Integração em Rⁿ

Intervalo aberto

Um intervalo aberto de Rn\R^n é um conjunto de fatores

I=]a1,b1[×]a2,b2[××]an,bn[I = ]a_1, b_1[ \times ]a_2, b_2[ \times \dots \times ]a_n, b_n[

Por exemplo, em R2\R^2 são retângulos abertos, enquanto em R3\R^3 são paralelepípedos abertos

Podemos também calcular o comprimento, área, volume, etc através de um intervalo.

I=(b1a1)×(b2a2)××(bnan)|I| = (b_1-a_1) \times (b_2-a_2)\times \dots \times (b_n-a_n)

  • Em R\R, I|I| é o comprimento
  • Em R2\R^2, I|I| é a área
  • Em R3\R^3, I|I| é o volume

Partição

Uma partição de II é uma subdivisão em intervalos abertos.

Integração

Funções em escada

Dada uma partição, uma função em escada nessa partição é uma função que é constante em cada subintervalo.

Uma propriedade das funções em escada é que é muito fácil calcular o seu integral.

Em geral, se f:IRf: I \to \R é uma função em escada, então

If=J elemento da partic¸a˜o(valor da func¸a˜o)×J\int_I f= \sum_{J\text{ elemento da partição}} (\text{valor da função}) \times |J|

Exemplo

Em R\R:

08=3×1+2×2+4×2+1×3=3+4+8+3=18\int^8_0=3\times 1 + 2\times 2 + 4\times 2 + 1\times 3 = 3+4+8+3 = 18

Funções escalares

Em geral, se, f:IRf: I \to \R, podemos encontrar estratégias para definir If\int_I f. Uma dessas estratégias é enquadrar a função no integral superior e inferior. O tamanho das partições que escolhemos não é relevante, obtemos o mesmo resultado com partições de qualquer tamanho.

"If\int_I f \leq área desta função em escada"

"If\int_I f \geq área desta função em escada"

DEFINIÇÃO

Integral superior de ff:

IfIf=inf{Integrais de todas as func¸o˜es em cada subintervalo por excesso}\int_I f \leq \overline{\int_I} f = \operatorname{inf} \{\text{Integrais de todas as funções em cada subintervalo por excesso}\}

Integral inferior de ff

IfIf=sup{Integrais de todas as func¸o˜es em cada subintervalo por defeito}\int_I f \geq \underline{\int_I} f = \operatorname{sup} \{\text{Integrais de todas as funções em cada subintervalo por defeito}\}

Assim, conseguimos obter a definição de função integrável.

DEFINIÇÃO

f:IRf: I \to \R diz-se integrável se If=If\overline{\int}_I f=\underline{\int}_I f e nesse caso,

If:=If(ouIf)\int_I f := \overline{\int_I} f \left(\text{ou} \underline{\int_I} f\right)

Propriedades do Integral

  • Se f,g:IRf, g: I \to \R integráveis, então podemos separar somas e constantes

    I(af+bg)=aIf+bIg,a,bR\int_I (af+bg) = a\int_I f + b\int_I g, \quad a,b\in \R

  • Se fgf \leq g, então IfIg\int_I f \leq \int_I g

  • Se I1I2I_1 \cup I_2 é uma partição de II então

    If=I1f+I2f\int_I f= \int_{I_1} f + \int_{I_2} f

Teorema de Fubini

Este teorema permite-nos calcular o valor de integrais em intervalos de dim>1dim > 1.

DEFINIÇÃO

Se f:IRf: I \to \R, II intervalo em Rn\R^n, for integrável em todas as variáveis, então, se I=]a1,b1[××]an,bn[I = ]a_1,b_1[ \times \dots \times ]a_n,b_n[

If=anbn(an1bn1(a1b1f(x) ⁣dx1) ⁣dxn1) ⁣dxn\int_I f= \int^{b_n}_{a_n} \left( \int^{b_{n-1}}_{a_{n-1}} \dots \left(\int^{b_1}_{a_1} f(x) \d x_1 \right) \dots \d x_{n-1} \right) \d x_n

warning

Não interessa a ordem das variáveis no contexto deste Teorema. As expressões abaixo são equivalentes, considerando I=]0,1[×]2,3[I = ]0, 1[\times ] 2, 3[.

If=01(23f ⁣dy) ⁣dx=23(01f ⁣dx) ⁣dy\int_I f = \int^1_0 \left(\int^3_2 f \d y\right)\d x = \int^3_2 \left( \int^1_0 f \d x\right)\d y

Exemplos

Considerando

I=]0,1[×]0,1[ef(x,y)=x(x2+y)2\begin{array}{l c l} I = ]0, 1[ \times ]0, 1[ & \text{e} & f(x,y) = x(x^2+y)^2 \end{array}

calcule o integral de ff em II.

If=01(01f(x,y) ⁣dx) ⁣dy=01(01x(x2+y)2 ⁣dx) ⁣dy=1201(012x(x2+y)2 ⁣dx) ⁣dy=1201[(x2+y)33]01 ⁣dy=1201((1+y)33y33) ⁣dy=12[(1+y)43×4y43×4]01=12((2412112)(1120))=121412=712\begin{aligned} \int_I f &= \int^1_0 \left( \int^1_0 f(x,y) \d x\right) \d y \\ &= \int^1_0\left(\int^1_0 x(x^2+y)^2 \d x\right) \d y\\ &= \frac 12 \int^1_0 \left( \int^1_0 2x(x^2+y)^2 \d x\right) \d y \\ &= \frac 12 \int^1_0 \left[\frac{ \left(x^2+y\right)^3}{3}\right]^1_0 \d y\\ &= \frac 12 \int^1_0 \left( \frac{\left(1+y\right)^3}{3} - \frac{y^3}{3}\right)\d y \\ &= \frac 12 \left[\frac{\left(1+y\right)^4}{3\times 4} - \frac{y^4}{3\times 4}\right]^1_0\\ &= \frac 12 \left(\left(\frac{2^4}{12}- \frac{1}{12}\right)-\left(\frac{1}{12} - 0\right)\right)\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{12}\\ &= \frac{7}{12}\\ \end{aligned}

Considerando

I=]0,1[×]0,2[ef(x,y)={x3yse x2<y<2x20c.c.\begin{array}{l c l} I = ]0,1[ \times ]0, 2[ &\text{e} & f(x,y) = \begin{cases} x^3y & \text{se } x^2 < y <2x^2\\ 0 & \text{c.c.} \end{cases} \end{array}

calcule o integral de ff em II.

If=01(02f(x,y) ⁣dy) ⁣dx=01(x22x2x3y ⁣dy) ⁣dx=01[x3y22]x22x2 ⁣dx=01(x3(2x2)22x3(x2)22) ⁣dx=012x7x72 ⁣dx=0132x7 ⁣dx=32[x88]01=32(180)=316\begin{aligned} \int_I f &= \int^1_0 \left(\int^2_0 f\left(x,y\right) \d y\right)\d x \\ &= \int^1_0 \left(\int^{2x^2}_{x^2} x^3 y \d y\right)\d x\\ &=\int^1_0 \left[x^3 \frac{y^2}{2}\right]^{2x^2}_{x^2} \d x \\ &= \int^1_0 \left(x^3\frac{\left(2x^2\right)^2}{2} - \frac{x^3\left(x^2\right)^2}{2}\right) \d x\\ &=\int^1_0 2x^7 - \frac{x^7}{2} \d x \\ &= \int^1_0 \frac{3}{2} x^7 \d x \\ &= \frac{3}{2} \left[\frac{x^8}{8}\right]^1_0\\ &=\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{8} - 0\right) \\ &= \frac{3}{16}\\ \end{aligned}

Porquê integrar primeiro em yy e depois em xx? Porque simplifica os cálculos. Ambas as estratégias irão chegar à resposta correta, mas como podemos ver pela expressão abaixo, teríamos de calcular o valor de dois integrais e não um.

01(y2yf(x,y) ⁣dx) ⁣dy+12(y21f(x,y) ⁣dx) ⁣dy\int^1_0 \left( \int^{\sqrt{y}}_{\frac{\sqrt{y}}{2}} f\left(x,y\right) \d x\right)\d y + \int^2_1 \left( \int^1_{\frac{\sqrt y}{2}} f\left(x,y\right) \d x\right) \d y

Volume n-dimensional de um conjunto A

Este teorema permite-nos concluir a relação entre os integrais e o comprimento, área e volume.

  • aˊrea=comprimento\text{área} = \int \text{comprimento}
  • volume=aˊrea\text{volume} = \int \text{área}

Expandindo a definição de área, chegamos à função 1l\1:

aˊrea=abcomprimento(x) ⁣dx=ab(f(x)g(x)) ⁣dx=ab(g(x)f(x)1 ⁣dy) ⁣dx=1lA(x,y) ⁣dx ⁣dy\begin{aligned} \text{área} &= \int^b_a \text{comprimento} (x) \d x \\ &= \int^b_a\left(f(x)-g(x)\right) \d x\\ &= \int^b_a\left(\int^{f(x)}_{g(x)} 1 \d y\right) \d x\\ &= \int \1_A (x,y) \d x \d y \end{aligned}
1lA={1,(x,y)A0,(x,y)A\1_A = \begin{cases} 1&,&(x,y) \in A\\ 0&,&(x,y)\notin A \end{cases}

DEFINIÇÃO

Assim, podemos definir o volume n-dimensional de um conjunto AA como

1lAem que1lA={1,(x,y)A0,(x,y)A\begin{array}{l l l} \int \1_A & \text{em que} & \1_A = \begin{cases} 1&,&(x,y) \in A\\ 0&,&(x,y)\notin A \end{cases} \end{array}
Exemplos

Qual o volume do conjunto abaixo?

{x>0,y>0,z>0,x+y+z<1}\{x> 0, y> 0, z > 0, x+y+z<1\}

Neste tipo de exercícios, podemos escolher que variável devemos fixar primeiro.
Esta escolha é muito importante porque nos pode simplificar bastante os cálculos, se escolhermos a variável certa.

Volume=01Aˊrea(z) ⁣dz\text{Volume} = \int^1_0 \text{Área}(z) \d z

Fixado zz,

Restric¸o˜es na figura: {x>0y>0x+y<1z\text{Restrições na figura: } \begin{cases} x>0\\ y>0\\ x+y<1-z \end{cases}
Aˊrea=01z(01zx1 ⁣dy) ⁣dx\text{Área} = \int^{1-z}_0\left(\int^{1-z-x}_0 1 \d y\right) \d x
Volume=01(01z(01zx1 ⁣dy) ⁣dx) ⁣dz=01(01z(1zx) ⁣dx) ⁣dz=01[(1z)xx22]01z ⁣dz=01((1z)2(1z)220) ⁣dz=01(1z)22 ⁣dz=[(1z)36]01=0(16)=16\begin{aligned} \text{Volume} &= \int^1_0 \left(\int^{1-z}_0\left(\int^{1-z-x}_0 1 \d y\right) \d x\right) \d z\\ &=\int^1_0 \left(\int^{1-z}_0\left(1-z-x\right) \d x\right) \d z\\ &=\int^1_0 \left[\left(1-z\right)x - \frac{x^2}{2}\right]^{1-z}_0 \d z\\ &=\int^1_0 \left(\left(1-z\right)^2 - \frac{\left(1-z\right)^2}{2} - 0\right) \d z \\ &=\int^1_0 \frac{\left(1-z\right)^2}{2} \d z\\ &= \left[-\frac{\left(1-z\right)^3}{6}\right]^1_0\\ &= 0 - \left(-\frac{1}{6}\right) \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}

Qual o volume do conjunto abaixo?

S={(x,y)R2,y>x2,y<1x2}S=\{(x,y) \in \R^2, y> x^2, y < 1-x^2\}

Fixando primeiro xx:

{y=x2y=1x2{1x2=x2y=x21=2x2x=±22\begin{cases} y=x^2\\ y=1-x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1-x^2= x^2\\ y=x^2 \end{cases} \Leftrightarrow 1=2x^2 \Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt 2}{2}
Aˊrea=2222(x21x21 ⁣dy) ⁣dx=22221x2x2 ⁣dx=222212x2 ⁣dx=[x2x33]2222=2222283(222(228)3)=2226+2226=223\begin{aligned} \text{Área} &= \int^{\frac{\sqrt 2}{2}}_{-\frac{\sqrt 2}{2}} \left(\int^{1-x^2}_{x^2} 1 \d y\right)\d x\\ &=\int^{\frac{\sqrt 2}{2}}_{-\frac{\sqrt 2}{2}} 1-x^2-x^2 \d x\\ &=\int^{\frac{\sqrt 2}{2}}_{-\frac{\sqrt 2}{2}} 1-2x^2 \d x\\ &=\left[x-\frac{2x^3}{3}\right]^{\frac{\sqrt 2}{2}}_{-\frac{\sqrt 2}{2}}\\ &=\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{2 \frac{2\sqrt 2}{8}}{3} - \left(-\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{2 \left( -\frac{2\sqrt 2}{8}\right)}{3}\right)\\ &=\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{\sqrt 2}{6} +\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{\sqrt 2}{6}\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{aligned}

No entanto, podíamos tentar fixar primeiro yy, mas rapidamente iríamos concluir que teríamos de calcular dois integrais em vez de um. Chegamos sempre à mesma resposta, com qualquer um dos métodos.

Então, fixando primeiro yy:

01comprimento(y) ⁣dy\int^1_0 \text{comprimento}(y) \d y

  • Se 0<y<120 < y < \frac{1}{2}, então y=x2x=±yy = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{y}
    comprimento(y)=yy1 ⁣dx\text{comprimento}(y) = \int^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}} 1 \d x
  • Se 12<y<1\frac{1}{2} < y < 1, então y=1x2x=±1yy = 1 - x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y}
    comprimento(y)=1y1y1 ⁣dx\text{comprimento}(y) = \int^{\sqrt{1-y}}_{-\sqrt{1-y}} 1 \d x
Aˊrea=012(yy1 ⁣dx) ⁣dy+121(1y1y1 ⁣dx) ⁣dy=012(2y) ⁣dy+121(21y) ⁣dy=[2y3232]012+[2(1y)3232]121=(223(12)320)+(0(223(12)32))=43122+43122=232+232=223\begin{aligned} \text{Área} & =\int _{0}^{\frac{1}{2}}\left(\int _{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 1\d x\right) \d y+\int _{\frac{1}{2}}^{1}\left(\int _{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} 1\d x\right) \d y\\ & =\int _{0}^{\frac{1}{2}}\left( 2\sqrt{y}\right) \d y+\int _{\frac{1}{2}}^{1}\left( 2\sqrt{1-y}\right) \d y\\ & =\left[\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{1}{2}} +\left[ -\frac{2( 1-y)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}\\ & =\left( 2\cdot \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} -0\right) +\left( 0-\left( -2\cdot \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right)\\ & =\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} +\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\\ & =\frac{2}{3\sqrt{2}} +\frac{2}{3\sqrt{2}}\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{aligned}

Qual o volume do conjunto abaixo?

C={0<z<1x2+y2<z2}C = \{0 < z < 1 \land x^2+y^2 < z^2\}

Fixando primeiro zz:

Volume=01Aˊrea(z) ⁣dz\text{Volume} = \int^1_0 \text{Área}(z) \d z

Aˊrea(z)=zz(z2x2z2x21 ⁣dy) ⁣dxVolume=01(zz(z2x2z2x21 ⁣dy) ⁣dx) ⁣dz\begin{darray}{l} \text{Área}(z) = \int^z_{-z}\left(\int^{\sqrt{z^2-x^2}}_{-\sqrt{z^2-x^2}} 1 \d y \right) \d x\\ \text{Volume} = \int^1_0\left( \int^z_{-z}\left(\int^{\sqrt{z^2-x^2}}_{-\sqrt{z^2-x^2}} 1 \d y \right) \d x \right) \d z \end{darray}

Qual o volume de {0zx2+y20x,y1}\{0 \leq z \leq x^2+y^2 \land 0 \leq x,y \leq 1\}?

Representação 3D

Fixando xx primeiro, em que 0x10 \leq x \leq 1.

0zx2+y2,0y10 \leq z \leq x^2+y^2 \quad, \quad 0 \leq y \leq 1

Fixando de seguida yy e depois gg, obtemos o integral:

Volume=01(01(0x2+y21 ⁣dz) ⁣dy) ⁣dx\text{Volume} = \int^1_0\left( \int^1_0 \left( \int^{x^2+y^2}_0 1 \d z \right) \d y \right) \d x

Existem mais exemplos nos slides da aula 20


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