Teorema de Green

Bordo de um Domínio
Teorema de Green
Domínio Simplesmente Conexo
- Homotopia
Relação entre Curvas Homotópicas

Bordo de um Domínio

Seja $D \subset \R^2$ um conjunto aberto e limitado.

Então, $\partial D$ é o bordo de $D$ (pode-se ver como sendo equivalente à fronteira).

Podemos também definir a orientação canónica de $\partial D$ : é a orientação que deixa o conjunto do lado esquerdo da curva.

Bordo de D

Teorema de Green

TEOREMA

Se $F = (P, Q)$ , $F: \R^2 \to \R^2$ e é de classe $C^1$ .

Então, considerando $\partial D$ com a orientação canónica,

\oint_{\partial D} F \d g = \oint_{\partial D} P \d x + Q \d y = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \right) \d x \d y

Se $F: D \subset \R^2 \to \R^2$ , $F=(P,Q)$ , $C^1$ for fechado, isto é, $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ , então sabemos que:

\oint_{\partial D} F = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \right) \d x \d y = 0

Assim, um campo fechado é conservativo nas curvas que delimitam regiões onde $F$ esteja definido.

NOTA: Sentido Direto = Sentido Positivo = Sentido Anti-Horário

Exemplos

Sejam $F$ e a circunferência $C$ , $x^2+y^2=10$ , orientada no sentido horário.

F(x,y) = \left(-\frac{1}{3} y^3, \frac{1}{3}x^3 \right)

Determine $\oint_C F$ .

Como $C = \partial D$ mas com a orientação contrária à canónica, temos que $\oint_C F \d g = - \oint_{\partial D} F \d g$

\begin{aligned} \oint_{\partial D} F \d g &= \iint_D \left(x^2-\left(-y^2 \right) \right) \d x \d y\\ &= \int^{2\pi}_0 \int^{\sqrt{10}}_0 r^2 \cdot r \d r \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left[\frac{r^4}{4} \right]^{\sqrt{10}}_0 \d \theta\\ &= 50 \pi \end{aligned}

Então,

\oint_C F \d g = -50 \pi

Qual o valor de

\int_{\partial D} (e^{x^2} - 3y, \arctan y + x) \d \vec g

sabendo que $\partial D$ é a fronteira do quadrado $[-1, 1] \times [-1, 1]$ percorrida no sentido direto?

NOTA: Sentido direto = Sentido Positivo = Sentido Anti-Horário

Será que $F$ é fechado?

\begin{darray}{ll} \frac{\partial F_1}{\partial y} = -3 & \frac{\partial F_2}{\partial x} = 1 \end{darray}

Como são diferentes, não, $F$ não é fechado.

Então, pelos Teorema de Green:

\begin{aligned} \int_{\partial D} (e^x-3y, \arctan y + x) \d \vec g & = \iint _D 1 - (-3) \d x \d y\\ &= 4 \text{Área}(D)\\ &= 4\times 4 = 16 \end{aligned}

visto que $D$ é um quadrado de área $4$ .

Considerando o campo vetorial $F$ :

\begin{darray}{ll} F(x,y) = \left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2} \right) & F: \R^2 \backslash \{(0,0)\} \to \R^2 \end{darray}

Será que $F$ é fechado?

\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y}{x^2 + y^2} \right) = \frac{-y\cdot (2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}

\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{x^2 + y^2} \right) = \frac{-x\cdot (2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}

Sim, $F$ é fechado.

Será que $F$ é gradiente? Por outras palavras, será que existe um $\phi$ tal que $\nabla \phi = F$ ?

Como o domínio não é simplesmente conexo, nada podemos saber sobre a $F$ ser gradiente.

\begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{x}{x^2+y^2}\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \phi(x,y) = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + C_1(y)\\ \phi(x,y) = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + C_2(x) \end{cases}

Escolhendo $C_1 = C_2 = 0$ , $\phi = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2)$ é um potencial de $F$ .

Logo, $F$ é gradiente.

Calcule o trabalho de $F$ em C, quando percorrida no sentido dos $yy$ decrescentes,
$C = \{(x,y) \in \R^2 : x = \frac{(1+y)^4}{2} , 0 \leq y \leq 1 \}$

Como $F$ é gradiente:

Ponto inicial: $A = (8,1)$
Ponto final: $B = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$

\int_C F \d \vec g = \phi (B) - \phi (A) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} \log \left(64 + 1\right)

Domínio Simplesmente Conexo

DEFINIÇÃO

Um domínio D é simplesmente conexo se qualquer curva em $D$ for homotópica a um ponto.

Homotopia

Dadas duas curvas $C_1$ e $C_2$ num domínio $D$ dizemos que $C_1$ e $C_2$ são homotópicas se for possível deformar $C_1$ e chegar a $C_2$ sem sair de $D$ .

Homotopia entre Curvas

Relação entre Curvas Homotópicas

Sejam duas curvas homotópicas que têm a mesma orientação e um campo vetorial fechado $F: D \to \R^2$ .
Então:

\int_{C_1} F \cdot \d \vec g = \int_{C_2} F \cdot \d \vec g

Exemplo

Considere-se o campo vetorial $F$ :

F(x,y) = \left(- \frac{y-1}{x^2+(y-1)^2}, \frac{x}{x^2+(y-1)^2}\right)

Seja $C$ a fronteira do quadrado de vértices $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(-3,0)$ e $(0,-3)$ percorrida no sentido anti-horário.
Qual o valor de $\int_C F \d \vec g$ ?

Sabemos que $F$ corresponde a um vórtice centrado em $(0,1)$ e que $F: \R^2 \backslash \{(0,1)\}$ .
Como tal, $F$ é fechado, mas não é gradiente.

Assim, se considerarmos uma curva $C_2$ homotópica a $C$ , sabemos que $\int_C F \d \vec g = \int_{C_2} F \d \vec g$ .

Visto que $F$ é um vórtice, pode-se simplificar os cálculos escolhendo uma circunferência de raio $1$ centrada em $(0,1)$ .

Representação Quadrado e Circunferência

Parametrizando $C_2$ :

\begin{array}{ll} \begin{cases} x = \cos t\\ y = \sin t + 1 \end{cases} & \begin{aligned} g(t) &= (\cos t, \sin t + 1)\\ g'(t) &= (-\sin t, \cos t) \end{aligned} \end{array}

E finalmente calculando o integral ao longo de $C_2$ :

F(x,y) = \left(- \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2}, \frac{x}{x^2+(y-1)^2}\right)

F(g(t)) = \left(-\frac{\sin t}{1}, \frac{\cos t}{1}\right) = (-\sin t, \cos t)

\begin{aligned} \int_C F \d \vec g = \int_{C_2} F \d \vec g &= \int^{2\pi}_0 (-\sin t, \cos t) \cdot (-\sin t, \cos t) \d t\\ &= \int^{2\pi}_0 1 \d t = 2 \pi \end{aligned}

Slides: