Equações Exatas e Redutíveis a Exatas

Equações Exatas

Uma equação diferencial do tipo

M(t,y) + N(t,y) \frac{\d y}{\d t} = 0

diz-se exata se o seguinte for verdade:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t}

Além disso, podemos resolver um problema de valor inicial do tipo

\begin{cases} M(t,y) + N(t,y) \frac{\d y}{\d t} = 0\\ y(t_0) = y_0 \end{cases}

que satisfaz as condições

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t}$ (ou seja, é exata)
$N(t_0, y_0) \ne 0$

em que a sua solução é definida implicitamente por $\phi: A \to \R$ de classe $C_1$ tal que

\begin{darray}{cc} \phi (t,y) = C, &\text{com } C = \phi (t_0, y_0)\\ M = \frac{\partial \phi}{\partial t} & N = \frac{\partial \phi}{\partial y} \end{darray}

Exemplo Não Exata

Considerando o PVI

\begin{darray}{cc} \frac{\d y}{\d t} = \frac{t-y^2}{ty} &, & y(1) = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{darray}

Podemos reescrever para ficar com a forma que queremos:

y^2 - t + ty \frac{\d y}{\d t} = 0

E assim temos que

\begin{darray}{ccc} M = y^2 - t & , & N = ty \end{darray}

Podemos então agora verificar que não é exata:

\begin{darray}{ccc} \frac{\partial M}{\partial y} = 2y & \ne & \frac{\partial N}{\partial t} = y \end{darray}

Exemplo Exata

Considerando o PVI

\begin{cases} \underbrace{ty^2 - t^2}_{M} + \underbrace{t^2 y}_{N} \frac{\d y}{\d t} = 0\\ y(1) = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{cases}

Temos então que

\begin{darray}{ccc} \frac{\partial M}{\partial y} = 2ty & = & \frac{\partial N}{\partial t} = 2ty \end{darray}

pelo que a equação é exata.

Podemos ainda determinar a solução da equação.

\frac{\partial \phi}{\partial t} = ty^2 -t^2 \implies \phi = \frac{t^2 y^2}{2} - \frac{t^3}{3} + C(y)

\frac{\partial \phi}{\partial y} = t^2 y + C'(y) = t^2 y, \text{então temos que }C'(y) = 0

Consequentemente, podemos assumir também que (embora possa ser qualquer constante) $C(y) = 0$

Temos assim que a solução da equação é definida implicitamente por:

\begin{darray}{c} \frac{t^2 y^2}{2} - \frac{t^3}{3} = c \end{darray}

Substituindo $y$ por $\sqrt{\frac{2}{3}}$ e $t$ por $1$ , de acordo com o valor inicial, obtemos:

c = \frac{t^2 y^2}{2} - \frac{t^3}{3} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}^2}{2} - \frac{1}{3} = 0

Pelo que (y tem de conter $\sqrt{\frac{2}{3}}$ , logo retirar o quadrado do $y$ , fica positivo):

\begin{darray}{cc} y^2 = \frac{t^3}{3} \times \frac{2}{t^2} \implies y= \sqrt{\frac{2t}{3}} \end{darray}

Equações Redutíveis a Exatas

Nem todas as equações são exatas, mas todas as equações escalares de primeira ordem são redutíveis a exatas.
Para transformarmos uma equação não exata numa equação exata, temos de a multiplicar por uma função $\mu (t,y)$ , denominada fator integrante.

Assim, passamos a ter uma equação (exata) do tipo:

\mu M + \mu N y' = 0

Para descobrirmos o fator integrante $\mu (t,y)$ , temos de resolver a equação diferencial parcial, o que pode ser muito difícil (e normalmente impossível).

Por essa razão, trabalhamos apenas com situações onde $\mu$ depende apenas de uma variável.

\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial t}

Se trabalharmos esta igualdade, obtemos o seguinte:

\begin{darray}{cc} \frac{\partial \mu}{\partial y} M + \mu \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial \mu}{\partial t} N + \mu \frac{\partial N}{\partial t}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\frac{\partial \mu}{\partial t} N - \frac{\partial \mu}{\partial y} M = \left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t}\right) \mu \end{darray}

Ficamos assim com dois casos:

Se $\frac{\partial \mu}{\partial y} = 0$ , então $\mu$ vai depender apenas de $t$ e pode ser calculado através da equação diferencial
$\frac{\d \mu}{\d t} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t}}{N} \mu$
Se $\frac{\partial \mu}{\partial t} = 0$ , então $\mu$ vai depender apenas de $y$ e pode ser calculado através da equação diferencial
$\frac{\d \mu}{\d y} = -\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t}}{M} \mu$