Potencial Elétrico

Definição

O potencial elétrico é a capacidade que uma carga tem de realizar trabalho, neste caso, atrair ou repelir outras cargas elétricas.

  • V(r)=i=1NVi(r)V(\vec r) = \sum_{i=1}^N V_i(\vec r) respeita o princípio de sobreposição

  • A função potencial é definida a menos de uma constante; essa constante corresponde a mudar o ponto de referência para o caminho escolhido

  • O campo elétrico E0\vec E \rightarrow 0 no infinito, ou seja, VV \rightarrow constante, tomamos essa constante como ponto de referência

Assim definimos o Potencial VV no ponto r\vec r como

V(r)=OrEdlV(\vec r) = - \int_O^{\vec r} \vec E \cdot d \vec l\\

Num caminho de QPQ \rightarrow P

V(P)V(Q)=QPEdlE=VV(P) -V(Q) = - \int_Q^P \vec E \cdot d \vec l\\ \vec E = -\vec \nabla \cdot V

O potencial é uma descrição muito económica do campo elétrico. A partir de uma função escalar podemos calcular as 3 componentes do campo elétrico.

Como ×E=0\vec \nabla \times \vec E = 0

δE1δx2=δE2δx1 , δE3δx2=δE2δx2 , δE1δx3=δE3δx1\cfrac{\delta E_1}{\delta x_2} = \cfrac{\delta E_2}{\delta x_1} \ , \ \cfrac{\delta E_3}{\delta x_2} = \cfrac{\delta E_2}{\delta x_2} \ , \ \cfrac{\delta E_1}{\delta x_3} = \cfrac{\delta E_3}{\delta x_1}

Assim a escolha do ponto de referência é arbitrária e induz ambiguidade mas não tem consequências físicas.

Potencial da Esfera

Potencial no Exterior da Esfera

E(r)=14πϵ0qr2er\vec E (\vec r) = \cfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cfrac{q}{r^2} \vec e_r\\
V(r)=14πϵ0rqr2 dr=14πϵ0qrV(r) = - \cfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\infty}^r \cfrac{q}{r^2} \ dr = \cfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cfrac{q}{r}

Potencial no Interior da Esfera

O campo é nulo e o potencial é constante (0 \neq 0 )

V(r)=14πϵ0qR V(r) = \cfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cfrac{q}{R}

Potencial de uma distribuição localizada de carga

Usando o princípio de sobreposição

V(r)=14πϵ0i=1NqirriV (\vec r ) = \cfrac {1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^N \cfrac{q_i}{|\vec r - \vec r_i|}

Para uma distribuição contínua de carga (Volume, superfície ou linha)

V(r)=14πϵ0Dρ(r )r ridτ V (\vec r) = \cfrac {1}{4 \pi \epsilon_0} \int_D \cfrac{\rho (\vec r \ ')}{|\vec r \ ' - \vec r_i|} d \tau \ '

Equações para Campo Elétrico

E=ρϵ0\vec \nabla \cdot \vec E = \cfrac{\rho}{\epsilon_0}\\
×E=0\vec \nabla \times \vec E = 0\\
E=V\vec E = - \vec \nabla V

Equação de Poisson 🐟

2V=ρϵ0\nabla^2 V = \cfrac{\rho}{\epsilon_0}

Equação de Laplace

Se ρ=0\rho = 0

2V=0\nabla^2 V = 0

Trabalho

Work

Para calcular o trabalho mínimo para uma carga QQ se mover de AA para BB sabendo que existe um campo sabemos que existe sempre uma força (F=QE\vec F = Q \vec E)

W=QABEdl=QAB(V)dl=Q[V(B)V(A)]V(B)V(A)=WQW = - Q \int_A^B \vec E \cdot d \vec l = Q \int_A^B (\vec \nabla V) \cdot d \vec l = Q[V(B) - V(A)]\\ V(B) - V(A) = \cfrac{W}{Q}

Se o quiséssemos mandar a partícula para o infinito o trabalho seria igual a

V(r)=WQV(\vec r) = \cfrac{W}{Q}

Isto permite concluir que a força mostra-se conservativa pelo ponto de vista da Mecânica

Energia de Distribuição de Cargas

A energia de uma distribuição de cargas é igual à energia necessária para as juntar todas desde o infinito (muito longe) até à sua posições relativas. (Explicação mais detalhada nos slides)

W=12i=1NqiV(ri)W = \cfrac {1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_i V(\vec r_i)

V(ri)V(\vec r_i) é o potencial na posição ri\vec r_i provocado por todas as outras cargas qj(ji)q_j (j \neq i)

Energia Distribuição Contínua de Carga

W=12V dq=12VρVdτW=ϵ02V(E)VdτW=ϵ02(VE2 dτ+SV EdS)W=ϵ02ΩE2dτW = \cfrac {1}{2} \int V \ dq = \cfrac {1}{2} \int_V \rho V d\tau\\ W = \cfrac {\epsilon_0}{2} \int_V (\vec \nabla \cdot \vec E) V d\tau\\ W = \cfrac {\epsilon_0}{2} (\int_V E^2\ d \tau+ \oint_S V \ \vec E \cdot d \vec S)\\ W = \cfrac {\epsilon_0}{2} \int_\Omega E^2 d \tau

Condições de fronteira numa superfície carregada

Plano

Consideremos uma superfície Gaussiana SS com uma altura ee

SEdS=σAϵ0\oint_S \vec E \cdot d\vec S = \frac {\sigma A}{ \epsilon_{0}}

Quando e0e \rightarrow 0 as faces laterais não contam, assim:

E+E=σϵ0E_{\perp}^+ - E_{\perp}^- = \frac {\sigma }{ \epsilon_{0}}

Já o potencial é dado por

V+=VV^+ = V^-

Onde ++ é acima da superfície e - abaixo.

Slides: