Estimação por Intervalos

No capítulo anterior, além de introduzirmos o estudo da estatística, vimos métodos para indicar o valor mais provável para um certo parâmetro. Neste capítulo, em vez de procurarmos formas de indicar o valor exato de um parâmetro, vamos procurar descobrir um intervalo no qual tenhamos um certo grau de confiança que o parâmetro esteja incluído.

Método da VA fulcral

O método da VA fulcral é um método que permite definir um IC com grau de confiança $1-\alpha$ (exato ou aproximado). Para isto, é primeiro necessário identificar o parâmetro desconhecido $\theta$, a VA de interesse $X$, bem como a sua distribuição que pode ou não depender de outros parâmetros (conhecidos ou desconhecidos).

1. Seleção da VA fulcral - O primeiro passo corresponde à identificação de uma VA (fulcral) $Z = Z(\underline{X}, \theta)$, cuja distribuição seja independente de $\theta$. Note-se como esta VA depende da amostra aleatória $\underline{X}$. A seleção desta VA fulcral depende da distribuição de $X$, do parâmetro que queremos determinar e dos restantes parâmetros da distribuição $X$, conhecidos ou não (vamos ver como selecionar esta VA mais à frente);
2. Obtenção dos quantis - De seguida, temos de determinar $a_\alpha, b_\alpha$ tais que $P(Z < a_\alpha) = P(Z > b_\alpha) = \frac{\alpha}{2}$, ou seja
   $$a_\alpha = F_Z^{-1}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \quad \quad \quad b_\alpha = F_Z^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)$$
3. Obtenção dos extremos aleatórios - Manuseamos as expressões acima para obter $T_1(\underline{X})$, $T_2(\underline{X})$ tais que $P(\theta \leq T_1(\underline{X})) = P(T_2(\underline{X}) \leq \theta) = \frac{\alpha}{2}$
4. Concretização - Finalmente, substituímos $\underline{X}$ por $\underline{x}$ de forma a obter $IC(\theta) = [T_1(\underline{x}), T_2(\underline{x})]$, com grau de confiança $1-\alpha$.

Abaixo, vamos ver que VA fulcral usar em diversos cenários. Estas expressões podem ser encontradas no formulário pelo que não é preciso decorá-las, mas é relevante praticar e perceber em que situação se usa cada fórmula.
No fim deste capítulo, encontram-se alguns exemplos para perceber melhor este método.

Determinação de $\mu$ para $\sigma^2$ conhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro $\mu$ (valor esperado) de uma VA arbitrária $X$ cuja variância já conhecemos.

Parâmetro desconhecido: $\mu$
VA de interesse: Uma VA qualquer a que vamos chamar $X$
Outros parâmetros: $\sigma^2$ (conhecido)

Se $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$, sabemos que

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos um intervalo de confiança

com grau de confiança exatamente $1-\alpha$.

Se $X$ não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Determinação de $\mu_1 - \mu_2$ para $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ conhecidos

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro $\mu_1 - \mu_2$ (diferença entre os valores esperados) para duas VA arbitrárias $X_1, X_2$ independentes entre si ($X_1 \indep X_2$) cuja variância já conhecemos.

Parâmetro desconhecido: $\mu_1 - \mu_2$
VA de interesse: Duas VA quaisquer a que vamos chamar $X_1, X_2$, $X_1 \indep X_2$
Outros parâmetros: $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ (conhecidos)

Se $X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2)$ ($i \in \{1,2\}$), temos que

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos um intervalo de confiança

com grau de confiança exatamente $1-\alpha$.

Se $X_1$ e $X_2$ não seguirem uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Determinação de $\mu$ para $\sigma^2$ desconhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro $\mu$ (valor esperado) de uma VA arbitrária $X$ cuja variância não conhecemos (portanto vamos ter de a estimar também).

Parâmetro desconhecido: $\mu$
VA de interesse: Uma VA qualquer a que vamos chamar $X$
Outros parâmetros: $\sigma^2$ (desconhecido)

Se $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$, temos que

em que $s$ é um estimador para a variância - a variância corrigida.
Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos um intervalo de confiança

com grau de confiança exatamente $1-\alpha$.

Se $X$ não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Determinação de $\mu_1 - \mu_2$ para $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ desconhecidos

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro $\mu_1 - \mu_2$ (diferença entre os valores esperados) para duas VA arbitrárias $X_1, X_2$ independentes entre si ($X_1 \indep X_2$) cuja variância não conhecemos.

Parâmetro desconhecido: $\mu_1 - \mu_2$
VA de interesse: Duas VA quaisquer a que vamos chamar $X_1, X_2$, $X_1 \indep X_2$
Outros parâmetros: $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ (desconhecidos)

Se $X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2)$ ($i \in \{1,2\}$), temos que

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos um intervalo de confiança

com grau de confiança exatamente $1-\alpha$.

Se $X_1$ e $X_2$ não seguirem uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter

e portanto podemos obter um intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Determinação de $\sigma^2$ para $\mu$ desconhecido

Neste caso, estamos interessados em descobrir o valor do parâmetro $\sigma^2$ (variância) de uma VA $X$ cujo valor esperado não conhecemos.

Parâmetro desconhecido: $\sigma^2$
VA de interesse: Uma VA qualquer que vamos chamar $X$
Outros parâmetros: $\mu$ (desconhecido)

Se $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$ temos que

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos o intervalo de confiança

com grau de confiança exatamente $1-\alpha$.

Determinação de $p$ numa Prova de Bernoulli

Parâmetro desconhecido: $p$
VA de interesse: Uma VA com distribuição de Bernoulli $X$

Se $X \sim Bernoulli(p)$, temos, segundo o TLC, que para $n>>$

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos o intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Determinação de $\lambda$ numa distribuição de Poisson

Parâmetro desconhecido: $\lambda$
VA de interesse: Uma VA com distribuição de Poisson $X$

Se $X \sim Poisson(\lambda)$, temos, segundo o TLC, que para $n>>$

Aplicando o método da VA fulcral à VA $Z$, obtemos o intervalo de confiança

com grau de confiança aproximadamente $1-\alpha$.

Notas e Exemplos

Exemplo 1

(Exemplo retirado do Teste 2C de 2016/2017 de PE)

A quantidade de minutos ($X$ , em centenas de minutos) de um jogador two-way na NBA possui distribuição normal, sendo os respetivos valor esperado e variância desconhecidos. Sabendo que a concretização $(x_1, ..., x_n)$ de uma amostra proveniente da população $X$ conduziu a $\sum_{i=1}^{10} x_i = 293$ e $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 8745$.

Caso queiramos construir um intervalo de confiança a $90\%$ para o desvio padrão de um jogador do tipo referido, devemos:

1. Selecionar a VA Fulcral

$\mu$ e $\sigma^2$ são desconhecidos. Querendo um intervalo de confiança para $\sigma$, faz sentido escolher a VA:

$$Z = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2$$

2. Obter os quantis de probabilidade

Temos que $n=10$ e $(1 - \alpha) = 0.9$, pelo que:

$$\begin{aligned} (a_\alpha, b_\alpha): &\begin{cases} P(a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha) = 1 - \alpha \\ P(Z < a_\alpha) = P(Z > b_\alpha) = \frac{\alpha}{2} \end{cases}\\ &\begin{cases} a_\alpha = F_{\chi_{(n-1)}^2}^{-1} (\frac{\alpha}{2}) = F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} (0.05) \overset{\text{tabela}}{=} 3.325 \\ b_\alpha = F_{\chi_{(n-1)}^2}^{-1} (1 - \frac{\alpha}{2}) = F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} (0.95) \overset{\text{tabela}}{=} 16.92 \end{cases} \end{aligned}$$

3. Inverter a desigualdade $a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha$

$$\begin{aligned} & P(a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha) = 1 - \alpha \\ & P\biggl[a_\alpha \leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq b_\alpha \biggr] = 1 - \alpha \\ & P\biggl[\frac{1}{b_\alpha} \leq \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} \leq \frac{1}{a_\alpha} \biggr] = 1 - \alpha \\ & P\biggl[\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)S^2}{a_\alpha} \biggr] = 1 - \alpha \\ & P\biggl[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha}} \leq \sigma \leq \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{a_\alpha}} \biggr] = 1 - \alpha \\ \end{aligned}$$

4. Concretizar

Vamos ter, para os dados do enunciado, que:

$$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{n - 1}\biggl[\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2 - n (\overline{x})^2 \biggr] \\ &= \frac{1}{10 - 1}(8745 - 10 \cdot 29.3^2) \\ &= 17.7(8) \end{aligned}$$

Fazendo as devidas substituições, vamos ter um intervalo de confiança para o desvio padrão tal que:

$$\begin{aligned} IC_{90\%}(\sigma) &= \biggl[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{a_\alpha}} \biggr] \\ &= \biggl[\sqrt{\frac{(10 - 1)\cdot 17.7(8)}{16.92}}, \sqrt{\frac{(10 - 1)\cdot 17.7(8)}{3.325}} \biggr] \\ &= [3.0762, 6.9389] \\ \end{aligned}$$

Exemplo 2

A quantidade de açúcar (em grama) na calda de pêssegos em lata tem distribuição normal. É extraída uma amostra de $n = 10$ latas que resulta num desvio padrão amostral $s = 4.8$. Determine o intervalo de confiança a 95% para a variância populacional, $\sigma^{2}$.

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Queremos calcular $IC_{0.95}(\sigma^{2})$ com $\mu$ desconhecido.

• V.A de interesse:

  $$X \sim N(\mu, \sigma^{2})$$

  com $\mu$ e $\sigma$ desconhecidos.

• V.A fulcral:

  $$T = \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{9S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{9}^{2}$$

• Quantis:

  $$a = F_{\chi_{(9)}^{2}}^{-1}(0.025) = 2.70 \\ b = F_{\chi_{(9)}^{2}}^{-1}(0.975) = 19.02$$

• Cálculo de ICA:

  $$P(a < T < b)$$
  $$a < \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} < b$$
  $$\frac{a}{9S^{2}} < \frac{1}{\sigma^{2}} < \frac{b}{9S^{2}}$$
  $$\frac{9S^{2}}{a} > \sigma^{2} > \frac{9S^2}{b}$$
  $$ICA_{0.95}(\sigma^{2}) = \left[\frac{9S^{2}}{b}, \frac{9S^2}{a}\right]$$

• Cálculo de IC: Substituindo pelos valores obtemos o intervalo de confiança 95%

  $$IC_{0.95}(\sigma^{2}) = \left[\frac{9 \times 4.8^2}{19.02}, \frac{9 \times 4.8^2} {2.07}\right] = \left[10.90, 76.8\right]$$