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Divergência, Rotacional e Teorema de Stokes

Conteúdo Duplicado

O conteúdo nesta página é duplicado da matéria de CDI-II:

Daqui para baixo, apenas irá estar o conteúdo novo dado apenas em CDI-III e um exemplo. Recomenda-se a leitura das páginas indicadas acima.

Pode ainda ser útil assistir às Aulas do Calhau:

  • Aula 5: Teorema de Green. Teorema da Divergência.
  • Aula 6: Teorema de Stokes.

Exemplo

Exemplo

Seja o campo

F(x,y,z)=(x2z,1y,1)F(x,y,z) = (x-2z, 1-y, -1)
  1. Verifique que FF é um rotacional

    divF=11+0=0\ondiv F = 1 - 1 + 0 = 0

    Como divF=0\ondiv F = 0, então FF é um rotacional (pela propriedade 1).

  2. Determine GG tal que F=rotGF = \rot G

    Seguimos os passos indicados nesta página.

    Seja G=(G1,G2,G3)G = (G_1, G_2, G_3),

    {G3yG2z=x2zG1zG3x=1yG2xG1y=1\begin{cases} \frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} = x-2z\\ \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} = 1-y\\ \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} = -1 \end{cases}

    Tome-se G3=0G_3 = 0:

    G2z=x2zG2=zx+z2+C2(x,y)- \frac{\partial G_2}{\partial z} = x-2z\\ G_2 = -zx + z^2 + C_2 (x,y)
    G1z=1yG1=zyz+C1(x,y)\frac{\partial G_1}{\partial z} = 1-y\\ G_1 = z-yz + C_1(x,y)
    x(zx+z2+C2)y(zyz+C1)=1z+C2x+zC1y=1C2xC1y=1\frac{\partial }{\partial x} (-zx + z^2 + C_2) - \frac{\partial }{\partial y} (z-yz +C_1) = -1\\ -z + \frac{\partial C_2}{\partial x} + z - \frac{\partial C_1}{\partial y} = -1\\ \frac{\partial C_2}{\partial x} - \frac{\partial C_1}{\partial y} = -1

    Tomando C2=0C_2 = 0, então, C1=y+C3(x)C_1 = y+C_3(x); tomando C3=0C_3 = 0 vem que

    G=(zyz+y,zx+z2,0)G = (z-yz+y, -zx+z^2, 0)
  3. Verifique que G(x+y+z,z2,xy)G-(x+y+z, z^2, xy) tem rotacional 00

    Chamamos L=G(x+y+z,z2,xy)L = G-(x+y+z, z^2, xy) e H=(x+y+z,z2,xy)H = (x+y+z, z^2, xy).

    rotL=rotGrotH=FrotH\rot L = \rot G - \rot H = F - \rot H
    rotH=(x2z,1y,1)\rot H = (x-2z, 1-y, -1)
    rotL=F(x2z,1y,1)=0\rot L = F - (x-2z, 1-y, -1) = 0

Potencial Escalar de uma Função com Rotacional Nulo

Teorema

Considerando uma função F:UR3F: U \to \R^3, tal que UR3U \subset \R^3, e que tem rotacional nulo, isto é, rotF=(0,0,0)\rot F = (0,0,0), então existe um campo escalar φ:UR\varphi: U \to \R tal que

F=φF = \nabla \varphi

Exemplo

Seja F(x,y,z)=(x2,y2,z2)F(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2) e rotF=(0,0,0)\rot F = (0,0,0), determine o potencial escalar de FF.

Queremos descobrir um campo escalar φ\varphi tal que F=φF = \nabla \varphi:

{φx=x2φy=y2φz=z2\begin{cases} \frac{\partial \varphi}{\partial x} = x^2\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = y^2\\ \frac{\partial \varphi}{\partial z} = z^2 \end{cases}

Então, pegando na primeira equação do sistema, ficamos com φ=x33+C1(y,z)\varphi = \frac{x^3}{3} + C_1(y,z).

Continuando a resolver o sistema, pegamos o resultado já obtido e derivamos em função de yy,

φy=0+C1y=y2\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0 + \frac{\partial C_1}{\partial y} = y^2

Podemos então obter a expressão de C1C_1 em função de C2C_2. Aqui, como C1C_1 não depende de xx, podemos dizer que C2C_2 só depende de zz:

C1y=y2C1=y33+C2(z)\frac{\partial C_1}{\partial y} = y^2 \Leftrightarrow C_1 = \frac{y^3}{3} + C_2(z)
φ=x33+y33+C2(z)\varphi = \frac{x^3}{3} + \frac{y^3}{3} + C_2(z)

Finalmente, vamos descobrir o valor de C2C_2, repetindo o que fizemos para C1C_1.

φz=0+0+ ⁣dC2 ⁣dz=z2\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0 + 0 + \frac{\d C_2}{\d z} = z^2

Temos então a expressão de C2C_2, que contém o termo constante C3C_3.

 ⁣dC2 ⁣dz=z2C2=z33+C3\frac{\d C_2}{\d z} = z^2 \Leftrightarrow C_2 = \frac{z^3}{3} + C_3

Podemos facilmente reparar que podemos tomar C3=0C_3 = 0 de forma a obtermos uma resposta possível.

Então, o campo escalar φ\varphi é

φ=(x33,y33,z33)\varphi = \left(\frac{x^3}{3}, \frac{y^3}{3}, \frac{z^3}{3} \right)