Além da determinação do volume n-dimensional de um sólido,
podemos usar o integral para calcular a massa de sólidos, o centro de massa e centroide,
o momento de inércia em relação a um eixo, entre outros.
Se tivermos um sólido S S S R 3 \R^3 R 3 e uma função f f f S S S massa de S S S através de:
Massa de S = ∫ S f \text{Massa de }S = \int_S f Massa de S = ∫ S f Exemplos Seja V V V
V = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 ≤ z ≤ 3 − x 2 − y 2 } V = \{(x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2\leq 1, x^2+y^2 \leq z \leq 3-x^2-y^2 \} V = {( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 ≤ z ≤ 3 − x 2 − y 2 } e a função f f f V V V ,
f ( x , y , z ) = z 2 f(x,y,z) = z^2 f ( x , y , z ) = z 2
Qual a massa de V V V
∫ V z 2 d x d y d z \int_V z^2 \d x \d y \d z ∫ V z 2 d x d y d z
V V V z z z
Então, transformando em coordenadas cilíndricas ,
{ x = r cos θ y = r sin θ z = z \begin{cases}
x = r \cos \theta\\
y = r \sin \theta\\
z = z
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = r cos θ y = r sin θ z = z r 2 ≤ 1 , r 2 ≤ z ≤ 3 − r 2 θ ∈ ] 0 , 2 π [ , 0 ≤ r ≤ 1 \begin{array}{l l l}
r^2 \leq 1 & , & r^2 \leq z \leq 3 - r^2\\
\theta \in ]0, 2\pi [ & , & 0 \leq r \leq 1
\end{array} r 2 ≤ 1 θ ∈ ] 0 , 2 π [ , , r 2 ≤ z ≤ 3 − r 2 0 ≤ r ≤ 1 Massa = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ r 2 3 − r 2 z 2 ⋅ r d z d θ d r = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π [ z 3 3 ⋅ r ] r = r 2 z = 3 − r 2 d θ d r = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ( ( 3 − r 2 ) 3 3 ⋅ r − r 6 3 ⋅ r ) d θ d r = 2 π ∫ 0 1 ( ( 3 − r 2 ) 3 − 2 × 3 ⋅ ( − 2 r ) − r 7 3 ) d r = 2 π [ ( 3 − r 2 ) 4 − 2 × 3 × 4 − r 8 3 × 8 ] 0 1 = 2 π ( ( − 16 24 − 1 24 ) − 81 − 24 ) = 2 π 64 24 \begin{aligned}
\text{Massa} &= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \int^{3-r^2}_{r^2} z^2 \cdot r \d z \d \theta \d r\\
&= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \left[\frac{z^3}{3} \cdot r \right]^{z=3-r^2}_{r=r^2} \d \theta \d r\\
&= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \left(\frac{(3-r^2)^3}{3} \cdot r - \frac{r^6}{3} \cdot r \right) \d \theta \d r\\
&= 2\pi \int^1_0 \left(\frac{(3-r^2)^3}{-2\times 3} \cdot (-2r) - \frac{r^7}{3} \right) \d r\\
&= 2\pi \left[\frac{(3-r^2)^4}{-2\times 3 \times 4} - \frac{r^8}{3 \times 8} \right]^1_0\\
&= 2\pi \left(\left(-\frac{16}{24} - \frac{1}{24} \right) - \frac{81}{-24}\right)\\
&= 2\pi \frac{64}{24}
\end{aligned} Massa = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ r 2 3 − r 2 z 2 ⋅ r d z d θ d r = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π [ 3 z 3 ⋅ r ] r = r 2 z = 3 − r 2 d θ d r = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ( 3 ( 3 − r 2 ) 3 ⋅ r − 3 r 6 ⋅ r ) d θ d r = 2 π ∫ 0 1 ( − 2 × 3 ( 3 − r 2 ) 3 ⋅ ( − 2 r ) − 3 r 7 ) d r = 2 π [ − 2 × 3 × 4 ( 3 − r 2 ) 4 − 3 × 8 r 8 ] 0 1 = 2 π ( ( − 24 16 − 24 1 ) − − 24 81 ) = 2 π 24 64 Representado por ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) (\overline x, \overline y, \overline z) ( x , y , z ) centro de massa de um sólido
pode ser calculado através da seguinte expressão, para cada uma das suas coordenadas:
x ‾ = ∫ S x f ∫ S f = 1 Massa ⋅ ∫ S x f \overline x = \frac{\int_S xf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S xf x = ∫ S f ∫ S x f = Massa 1 ⋅ ∫ S x f y ‾ = ∫ S y f ∫ S f = 1 Massa ⋅ ∫ S y f \overline y = \frac{\int_S yf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S yf y = ∫ S f ∫ S y f = Massa 1 ⋅ ∫ S y f z ‾ = ∫ S z f ∫ S f = 1 Massa ⋅ ∫ S z f \overline z = \frac{\int_S zf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S zf z = ∫ S f ∫ S z f = Massa 1 ⋅ ∫ S z f No caso f = 1 f=1 f = 1 ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) (\overline x, \overline y, \overline z) ( x , y , z ) centroide
x ‾ = ∫ S x ∫ S 1 \overline x = \frac{\int_S x}{\int_S 1} x = ∫ S 1 ∫ S x Podemos também, através do integral, calcular o momento de inércia
O momento de inércia L L L
I L = ∫ S densidade × ( dist a ˆ ncia a ˋ lateral ) 2 I_L = \int_S \text{densidade} \times (\text{distância à lateral})^2 I L = ∫ S densidade × ( dist a ˆ ncia a ˋ lateral ) 2 Como exemplo, para o eixo z z zz z z
I z = ∫ S f ⋅ ( x 2 + y 2 ⏟ dist a ˆ ncia de um ponto ao eixo dos z z ) 2 = ∫ S f ⋅ ( x 2 + y 2 ) I_z = \int_S f\cdot (\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{\begin{array}{c}
\scriptsize\text{distância de um} \\
\scriptsize\text{ponto ao eixo dos }zz
\end{array}})^2 = \int_S f\cdot (x^2+y^2) I z = ∫ S f ⋅ ( dist a ˆ ncia de um ponto ao eixo dos z z x 2 + y 2 ) 2 = ∫ S f ⋅ ( x 2 + y 2 ) E para o eixo y y yy y y
I y = ∫ S f ⋅ ( x 2 + z 2 ) I_y = \int_S f\cdot (x^2+z^2) I y = ∫ S f ⋅ ( x 2 + z 2 ) Slides:
