Variáveis Aleatórias Discretas

Vamos, inicialmente, olhar para duas noções que nos vão ser muito importantes aquando do estudo de probabilidades.

Distribuição Uniforme Discreta

Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição uniforme discreta e representamos $X~\sim~\op{uniforme \, discreta}(S)$ se, dados os parâmetros:

• $S = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$ para $n \in \N$ e $x_i \in \R, \forall_{i \in \{ 1, 2, \cdots, n \}}$

satisfizer:

Contradomínio: $S$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, &x \in S \\ 0, &x \notin S \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição uniforme discreta tem:

• Valor Esperado: $$E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$
• Variância: $$V(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right)^2$$

Exemplo

Se considerarmos a VA $X$ que mede o resultado do lançamento de um dado ao ar, temos que:

$$X~\sim~\text{uniforme discreta}(\{1,2,3,4,5,6\})$$

Sendo assim, a função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{6}, &x \in \{1,2,3,4,5,6\} \\ 0, &x \notin \{1,2,3,4,5,6\} \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são

$$E(X) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 i = \frac{7}{2} \quad \quad V(X) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 i^2 - \left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 i \right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$$

Distribuição Binomial

Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição binomial e representamos $X~\sim~\op{binomial}(n,p)$ se, dados os parâmetros:

• $n$: número de provas de Bernoulli executadas ($n \in \N$);
• $p$: probabilidade de sucesso da prova de Bernoulli ($p \in [0,1]$).

satisfizer:

Contradomínio: $\{0,1,2,\cdots,n\}$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} {n \choose x} p^x(1-p)^{n-x}, &x \in \{0,1,\cdots,n\} \\ 0, &x \notin \{0,1,\cdots,n\} \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição binomial tem:

Valor Esperado: $E(X) = np$
Variância: $V(X) = np(1-p)$

Exemplo

Aproveitando a prova de Bernoulli que vimos no exemplo acima, temos que um exemplo de uma VA com distribuição binomial é a VA $X$ que regista o número de coroas em 10 lançamentos de uma moeda ao ar. Para realçar a diferença entre um sucesso e insucesso, vamos, no entanto, usar uma moeda enviesada, cuja probabilidade de sucesso é $p=0.6$. Temos que:

$$X~\sim~\text{binomial}(10, 0.6)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} {10 \choose x} ~ 0.6^x ~ 0.4^{10-x}, &x \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ 0, &x \notin \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são

$$E(X) = 10 \cdot 0.6 = 6 \quad \quad V(X) = 10 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 2.4$$

Propriedades da distribuição binomial:

• A distribuição binomial não tem uma função de distribuição que possa ser escrita em forma fechada (isto é, sem um somatório);
• Se $X~\sim~\op{binomial}(n,p)$ e $Y$ for a VA que mede o número de insucessos associados a $X$, isto é $$Y = n-X~\sim~\op{binomial}(n, 1-p)$$ temos que $$F_Y(y) = 1 - F_X(n-y-1)$$

Distribuição Geométrica

Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição geométrica e representamos $X~\sim~\op{geométrica}(p)$ se, dados os parâmetros:

• $p$: probabilidade de sucesso da prova de Bernoulli ($p \in [0,1]$).

satisfizer:

Contradomínio: $\Z^+$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} p(1-p)^{x-1}, &x \in \Z^+ \\ 0, &x \notin \Z^+ \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição geométrica tem:

Valor Esperado: $E(X) = \frac{1}{p}$
Variância: $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Exemplo

Continuando com o lançamento da moeda enviesada, queremos agora contar quantas vezes temos de lançar a moeda até sair coroa (sucesso). Temos que a VA $X$ que regista esse valor satisfaz:

$$X~\sim~\text{geométrica}(0.6)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} 0.6 \cdot 0.4^{x-1}, &x \in \Z^+ \\ 0, &x \notin \Z^+ \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são

$$E(X) = \frac{1}{0.6} \approx 1.67 \quad \quad V(X) = \frac{0.4}{0.6^2} \approx 1.11$$

Propriedades da distribuição geométrica:

• A distribuição geométrica tem função de distribuição dada por

  $$F_X(x) = \begin{cases} 0, &x<1 \\ 1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor}, &x>1 \end{cases}$$

  Isto, claro, dado que

  $$\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{x}{p(1 - p)^{n - 1}}\\ &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{1 - (1 - p)}\\ &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{p}\\ &= 1 - (1 - p)^x \end{aligned}$$

• Propriedade da Falta de Memória: Dada uma VA com distribuição geométrica $X$, temos que, $\forall_{k, x \in \Z^+}$:

  $$P(X > k+x | X > k) = P(X > x)$$

  Por outras palavras, a VA $Y = X-k | X>k$ é tal que

  $$Y \sim \op{geométrica}(p)$$

  A falta de memória é uma propriedade extremamente útil de algumas distribuições, que nos permite encurtar bastante alguns cálculos.

Distribuição de Poisson

Dizemos, então, que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição de Poisson e representamos $X~\sim~\op{Poisson}(\lambda)$ se, dados os parâmetros:

• $\lambda$: valor esperado de ocorrências do evento num intervalo base ($\lambda \in \R^+$)

satisfizer:

Contradomínio: $\Z_0^+$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, &x \in \Z_0^+ \\ 0, &x \notin \Z_0^+ \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição de Poisson tem:

Valor Esperado: $E(X) = \lambda$
Variância: $V(X) = \lambda$

Exemplo

Considere-se a VA $X$ que regista o número de remates que há num dado intervalo de um jogo de futebol. Se assumirmos que o valor esperado de remates num minuto é $\lambda = 0.08$, temos que o número de remates que acontecem em qualquer intervalo de um minuto do jogo satisfaz

$$X~\sim~\text{Poisson}(0.08)$$

Sendo assim, a VA tem função de probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{e^{-0.08} 0.08^x}{x!}, &x \in \Z^+_0 \\ 0, &x \notin \Z^+_0 \end{cases}$$

e valor esperado e variância

$$E(X) = V(X) = 0.08$$

Se, por outro lado, quisermos a VA $Y$ que regista o número de remates em 5 minutos do jogo de futebol, temos que:

$$Y~\sim~\text{Poisson}(5 \cdot 0.08)$$

Propriedades da distribuição de Poisson:

• A distribuição de Poisson pode ser aproximada pela binomial, se considerarmos o acontecimento do evento no intervalo em que é impossível o evento acontecer duas vezes como uma prova de Bernoulli. Desta forma, temos que $$X \sim \op{Poisson}(\lambda) \Leftrightarrow X \sim \lim_{n \to \infty} \op{binomial}\left(n, \frac{\lambda}{n} \right)$$

Distribuição de Bernoulli

Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição de Bernoulli e representamos $X~\sim~\op{Bernoulli}(p)$ se, dados os parâmetros:

• $p = P(\op{Sucesso})$, $p \in [0,1]$

satisfizer:

Contradomínio: $\{ 0, 1 \}$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} p, &x=1 \\ 1-p, &x=0 \\ 0, &x \notin \{0,1\} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x}, &x \in \{0,1\} \\ 0, &x \notin \{0,1\} \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição de Bernoulli discreta tem:

Valor Esperado: $E(X) = p$
Variância: $V(X) = p(1-p)$

Exemplo

O lançamento de uma moeda ao ar é um exemplo de uma prova de Bernoulli com $p = 0.5$. Se $X$ for uma VA que mede se o lançamento da moeda ao ar dá "coroa" (vamos tomar isto como o nosso sucesso), dizemos que

$$X~\sim~\op{Bernoulli}(0.5)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} 0.5, &x \in \{0,1\} \\ 0, &x \notin \{0,1\} \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são

$$E(X) = 0.5 \quad \quad V(X) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$$

Distribuição Hipergeométrica

Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma distribuição hipergeométrica e representamos $X~\sim~\op{hipergeométrica}(N, M, n)$ se, dados os parâmetros:

• $N$: tamanho da população ($n \in \Z^+$);
• $M$: tamanho da população sucesso ($m \in \Z^+$);
• $n$: número de provas de Bernoulli executadas ($n \in \Z^+, n \leq L$)

satisfizer:

Contradomínio: $\{ \op{max}(0, n - (N-M)), \cdots , \op{min}(n, M) \} = D$
Função de Probabilidade

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{{M \choose x}{N-M \choose n-x}}{{N \choose n}}, &x \in D 0, &x \notin D \end{cases}$$

Uma VA $X$ com distribuição hipergeométrica tem:

• Valor Esperado: $$E(X) = n\frac{M}{N}$$
• Variância: $$V(X) = n\frac{M}{N} \left( 1-\frac{M}{N} \right)\frac{N-n}{N-1}$$