Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição Uniforme Contínua

Esta distribuição é normalmente usada em situações em que há um intervalo de possíveis resultados de um evento equiprováveis.

Dizemos que uma VA contínua XX têm uma distribuição uniforme contínua e representamos X  uniformecontıˊnua(a,b)X~\sim~\op{uniforme \, contínua}(a,b) se, dados os parâmetros:

  • a,ba,b: limites do intervalo (a,bRa,b \in \R)

satisfizer:

Contradomínio: [a,b][a,b]
Função de Probabilidade

P(X=x)={1ba,x[a,b]0,x[a,b]P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, &x \in [a,b] \\ 0, &x \notin [a,b] \end{cases}

Uma VA XX com distribuição uniforme contínua tem:

Valor Esperado: E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}
Variância: V(X)=(ba)212V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

Exemplo

O Humberto trabalha na RNL. O Humberto tem um turno definido entre as 10h e as 12h. Como o Humberto tem problemas com alarmes, a hora a que ele chega ao trabalho é uniformemente distribuída pelo turno todo. Sendo assim, temos que

X  uniformemente contıˊnua(10,12)X~\sim~\text{uniformemente contínua}(10, 12)

A função de probabilidade desta VA é

P(X=x)={12,x[10,12]0,x[10,12]P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, &x \in [10, 12] \\ 0, &x \notin [10, 12] \end{cases}

e o seu valor esperado e variância são:

E(X)=10+122=11V(X)=(1210)212=13E(X) = \frac{10+12}{2} = 11 \quad \quad V(X) = \frac{(12-10)^2}{12} = \frac{1}{3}

Propriedades da distribuição uniforme contínua:

  • Uma VA XX com distribuição uniforme contínua tem função de distribuição dada por
    FX(x)={0,x<axaba,x[a,b]1,x>bF_X(x) = \begin{cases} 0, &x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, &x \in [a,b] \\ 1, &x > b \end{cases}
  • Dois intervalos com a mesma amplitude têm a mesma probabilidade de acontecer. Isto é, para ΔR+\Delta \in \R^+ e c,d[a,bΔ]c, d \in [a, b-\Delta] temos que:
    P(cxc+Δ)=P(dxd+Δ)=ΔbaP(c \leq x \leq c+\Delta) = P(d \leq x \leq d+\Delta) = \frac{\Delta}{b-a}

Distribuição Exponencial

Esta distribuição é normalmente usada para atribuir uma probabilidade ao tempo que um evento demora a acontecer.

Dizemos que uma VA contínua XX têm uma distribuição exponencial e representamos X  exponencial(λ)X~\sim~\op{exponencial}(\lambda) se, dados os parâmetros:

  • λR0+\lambda \in \R_0^+: valor esperado do tempo até o evento acontecer

satisfizer:

Contradomínio: R0+\R_0^+
Função de Probabilidade

P(X=x)={λeλx,x00,x<0P(X = x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &x \geq 0 \\ 0, &x < 0 \end{cases}

Uma VA XX com distribuição exponencial tem:

Valor Esperado: E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}
Variância: V(X)=1λ2V(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Exemplo

Lançamos um dado ao ar. Considere-se a VA XX que mede o tempo, em segundos, que demora ao dado a cair sobre a superfície da mesa. Assuma-se que o valor esperado desta medição é 2 segundo. Então:

X  exponencial(2)X~\sim~\text{exponencial}(2)

A função de probabilidade desta VA é

P(X=x)={2e2x,x00,x<0P(X = x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, &x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases}

e o seu valor esperado e variância são

E(X)=12V(X)=122=14E(X) = \frac{1}{2} \quad \quad V(X) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Propriedades da distribuição exponencial:

  • A distribuição exponencial tem função de distribuição dada por
    FX(x)={0,x<01eλx,x0F_X(x) = \begin{cases} 0, &x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, &x \geq 0 \end{cases}
  • Propriedade da Falta de Memória: Dada uma VA com distribuição exponencial XX, temos que, k,xZ+\forall_{k, x \in \Z^+}:
    P(X>k+xX>k)=P(X>x)P(X > k+x | X > k) = P(X > x)
    Por outras palavras, a VA Y=XkX>kY = X-k | X>k é tal que
    Yexponencial(p)Y \sim \op{exponencial}(p)
  • Processo de Poisson: Damos o nome de Processo de Poisson a uma coleção de VA's {Nt:tR+}\{ N_t: t \in \R^+ \} que registam o número de ocorrências de um certo evento no intervalo ]0,1]]0,1] tal que:
    • O número de ocorrências em intervalos disjuntos são VA independentes;
    • O número de ocorrências em intervalos de amplitude igual satisfazem a mesma distribuição;
    • NtPoisson(λt)N_t \sim \op{Poisson}(\lambda t) Podemos então concluir que a VA XtX_t que determina o tempo entre duas ocorrências do evento satisfaz
      Xtexponencial(λ)X_t \sim \op{exponencial}(\lambda)

Esta última propriedade também aparece muito raramente em exercícios, sendo pouco provável que apareça em alguma avaliação que não oral.

Distribuição Normal

Esta distribuição é usada para... tipo quase tudo.

Dizemos que uma VA contínua XX têm uma distribuição normal e representamos X  normal(μ,σ2)X~\sim~\op{normal}(\mu,\sigma^2) se, dados os parâmetros:

  • μ=E(X)R\mu = E(X) \in \R
  • σ2=V(X)R0+\sigma^2 = V(X) \in \R_0^+

satisfizer:

Contradomínio: R\R
Função de Probabilidade

P(X=x)=12πσe(xμ)22σ2P(X = x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}

Uma VA XX com distribuição normal tem:

Valor Esperado: E(X)=μE(X) = \mu
Variância: V(X)=σ2V(X) = \sigma^2

Exemplo

Considere-se a VA XX que regista a altura de um português aleatório. Assumindo a altura dos portugueses satisfaz uma distribuição normal com valor esperado 1.75m e variância 30cm temos que:

X  normal(1.75,0.3)X~\sim~\text{normal}(1.75, 0.3)

A função de probabilidade desta VA é

P(X=x)=10.6πe(x1.75)20.6,xRP(X = x) = \frac{1}{\sqrt{0.6\pi}} e^{-\frac{(x-1.75)^2}{0.6}}, \quad x \in \R

e o seu valor esperado e variância são 1.75m e 0.3m.

Propriedades da distribuição normal:

  • O integral x12πσe(tμ)22σ2dt\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \, dt não tem forma fechada pelo que a distribuição normal não tem uma função de distribuição que possa ser escrita em forma fechada. Sendo assim, os valores desta função têm de ser obtidos por consulta de tabelas. Esta consulta é facilitada pela próxima propriedade;
  • Xnormal(μ,σ2)aX+bnormal(aX+b,a2σ2)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow aX+b \sim \op{normal}(aX + b, a^2 \sigma^2)
    Consequentemente, Xnormal(μ,σ2)Xμσnormal(0,1)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1).
    Desta forma, para qualquer VA XX com distribuição normal, é sempre possível fazer uma transformação linear de forma a obter uma VA com distribuição normal centrada em 00 e com variância 11. À distribuição normal centrada em 00 com variância 11 dá-se o nome de distribuição normal padrão. A sua função de distribuição representa-se por Φ(x)\Phi(x) e é dada por
    Φ(x)=x12πet22dt\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt
  • A distribuição normal padrão satisfaz Φ(x)+Φ(x)=1,xR\Phi(x) + \Phi(-x) = 1, \forall_{x \in \R}, pelo que as tabelas estatísticas só precisam de ter os valores desta função para xx positivo.
Como obter FX(x)F_X(x) através da tabela

Para uma distribuição Xnormal(23,0.12)X \sim \op{normal}(23,{0.1}^{2}) queremos saber o valor de P(X23.045)P(X \leq 23.045).

Sabendo que Xnormal(μ,σ2)Z=Xμσnormal(0,1)X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1) e que os valores da função

Φ(x)=P(Zx)=x12πet22dt\Phi(x) = P(Z \leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt

podem ser consultados numa tabela estatística, temos então uma forma de calcular a probabilidade pretendida.

Temos que P(X23.045)=P(X230.1Xμσ23.045230.1)=Φ(0.45)P(X \leq 23.045) = P (\frac{X - 23}{{0.1}} \equiv \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{23.045 - 23}{{0.1}}) = \Phi(0.45)

Indo ver à tabela conluímos que Φ(0.45)=0.6736\Phi(0.45) = 0.6736 pelo que P(X23.045)=0.6736P(X \leq 23.045) = 0.6736.

table

Observe-se que a tabela não permite consultar a função Φ\Phi em valores negativos. Nesse caso, basta aproveitarmo-nos do facto que Φ(x)=1Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x) e depois consultar a tabela.

Por exemplo, temos que Φ(0.45)=1Φ(0.45)=0.3264\Phi(-0.45) = 1-\Phi(0.45) = 0.3264.