Rotacional. Teorema de Stokes

Rotacional

DEFINIÇÃO

Seja F:R3β†’R3F: \R^3 \to \R^3 um campo vetorial de classe C1C^1.

Definimos o rotacional de FF, rot⁑F\rot F ( ou βˆ‡Γ—F\nabla \times F), como

rot⁑F=βˆ‡Γ—F=∣e1e2e3βˆ‚βˆ‚xβˆ‚βˆ‚yβˆ‚βˆ‚zF1F2F3∣=(βˆ‚F3βˆ‚yβˆ’βˆ‚F2βˆ‚z,βˆ’βˆ‚F3βˆ‚x+βˆ‚F1βˆ‚z,βˆ‚F2βˆ‚xβˆ’βˆ‚F1βˆ‚y)\begin{aligned} \rot F = \nabla \times F &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}\\ &=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}- \frac{\partial F_2}{\partial z}, -\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \end{aligned}

Como simples exemplos, podemos tomar os campos vetoriais F1F_1 e F2F_2,

F1(x,y,z)=(βˆ’y,x,z)F2(x,y,z)=(x2,3x2,y+z)\begin{array}{ll} F_1(x,y,z) = (-y,x,z) & F_2(x,y,z)=(x^2, 3x^2, y+z) \end{array}

e de seguida calcular os seus rotacionais:

rot⁑F1=∣e1e2e3βˆ‚βˆ‚xβˆ‚βˆ‚yβˆ‚βˆ‚zβˆ’yxz∣=(0,0,1+1)=(0,0,2)rot⁑F2=∣e1e2e3βˆ‚βˆ‚xβˆ‚βˆ‚yβˆ‚βˆ‚zx23x2y+z∣=(1,0,6x)\begin{aligned} \rot F_1 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ -y & x & z \end{vmatrix} = (0,0, 1+1) = (0,0,2)\\ \rot F_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ x^2 & 3x^2 & y+z \end{vmatrix} =(1,0,6x) \end{aligned}

Propriedades do Rotacional

  1. Seja um campo vetorial F∈C2F \in C^2, F:R3β†’R3F: \R^3 \to \R^3 e o seu rotacional rot⁑F:R3β†’R3\rot F: \R^3 \to \R^3, entΓ£o

    div⁑(rot⁑F)=0\ondiv(\rot F) = 0
    Demonstração
    rot⁑F=(βˆ‚F3βˆ‚yβˆ’βˆ‚F2βˆ‚z,βˆ’βˆ‚F3βˆ‚x+βˆ‚F1βˆ‚z,βˆ‚F2βˆ‚xβˆ’βˆ‚F1βˆ‚y)\rot F =\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}- \frac{\partial F_2}{\partial z}, -\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)
    div⁑(rot⁑F)=βˆ‚βˆ‚x(βˆ‚F3βˆ‚yβˆ’βˆ‚F2βˆ‚z)+βˆ‚βˆ‚y(βˆ’βˆ‚F3βˆ‚x+βˆ‚F1βˆ‚z)+βˆ‚βˆ‚z(βˆ‚F2βˆ‚xβˆ’βˆ‚F1βˆ‚y)=0\begin{aligned} \ondiv(\rot F) &= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\\ &+ \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\\ &+ \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\\ &= 0 \end{aligned}

    Se div⁑Gβ‰ 0\ondiv G \ne 0, entΓ£o GG nΓ£o pode ser um rotacional.

  2. Se rot⁑F=(0,0,0)\rot F = (0,0,0), então FF é fechado, pois

    βˆ‚F3βˆ‚y=βˆ‚F2βˆ‚zβˆ‚F3βˆ‚x=βˆ‚F1βˆ‚zβˆ‚F2βˆ‚x=βˆ‚F1βˆ‚y\begin{array}{lll} \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial z} & \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z} & \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y} \end{array}
  3. Se rot⁑F=0\rot F = 0 e domΓ­nio de FF for simplesmente conexo entΓ£o Fβƒ—\vec F Γ© gradiente (e conservativo).

Orientação do Bordo de uma Superfície

Considerando uma superfΓ­cie orientada SS em R3\R^3, em que βˆ‚S\partial S Γ© bordo da superfΓ­cie (uma linha).

Podemos definir uma orientação para o bordo através da Regra da Mão Direita.

Colocando a mão direita com a palma voltada para a superfície e com o polegar a apontar no sentido da normal, ficamos com os dedos a apontar na orientação do bordo da superfície.

Podemos tomar como exemplos as superfΓ­cies SS e TT:

S={x2+y2+z2=1,z>0},n⃗z>0S = \{x^2 + y^2 + z^2 = 1, z > 0 \}, \quad \vec n_z > 0

Orientação do bordo de S pela regra da mão direita

T={x2+y2=1,0≀z≀1},normalΒ exteriorT = \{x^2 + y^2 = 1 , 0 \leq z \leq 1 \}, \quad \text{normal exterior}

Orientação do bordo de T pela regra da mão direita

Teorema de Stokes

DEFINIÇÃO

Seja SβŠ‚R3S \subset \R^3 uma superfΓ­cie orientada e FF um campo vetorial C1C^1, entΓ£o

∫Srot⁑Fβ‹…nβƒ—=βˆ«βˆ‚SF⃗ ⁣dg\int_S \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S} \vec F \d g

em que βˆ‚S\partial S tem a orientação dada pela regra da mΓ£o direita.

Exemplos

Considere a superfície SS com normal n⃗\vec n com a primeira componente negativa e o campo vetorial SS,

S={x=βˆ’1+y2+z2,x≀0}F=(xy,zex,βˆ’y)\begin{array}{ll} S = \{ x = -1 + y^2 + z^2, x \leq 0 \} & F = (xy, ze^x, -y) \end{array}

Qual o valor de ∫Srot⁑Fβ‹…nβƒ—\int_S \rot F \cdot \vec n?

Representação 3D da superfície S

A normal estÑ apontada para fora da taça.

βˆ‚S={x=0,y2+z2=1}\partial S = \{ x = 0, y^2 + z^2 = 1 \} com orientação no sentido horΓ‘rio

∫Srot⁑Fβ‹…nβƒ—=βˆ«βˆ‚SF⃗ ⁣dg=βˆ«βˆ‚S(0,z,βˆ’y) ⁣dg\int_S \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S} \vec F \d g = \int_{\partial S} (0, z , -y) \d g

Parametrizar:

{x=0y=cos⁑tz=sin⁑t\begin{cases} x = 0\\ y = \cos t\\ z = \sin t \end{cases}
g(t)=(0,cos⁑t,sin⁑t)gβ€²(t)=(0,βˆ’sin⁑t,cos⁑t)Fβƒ—(g(t))=(0,sin⁑t,βˆ’cos⁑t)Fβƒ—(g(t))β‹…gβ€²(t)=βˆ’sin⁑2tβˆ’cos⁑2t=βˆ’1\begin{array}{ll} g(t) = (0, \cos t, \sin t) & g'(t) = (0, -\sin t, \cos t)\\ \vec F (g(t)) = (0, \sin t, -\cos t) & \vec F(g(t)) \cdot g'(t) = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1 \end{array}

Como a orientação da parametrização é a errada,

βˆ«βˆ‚SF⃗ ⁣dg=βˆ’βˆ«02Ο€βˆ’1 ⁣dt=2Ο€\int_{\partial S} \vec F \d g = - \int_0^{2\pi} -1 \d t = 2\pi

Podemos fazer a seguinte observação:

Se F=rot⁑AF = \rot A e SS for uma superfície sem bordo, então, pelo Teorema de Stokes, temos que

∫SFβ‹…nβƒ—=∫Srot⁑Aβ‹…nβƒ—=βˆ«βˆ‚SA⋅ ⁣dgβƒ—=0\int_S F \cdot \vec n = \int_S \rot A \cdot \vec n = \int_{\partial S} A \cdot \d \vec g = 0

Conjunto Aberto Estrelado

DEFINIÇÃO

Seja AβŠ‚RnA \subset \R^n um conjunto aberto. O conjunto AA diz-se em estrela (ou estrelado) se existir x0∈Ax_0 \in A (e.g. centro da estrela) tal que o segmento que une x0x_0 a qualquer ponto de A estΓ‘ contido em AA.

Qualquer conjunto aberto estrelado Γ© um conjunto aberto simplesmente conexo (mas o contrΓ‘rio nΓ£o Γ© sempre verdade).

Exemplos:

Conjunto Estrelado e NΓ£o Estrelado

TEOREMA

Se G:DβŠ‚R3β†’R3G: D \subset \R^3 \to \R^3 com div⁑G=0\ondiv G = 0 e o domΓ­nio de GG Γ© um aberto em estrela, entΓ£o existe F:R3β†’R3F: \R^3 \to \R^3 tal que

rot⁑F=G\rot F = G

Obter o Campo Vetorial de um Rotacional

Tomando G:R3β†’R3G: \R^3 \to \R^3 com div⁑G=0\ondiv G = 0, entΓ£o, como R3\R^3 Γ© um aberto em estrela, G=rot⁑FG = \rot F.

Como podemos calcular o potencial vetor de FF?
Seguimos os seguintes passos:

  1. Fazer um sistema com as componentes da definição de rotacional, igualadas ao valor conhecido do rotacional, isto é, GG.

    rotF=βˆ‡Γ—F=∣e1e2e3βˆ‚βˆ‚xβˆ‚βˆ‚yβˆ‚βˆ‚zF1F2F3∣=(βˆ‚F3βˆ‚yβˆ’βˆ‚F2βˆ‚z,βˆ’βˆ‚F3βˆ‚x+βˆ‚F1βˆ‚z,βˆ‚F2βˆ‚xβˆ’βˆ‚F1βˆ‚y)rot F = \nabla \times F = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, - \frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)
    {βˆ‚F3βˆ‚yβˆ’βˆ‚F2βˆ‚z=G1βˆ‚F1βˆ‚zβˆ’βˆ‚F3βˆ‚x=G2βˆ‚F2βˆ‚xβˆ’βˆ‚F1βˆ‚y=G3\begin{cases} \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} = G_1\\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} = G_2\\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = G_3 \end{cases}
  2. Se G=rot⁑FG = \rot F e Ο•:R3β†’R\phi: \R^3 \to \R

    rot⁑(F+βˆ‡Ο•)=rot⁑F+rot⁑(βˆ‡Ο•)=rot⁑F+0=G\rot (F + \nabla \phi) = \rot F + \rot (\nabla \phi) = \rot F + 0 = G
  3. Seja Ο•=βˆ’βˆ«F1(x,y,z) ⁣dx\phi = - \int F_1 (x,y,z) \d x (isto Γ©, Ο•\phi Γ© o simΓ©trico da primitiva de F1F_1 em ordem a xx)

    • rot⁑(F+βˆ‡Ο•)=G\rot(F + \nabla \phi) = G
    • A primeira coordenada de F+βˆ‡Ο•F + \nabla \phi Γ© F1+βˆ‚Ο•βˆ‚x=F1βˆ’F1=0F_1 + \frac{\partial \phi}{\partial x} = F_1 - F_1 = 0

    Logo, existe um potencial vetor com a primeira componente nula.
    O mesmo Γ© vΓ‘lido com qualquer componente, pelo que sabemos que existe sempre pelo menos uma componente nula.

Γ‰ mais fΓ‘cil perceber atravΓ©s de um exemplo:

Exemplo

Seja o campo vetorial F(x,y,z)=(xey,βˆ’2ey,zey)F(x,y,z) = (x e^y, -2e^y, ze^y).

  1. SerΓ‘ que FF Γ© um rotacional?

    • div⁑F=eyβˆ’2ey+ey=0\ondiv F = e^y - 2e^y + e^y = 0
    • DomΓ­nio de F=R3F = \R^3 Γ© aberto em estrela

    Logo, FF Γ© um rotacional.

  2. Qual o valor de AA tal que F=rot⁑AF = \rot A?

    Tomando, por exemplo, A2A_2 = 0,

    {βˆ‚A3βˆ‚yβˆ’βˆ‚A2βˆ‚z=xeyβˆ‚A1βˆ‚zβˆ’βˆ‚A3βˆ‚x=βˆ’2eyβˆ‚A2βˆ‚xβˆ’βˆ‚A1βˆ‚y=zey⇔{βˆ‚A3βˆ‚y=xeyβˆ’βˆ‚A1βˆ‚y=βˆ’zey⇔{A3=∫xey ⁣dy=xey+C1(x,z)(βˆ’ey+βˆ‚C2βˆ‚z)βˆ’(ey+βˆ‚C1βˆ‚x)=βˆ’2eyA1=βˆ’zey+C2(x,z)⇔{βˆ’βˆ’2ey+βˆ‚C2βˆ‚zβˆ’βˆ‚C1βˆ‚x=βˆ’2eyβˆ’β‡”{βˆ’βˆ‚C2βˆ‚z=βˆ‚C1βˆ‚xβˆ’\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z} = x e^y\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x} = -2e^y\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y} = z e^y \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \frac{\partial A_3}{\partial y} = x e^y\\ \huge -\\ \frac{\partial A_1}{\partial y} = - z e^y \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} A_3 = \int x e^y \d y = x e^y + C_1(x,z)\\ (-e^y + \frac{\partial C_2}{\partial z}) - (e^y + \frac{\partial C_1}{\partial x}) = -2 e^y\\ A_1 = -z e^y + C_2(x,z) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \huge -\\ -2e^y + \frac{\partial C_2}{\partial z} - \frac{\partial C_1}{\partial x}= -2 e^y\\ \huge - \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\\ \frac{\partial C_2}{\partial z} = \frac{\partial C_1}{\partial x}\\ \huge - \end{cases} \end{aligned}

    Escolhendo C1=C2=0C_1 = C_2 = 0, temos A=(βˆ’zey,0,xey)A = (-z e^y, 0, xe^y)

  3. Considerando S={x2+z2=y2:1<y<2}S = \{x^2 + z^2 = y^2: 1 < y < 2\} e nβƒ—y<0\vec n_y < 0, qual o valor de ∫SFβ‹…nβƒ—\int_S F \cdot \vec n?

Representação 3D de S

Pelo Teorema de Stokes, sabemos que

∫SFβ‹…nβƒ—=∫Srot⁑Aβ‹…nβƒ—=βˆ«βˆ‚SA ⁣dg=∫C1A ⁣dg+∫C2A ⁣dg\int_S F \cdot \vec n = \int_S \rot A \cdot \vec n = \int_{\partial S} A \d g = \int_{C_1} A \d g + \int_{C_2} A \d g

C1:x2+z2=1,y=1C_1: x^2+z^2 = 1, y = 1

g(t)=(cos⁑t,1,sin⁑t)gβ€²(t)=(βˆ’sin⁑t,0,cos⁑t)A(g(t))=(βˆ’esin⁑t,0,ecos⁑t)\begin{array}{ll} g(t) = (\cos t, 1, \sin t) & g'(t) = (-\sin t, 0, \cos t)\\ A(g(t)) = (-e \sin t, 0, e\cos t) & \end{array}
∫C1A ⁣dg=βˆ’βˆ«02Ο€A(g(t))β‹…gβ€²(t) ⁣dt=βˆ’2Ο€e\int_{C_1} A \d g = - \int_0^{2 \pi} A(g(t)) \cdot g'(t) \d t = - 2\pi e

C2:x2+z2=4,y=2C_2: x^2+z^2 = 4, y = 2

g(t)=(2cos⁑t,2,2sin⁑t)gβ€²(t)=(βˆ’2sin⁑t,0,2cos⁑t)A(g(t))=(βˆ’2e2sin⁑t,0,2e2cos⁑t)\begin{array}{ll} g(t) = (2\cos t, 2, 2\sin t) & g'(t) = (-2\sin t, 0, 2\cos t)\\ A(g(t)) = (-2e^2 \sin t, 0, 2e^2\cos t) & \end{array}
∫C2A ⁣dg=∫02Ο€A(g(t))β‹…gβ€²(t) ⁣dt=∫02Ο€4e2 ⁣dt=8Ο€e2\int_{C_2} A \d g = \int_0^{2 \pi} A(g(t)) \cdot g'(t) \d t = \int_0^{2 \pi} 4 e^2 \d t = 8\pi e^2

Logo,

∫SFβ‹…nβƒ—=8Ο€e2βˆ’2Ο€e\int_S F \cdot \vec n = 8\pi e^2 - 2\pi e

Significado GeomΓ©trico de Rotacional

Sejam o campo vetorial FF e x0x_0,

F:R3β†’R3F∈C1x0∈R3\begin{array}{lll} F: \R^3 \to \R^3 & F \in C^1 & x_0 \in \R^3 \end{array}
∫SΟ΅rot⁑Fβ‹…nβƒ—=βˆ«βˆ‚SΟ΅F ⁣dg\int_{S_{\epsilon}} \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S_{\epsilon}} F \d g
∫SΟ΅rot⁑Fβ‹…nβƒ—β‰ˆrot⁑F(x0)β‹…nβƒ—βˆ«SΟ΅1 ⁣dS=rot⁑F(x0)β‹…nβƒ—Β Β aˊrea(SΟ΅)\int_{S_{\epsilon}} \rot F \cdot \vec n \approx \rot F(x_0) \cdot \vec n \int_{S_{\epsilon}} 1 \d S = \rot F(x_0) \cdot \vec n\ \text{ Γ‘rea}(S_{\epsilon})
rot⁑F(x0)β‹…nβƒ—=lim⁑ϡ→01aˊrea(SΟ΅)βˆ«βˆ‚SΟ΅F ⁣dg\rot F(x_0) \cdot \vec n = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\text{Γ‘rea}(S_{\epsilon})} \int_{\partial S_{\epsilon}} F \d g

rot⁑F(x0)β‹…nβƒ—\rot F(x_0) \cdot \vec n (o trabalho de FF) Γ© mΓ‘ximo quando nβƒ—\vec n tem a mesma direção e sentido de rot⁑F(x0)\rot F(x_0)

A intensidade do trabalho de FF vai ser

rot⁑F(x0)β‹…rot⁑F(x0)∣∣rot⁑F(x0)∣∣=∣∣rot⁑F(x0)∣∣2∣∣rot⁑F(x0)∣∣=∣∣rot⁑F(x0)∣∣\rot F(x_0) \cdot \frac{\rot F(x_0)}{|| \rot F(x_0)||} = \frac{||\rot F(x_0)||^2}{|| \rot F(x_0)||} = ||\rot F(x_0)||

Slides: