Equações Lineares de Coeficientes Constantes de Ordem Superior

Uma equação diferencial é linear de coeficientes constantes se poder ser escrita na forma

em que:

• $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ são constantes reais;
• $h: I \subseteq \R \to \R$, uma função contínua em $I$.

Polinómio Característico (Diferencial)

Podemos reescrever a equação acima de outra forma, utilizando a notação $Dy = y'$ (e consequentemente $D^2 y = y'', \dots, D^n y = y^{(n)}$):

ou ainda, definindo $P(D) = D^n + a_{n-1} D^{n-1} + \dots + a_1 D + a_0$, como

O polinómio característico desta equação é $P(D)$.

É preciso notar que $P(D)$ é um operador, isto é, uma função cujo domínio é um conjunto de funções de classe $C^n$, sendo $n$ o grau de $P$. O termo $P(D)$ designa um polinómio diferencial que pode ser fatorizado da mesma forma que um polinómio numérico.

Por exemplo, se $y$ é uma função de classe $C^2$:

Obter a Solução Geral

Por ser uma equação linear, a sua solução geral é dada na forma

em que:

• $y_G(t)$ é a solução geral da equação homogénea associada (ou seja, a solução de $P(D)y = 0$);
• $y_P(t)$ é uma solução particular de $P(D)y = h(t)$.

Queremos então seguir dois passos para obtermos a solução geral de qualquer equação linear de ordem superior:

1. Descobrir a solução geral da equação homogénea associada, $y_G(t)$.

2. Se $h(t) \ne 0$, descobrir a(s) solução(ões) particular(es) da equação. Em alguns casos, pode ser possível separar $h(t)$ em $h(t) = h_1(t) + \dots + h_k(t)$ de forma a facilitar os cálculos.

   De seguida, usar um dos métodos abaixo. O mais indicado de aplicar vai depender da equação em causa.

   • Fórmula da Variação das Constantes
   • Método dos Coeficientes Indeterminados

Solução Geral da Equação Homogénea

O espaço das soluções da equação

tem dimensão $n$, e como tal, a sua solução geral é da forma

em que:

• $\alpha_1, \dots , \alpha_n$ são constantes reais;
• $y_1, \dots, y_n$ são $n$ soluções linearmente independentes da equação.

As soluções $y_1, \dots, y_n$ podem ser calculadas da seguinte forma:

1. Obter o polinómio característico $P(D)$ da equação.

2. Fatorizar o polinómio obtido, na forma

   $$P(D) = (D - \lambda_1)^{m_1} \cdots (D - \lambda_k)^{m_k}$$

   em que $\lambda_j$ com $j = 1, 2, \dots, k$ são raízes distintas de $P(D)$

3. Cada uma das soluções de $P(D) y = 0$ admitirá $m_j$ ($j = 1, \dots, k$) soluções linearmente independentes, obtidas do seguinte modo:

   • se $\lambda_j$ é uma raiz real de multiplicidade $m_j$ de $P(D)$, então a equação

     $$(D - \lambda_j) ^{m_j} y = 0$$

     admite $m_j$ soluções linearmente independentes

     $$e^{\lambda_j t} , te^{\lambda_j t}, \dots, t^{m_j - 1} e^{\lambda_j t}$$

   • se $\lambda_j = a_j + ib_j$ é uma raiz complexa de multiplicidade $m_j$ de $P(D)$, então a equação

     $$(D - a_j - ib_j)^{m_j} (D - a_j + i b_j)^{m_j} y = 0$$

     admite $2m_j$ soluções linearmente independentes

     $$\begin{darray}{c} e^{a_j t} \cos(b_j t), t e^{a_j t} \cos (b_j t), \dots, t^{m_j - 1} e^{a_j t} \cos (b_j t)\\ e^{a_j t} \sin(b_j t), t e^{a_j t} \sin (b_j t), \dots, t^{m_j - 1} e^{a_j t} \sin (b_j t) \end{darray}$$

     Dá para simplificar estas soluções:

     $$\begin{darray}{l} t^k e^{at} \sin (bt) = \frac{1}{2i} t^k e^{at} \left(e^{i bt} - e^{-i bt} \right) = \frac{1}{2i} t^k e^{(a+ib)t} - \frac{1}{2i} t^k e^{(a - ib)t}\\ \\ t^k e^{at} \cos (bt) = \frac{1}{2} t^k e^{at} \left(e^{ibt} + e^{-ibt} \right) = \frac{1}{2} t^k e^{(a+ib) t} + \frac{1}{2} t^k e^{(a-ib)t} \end{darray}$$

Mais exemplos (complexos e PVI)

Exemplo com complexos

Determinar a solução geral da equação

$$y'' + 2y' + 2y = 0$$

Começamos por escrever o polinómio característico:

$$P(D) = D^2 + 2D + 2 = (D - (-1+i))(D-(-1-i))$$

Temos assim duas soluções complexas, $e^{-t} \cos t$ e $e^{-t} \sin t$.

Assim, a solução geral é

$$y(t) = c_1 e^{-t} \cos t + c_2 e^{-t} \sin t$$

---

Exemplo PVI

Determinar a solução do Problema de Valor Inicial (PVI)

$$\begin{darray}{ccc} y'' + 8y' + 12y = 0 & y(0) = 3 & y'(0) = -14 \end{darray}$$

O primeiro passo é determinar a solução geral da equação, como feito anteriormente.
Começamos por determinar o polinómio característico:

$$P(D) = D^2 + 8D + 12 = (D+6)(D+2)$$

A solução geral é então

$$y(t) = c_1 e^{-6t} + c_2 e^{-2t}$$

Vamos agora determinar $c_1$ e $c_2$ de forma a respeitarem as condições iniciais.

$$y'(t) = -6c_1e^{-6t} -2c_2e^{-2t}$$

$$\begin{cases} y(0) = 3\\ y'(0) = -14 \end{cases} \implies \begin{cases} c_1 + c_2 = 3\\ -6c_1 - 2c_2 = -14 \end{cases} \implies \begin{cases} c_1 = 2\\ c_2 = 1 \end{cases}$$

Assim, a solução é

$$y(t) = 2e^{-6t} + e^{-2t}$$

Fórmula da Variação das Constantes

Para a aplicação desta fórmula, precisamos de definir a matriz Wronskiana.
Sendo $y_1, \dots, y_n$ as soluções linearmente independentes da equação homogénea associada, define-se a matriz Wronskiana como:

A expressão que define as soluções particulares é:

Como se pode notar, é necessário inverter a matriz $W(t)$, algo que se pode mostrar bastante trabalhoso.

Exemplo

Pegando num exemplo da secção anterior, queremos determinar a solução geral da equação

$$y'' + 2y' + 2y = 2e^{-t}$$

Como explicado acima, sabemos que a solução geral da equação é da forma

$$y(t) = y_G(t) + y_P(t)$$

Temos de calcular tanto $y_G$ como $y_P$ para obtermos a solução geral.

• Cálculo de $y_G$

  Pelo exemplo anterior, a solução geral de

  $$y'' + 2y' + 2y = 0$$

  é $y(t) = c_1 e^{-t} \cos t + c_2 e^{-t} \sin t$, pelo que vamos ter $y_G$:

  $$y_G(t) = c_1 e^{-t} \cos t + c_2 e^{-t} \sin t$$

• Cálculo de $y_P$

  O primeiro passo é determinar a matriz Wronskiana:

  $$W(t) = \begin{bmatrix} e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\\ (e^{-t} \cos t)' & (e^{-t} \sin t)' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\\ -e^{-t} (\cos t + \sin t) & e^{-t} (-\sin t + \cos t) \end{bmatrix}$$

  De seguida, determinar a inversa da matriz $W$, isto é, $W^{-1}$.
  Podemos otimizar este processo, reparando que apenas necessitamos da coluna direita, visto a esquerda irá sempre multiplicar por zero.

  $$W^{-1} = \dots = \begin{bmatrix} ? & -e^t \sin t\\ ? & e^t \cos t \end{bmatrix}$$

  Assim, podemos determinar $y_P(t)$:

  $$\begin{aligned} y_P(t) &= \begin{bmatrix} e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \end{bmatrix} \int^t \begin{bmatrix} ? & -e^s \sin s\\ ? & e^s \cos s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 2e^{-s} \end{bmatrix} \d s\\ &= \begin{bmatrix} e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \end{bmatrix} \int^t \begin{bmatrix} -2 \sin s\\ 2 \cos s \end{bmatrix} \d s\\ &= \begin{bmatrix} e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \cos t\\ 2 \sin t \end{bmatrix}\\ &= 2 e^{-t} \cos^2 t + 2 e^{-t} \sin^2 t\\ &= 2 e^{-t} \end{aligned}$$

Então, a solução geral é:

$$y(t) = c_1 e^{-t} \cos t + c_2 e^{-t} \sin t + 2 e^{-t}$$

Método dos Coeficientes Indeterminados

Este método pode-se revelar mais fácil de aplicar, mas tem a desvantagem de apenas ser aplicável nos casos em que o termo não homogéneo, $h(t)$ é uma função da forma (ou combinação linear, isto é, soma de funções da forma):

Dada uma função $h(t)$, define-se polinómio aniquilador de $h$ ao polinómio diferencial $P_A(D)$ que verifica

Se $h(t)$ satisfaz as condições indicadas acima, então existe um polinómio aniquilador:

• se $h(t) = t^p e^{\lambda t}$, então o seu polinómio aniquilador é da forma

  $$P_A (D) = (D-\lambda)^{p + 1}$$

• se $h(t) = t^p e^{at} \cos (bt)$ ou $h(t) = t^p e^{at} \sin(bt)$, então o seu polinómio aniquilador é da forma

  $$P_A(D) =(D-(a+ib))^{p+1} (D-(a-ib))^{p+1} = ((D-a)^2 +b^2)^{p+1}$$

Para resolver uma equação do tipo $P(D)y=h(t)$ pelo método dos coeficientes indeterminados, segue-se os seguintes passos:

1. Determinar o polinómio aniquilador, $P_A(D)$, de $h(t)$. Seja $k$ o seu grau.

2. Aplicar $P_A(D)$ a ambos os membros da equação inicial, donde resulta:

   $$P(D)y=h(t) \implies P_A(D)P(D)y=P_A(D)h(t) \implies P_A(D)P(D)y=0$$

   Note-se que a aplicação de $P_A(D)$ não produz uma equação equivalente à inicial. Embora qualquer solução de $P(D)y = h(t)$ seja solução de $P_A(D)P(D)y =0$, nem todas as equações da segunda equação resolvem a primeira.

   Assim, obtivemos uma equação linear homogénea de coeficientes constantes de ordem $n + k$.

3. A solução geral da equação $P_A(D)P(D)y=0$ é dada por

   $$y(t) = \alpha_1 y_1 + \dots + \alpha_n y_n + \beta_1 w_1 + \dots + \beta_p w_p$$

   em que $y_1, \dots, y_n$ são as soluções linearmente independentes da equação $P(D)y= 0$ determinadas previamente, ou seja:

   $$y_G(t) = \alpha_1 y_1 + \dots + \alpha_n y_n$$

   Tem-se então que existem $\beta_1, \dots, \beta_n \in \R$ tais que

   $$y_P(t) = \beta_1 w_1 + \dots + \beta_p w_p$$

   é uma solução particular de $P(D)y=h(t)$.

4. Determinam-se os coeficientes $\beta_1, \dots, \beta_p$ de modo a que $w = \beta_1 w_1 + \dots + \beta_p w_p$ verifique $P(D) w = h(t)$.

Redução de ordem

Por vezes, a equação que nos é dada não tem todos os coeficientes constantes, como por exemplo:

Quando temos uma equação deste género, não podemos aplicar diretamente nenhum dos métodos referidos acima. Aprendemos, em CDI-III, dois métodos que nos podem ajudar a resolver estes problemas - um deles com ajuda do Wronskiano, outro onde voltamos a ir buscar noções de equações de primeira ordem. Abordaremos primeiro o segundo caso.

Para poder aplicar o segundo caso precisamos, necessariamente, que seja dada uma das soluções da equação. Consideremos essa solução como $y_1$. Esta solução está, atualmente, livre de constante - não continuará assim até ao final. Posto isto, precisaremos de encontrar uma segunda solução, $y_2$. Para a obtermos, assumimos que terá a forma:

onde $v(t)$ é uma função de $t$, atualmente desconhecida. Para determinar $y_2$, teremos de colocar $v(t) \cdot y_1$ na equação original, obtendo assim uma nova equação. O objetivo passará, então, por resolver a equação resultante para $v(t)$. Ao descobrir $v(t)$, podemos chegar a $y_2$, e a solução geral será dada por:

O método (ou uma variação dele) resulta também para casos onde não é dada nenhuma solução e onde não temos termos $y$ - algo do género $at^\alpha y'' + bt^\beta y' = c$. Aqui, podemos saltar a parte do $v(t)$ e ir diretamente para a parte, no exemplo, que refere $v'(t) = w(t)$, e resolver a partir daí.

Encontra-se abaixo uma explicação do método em formato vídeo, com um exemplo:

Existem, contudo, casos onde nenhuma solução é dada, e onde temos um termo do tipo $y$. Nestes casos, temos de recorrer à matriz Wronskiana.

O primeiro passo será determinar as soluções da equação homogénea do tipo $x^\lambda$. Cada uma dessas soluções será entrada da matriz Wronskiana, construída a partir destas. Através da formula da variação das constantes vamos chegar à solução particular, sem constantes - a solução geral corresponderá à soma das soluções da equação homogénea com as soluções particulares.