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Transformada de Laplace (Cheat Sheet)
Transformações mais Usadas
f
(
t
)
f(t)
f
(
t
)
L
(
f
)
\mathcal{L} (f)
L
(
f
)
1
1
1
1
s
\cfrac{1}s
s
1
t
t
t
1
s
2
\cfrac{1}{s^2}
s
2
1
t
n
,
n
≥
0
t^n \ , \ n \geq 0
t
n
,
n
≥
0
n
!
s
n
+
1
\cfrac{n!}{s^{n+1}}
s
n
+
1
n
!
e
a
t
e^{at}
e
a
t
1
s
−
a
\cfrac{1}{s-a}
s
−
a
1
t
e
a
t
te^{at}
t
e
a
t
1
(
s
−
a
)
2
\cfrac{1}{(s-a)^2}
(
s
−
a
)
2
1
t
n
e
a
t
,
n
≥
0
t^n e^{at} \ , \ n \geq 0
t
n
e
a
t
,
n
≥
0
n
!
(
s
−
a
)
n
+
1
\cfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}
(
s
−
a
)
n
+
1
n
!
cos
(
ω
t
)
\cos (\omega t)
cos
(
ω
t
)
s
s
2
+
ω
2
\cfrac{s}{s^2 + \omega^2}
s
2
+
ω
2
s
sin
(
ω
t
)
\sin (\omega t)
sin
(
ω
t
)
ω
s
2
+
ω
2
\cfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
s
2
+
ω
2
ω
e
a
t
cos
(
ω
t
)
e^{at} \cos (\omega t)
e
a
t
cos
(
ω
t
)
s
−
a
(
s
−
a
)
2
+
ω
2
\cfrac {s -a}{(s -a)^2 + \omega^2}
(
s
−
a
)
2
+
ω
2
s
−
a
e
a
t
sin
(
ω
t
)
e^{at} \sin (\omega t)
e
a
t
sin
(
ω
t
)
ω
(
s
−
a
)
2
+
ω
2
\cfrac {\omega}{(s -a)^2 + \omega^2}
(
s
−
a
)
2
+
ω
2
ω
Fórmulas
Definição
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
\lapt{f} (s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) \ e^{-st} \d t
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
Função de Heaviside
L
{
H
c
(
t
)
}
(
s
)
=
e
−
c
s
s
\lapt{H_c(t)}(s) = \frac{e^{-cs}}{s}
L
{
H
c
(
t
)
}
(
s
)
=
s
e
−
cs
Função de Dirac
L
{
δ
(
t
−
c
)
}
(
s
)
=
e
−
c
s
\lapt{\delta(t - c)}(s) = e^{-cs}
L
{
δ
(
t
−
c
)
}
(
s
)
=
e
−
cs
Translação da Transformada de Laplace
L
{
e
a
t
f
(
t
)
}
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
(
s
−
a
)
\lapt{e^{at} f(t)} (s) = \lapt{f(t) } (s-a)
L
{
e
a
t
f
(
t
)
}
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
(
s
−
a
)
Transformada de Laplace da Translação
L
{
H
(
t
−
c
)
f
(
t
−
c
)
}
(
s
)
=
e
−
c
s
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)
\lapt{H(t-c) f(t-c)}(s ) = e^{-cs} \lapt{f(t)} (s)
L
{
H
(
t
−
c
)
f
(
t
−
c
)
}
(
s
)
=
e
−
cs
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)
Derivada da Transformada de Laplace
d
n
d
s
n
(
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)
)
=
(
−
1
)
n
L
{
t
n
f
(
t
)
}
(
s
)
\frac{\d^n}{\d s^n} \left(\lapt{f(t)} (s) \right) = (-1)^n \lapt{t^n f(t)}(s)
d
s
n
d
n
(
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)
)
=
(
−
1
)
n
L
{
t
n
f
(
t
)
}
(
s
)
Transformada de Laplace da Derivada
L
{
f
′
(
t
)
}
(
s
)
=
−
f
(
0
)
+
s
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)
\lapt{f'(t)}(s) = - f(0) + s\lapt{f(t)}(s)
L
{
f
′
(
t
)
}
(
s
)
=
−
f
(
0
)
+
s
L
{
f
(
t
)
}
(
s
)