matricial um elemento neutro, a matriz identidade.

A matriz identidade é dos elementos mais simples que vamos abordar nesta cadeira: uma matriz quadrada, isto é, $m \times m$ , onde todos os elementos são iguais a zero, exceto os elementos na diagonal, que são iguais a um.

I_m = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Sendo o elemento neutro do produto de matrizes, temos, claro, que $I_m \times A = A \times I_m = A$ .

Matriz Elementar

Foi referida anteriormente a noção de transformação elementar, que nos permitia obter matrizes equivalentes através de pequenas operações intermédias. O nome "elementar" advém das matrizes elementares, matrizes obtidas através de uma única operação, as tais transformações elementares. São exemplos as seguintes matrizes:

\begin{array}{ccc} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \smartcolor{orange}{1} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \smartcolor{green}{1} \\ 0 & \smartcolor{green}{1} & 0 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \smartcolor{blue}{-1} \end{bmatrix} \\ L_2 + L_1 & L_2 \leftrightarrow L_3 & -L_3 \end{array}

Temos ainda que, dadas uma matriz elementar $E$ e uma qualquer matriz $A$ , a matriz $EA$ corresponde precisamente à aplicação da transformação elementar correspondente a $E$ à matriz $A$ :

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \smartcolor{orange}{1} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} & \cdots & a_{1n} + a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \smartcolor{green}{1} \\ 0 & \smartcolor{green}{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \smartcolor{blue}{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \cdots & -a_{3n} \end{bmatrix}

Podemos daqui retirar que, sendo $EA$ o resultado de aplicar a transformação elementar correspondente a $E$ à matriz $A$ , $E_k \cdots E_1 A = L$ corresponderá a uma possível sequência de $k$ transformações elementares aplicadas a $A$ , com resultado $L$ - é isso, aliás, que acontece quando tentamos colocar $A$ sob a forma de escada de linhas!

Exemplo

É frequentemente pedido em exercícios que, dada uma matriz $A$ , cheguemos a uma matriz em escada de linhas equivalente, $L$ , e que indiquemos a sequência de transformações elementares, $B = E_k \cdots E_1$ , que permitiram obter $L$ . Temos, claro, que a sequência $E_k \cdots E_1$ terá início na matriz identidade, $I$ , pelo que podemos resolver o exercício da seguinte forma:

\underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{A|I} \underrightarrow{L_1 \leftrightarrow L_2} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{E_1 A|E_1 I} \underrightarrow{L_3 - L_2} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{E_2 E_1 A|E_2 E_1}

Note-se que à direita vamos formando $B$ , a matriz correspondente à sequência de transformações elementares, e à esquerda $L$ , a matriz equivalente a $A$ sob a forma de escada de linhas.

Por fim, resta realçar que, dada uma matriz $L$ em escada de linhas, existe uma sequência de matrizes elementares $E_k \cdots E_1$ tal que $E_k \cdots E_1 L = I$ .

Matrizes Invertíveis

Definição

Uma matriz quadrada $A$ diz-se invertível caso exista uma matriz $B$ tal que $AB = BA = I$ .
$B$ será, caso exista, única para $A$ , designando-se inversa de $A$ , $A^{-1}$ .

Note-se que a matriz nula é o caso mais simples de uma matriz não invertível, já que o seu produto por qualquer outra matriz será necessariamente a matriz nula - nunca a matriz identidade. Mais ainda, qualquer matriz com uma linha ou coluna nula será também não invertível, já que o seu produto por qualquer outra matriz terá uma linha ou coluna também nula, impossibilitando assim a obtenção da matriz identidade. A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Propriedades

A matriz inversa de uma qualquer matriz elementar $E$ é a matriz elementar correspondente à transformação elementar "oposta" à que leva a $E$ . Seguem-se alguns exemplos:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}; \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}

A inversa da inversa é a própria matriz: $(A^{-1})^{-1} = A$ : sabemos, por definição, que

A^{-1} A = A A^{-1} = I,

pelo que tanto temos $A^{-1}$ sendo a inversa de $A$ como o contrário.

Por fim, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ é outra propriedade com que vamos contactar bastante durante a cadeira. Podemos prová-lo da seguinte forma (recorrendo à propriedade associativa):

\begin{aligned} (B^{-1} A^{-1}) (AB) &= B^{-1} (A^{-1} A)B \\ &= B^{-1} I B \\ &= (B^{-1} I) B \\ &= B^{-1} B \\ &= I \end{aligned}

Generalizando, e utilizando uma prova semelhante, podemos afirmar que:

(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}

Algoritmo de Gauss-Jordan

Abordámos acima a invertibilidade matricial. Não vimos, contudo, como podemos chegar (algoritmicamente) à inversa de uma matriz. O algoritmo de Gauss-Jordan vai ajudar-nos nisso mesmo.

O algoritmo de Gauss-Jordan assenta em duas proposições fundamentais:

Proposições

Dada uma matriz $A$ , $m \times m$ , caso exista uma sequência de matrizes elementares $E_1, \cdots, E_k$ e uma matriz $L$ em escada de linhas com menos de $k$ pivôs tal que

E_k \cdots E_2 E_1 A = L,

podemos afirmar que $A$ não é invertível. Ora, isto acaba por ser claro considerando a proposição seguinte: se existir uma sequência $E_1, \cdots, E_k$ tal que

E_k \cdots E_2 E_1 A = I,

$A$ será invertível, com a respetiva inversa a corresponder precisamente ao produto $E_k \cdots E_2 E_1$ .

O algoritmo de Gauss-Jordan será, portanto, parecido ao algoritmo apresentado no exemplo mais acima (onde foi demonstrada a transformação de uma matriz $A$ numa matriz $L$ equivalente em escada de linhas): aqui, contudo, em vez de querermos transformar $A$ em $L$ arbitrário, vamos querer transformá-la na matriz identidade: desta forma, à direita vamos obter $A^{-1}$ , seguindo a mesma lógica apresentada anteriormente.

Procuremos então consultar o seguinte exemplo:

\underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{A|I} \underrightarrow{L_3 + L_1} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{E_1 A|E_1} \underrightarrow{L_3 + L_2} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]}_{E_2 E_1 A|E_2 E_1}

\underrightarrow{\frac{1}{2}L_3} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]}_{E_3 E_2 E_1 A|E_3 E_2 E_1} \underrightarrow{L_1 - L_2} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]}_{E_4 E_3 E_2 E_1 A|E_4 E_3 E_2 E_1}

Temos, assim que $E_4 E_3 E_2 E_1 A$ corresponde à matriz identidade, tendo portanto que $A^{-1} = E_4 E_3 E_2 E_1$ !

Podemos ainda, partindo daqui (existe uma prova adicional), afirmar que toda a matriz invertível corresponde ao produto de matrizes elementares.

Equações Matriciais

Resolver equações do tipo $AX=B$ corresponde, com efeito, a um simples produto matricial:

$X = A^{-1}B$ , para $AX=B$
$X = BA^{-1}$ , para $XA=B$ .

Estamos, assim, a resolver equações matriciais (com incógnita $X$ ) através de um produto de matrizes!

Note-se que $A$ e $B$ terão de ter forçosamente:

igual número de linhas para o primeiro caso, já que o produto matricial $AX$ terá necessariamente o mesmo número de linhas de $A$ ;
igual número de colunas para o segundo caso, já que o produto matricial $XA$ terá necessariamente o mesmo número de colunas de $A$ .

Exemplo

Tendo as seguintes matrizes:

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \text{ e } B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}

Podemos facilmente chegar a $X$ , para $XA = B$ :

\begin{aligned} XA &= B\\ X &= BA^{-1}\\ &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1}\\ &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{-1}{2} & \frac{17}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}

tip

Caso queiram confirmar os resultados que obtiveram a fazer exercícios, quer seja na inversão de uma matriz como em outras operações, o site matrixCalc é uma ferramenta muito útil para o efeito.