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Conjunto de Nível e Caminho

Curvas de Nível

Tomando uma função escalar, f:D⊆Rn→Rf: D \subseteq \R^n \to \R e a∈Da \in D. Suponha que ff é diferenciável em aa. Então,

∂f∂v(a)=Jafv=∇f(a)⋅v=∣∣∇f(a)∣∣⋅∣∣v∣∣⋅cos⁡(∇f(a),v)^\frac{\partial f}{\partial v} (a)=J^{f}_{a} v=\nabla f( a) \cdot v=||\nabla f( a) ||\cdot ||v||\cdot \cos\widehat{( \nabla f( a) ,v)}

pois podemos chamar à Jacobiana de uma função escalar, o gradiente, ∇f(a)\nabla f(a), da função.

Se ∣∣v∣∣=1||v|| = 1, então ∂f∂v(a)=∣∣∇f(a)∣∣⋅cos⁡(∇f(a),v)^\frac{\partial f}{\partial v} (a) = ||\nabla f( a) ||\cdot \cos\widehat{( \nabla f( a) ,v)}, ou ainda v=∇f(a)∣∣∇f(a)∣∣v=\frac{\nabla f(a)}{|| \nabla f(a)||}.

Podemos concluir duas coisas:

  • Quando nos afastamos de aa no sentido de ∇f(a)\nabla f (a), a função tem variação máxima.
  • Quando cos⁡(∇f(a),v)^=0\cos\widehat{( \nabla f( a) ,v)}= 0 (ou seja v⊥∇f(a)v \perp \nabla f(a)), a função "não varia localmente", dando origem a curvas de nível: pontos da função com o mesmo valor.

Curvas de Nível em 3D

O gradiente dá a direção e sentido segundo os quais se dá a variação máxima da função.

tip

Para funções diferenciáveis vetoriais f:D⊆Rn→Rmf: D \subseteq \R^n \to \R^m (portanto existem fi:D⊆Rn→Rf_i: D \subseteq \R^n \to \R diferenciáveis para i=1,2,…,mi = 1, 2, \dots, m), estas considerações são válidas para cada uma das fif_i's.

Exemplo

Seja f(x,y)=x2+xyf(x,y) = x^2+xy. Obtendo o gradiente da função, podemos descobrir qual a direção a seguir para maximizar a variação da mesma.

∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y)∂f∂y(x,y))=(2x+y,x)∇f(1,1)=(2⋅1+1,1)=(3,1)\begin{darray}{c} \nabla f (x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)\right) = (2x+y, x)\\\\ \nabla f(1,1) = (2\cdot 1 + 1, 1) = (3,1) \end{darray}

Em (1,1)(1,1) devo afastar-me no sentido (3,1)(3,1) para sentir a variação máxima da função junto a (1,1)(1,1).

Por outro lado para não sentir variação de ff junto a (1,1)(1,1), calcula-se o vetor perpendicular, (3,1)⋅(v1,v2)=3v1+v2  ⟹  v=(1,−3)(3,1) \cdot (v_1,v_2) = 3v_1 + v_2 \implies v=(1, -3).
Assim, ao me afastar de (1,1)(1,1) no sentido (1,−3)(1,-3), a função não varia localmente.

Conjunto de Nível

Os conjuntos de nível são a generalização das curvas de nível a dim>2dim > 2.

DEFINIÇÃO

Seja f:D⊆Rn→Rf: D \subseteq \R^n \to \R e k∈Rk \in \R,
define-se o conjunto de nível de ff de valor kk como

N(k)={x∈D:f(x)=k}N(k) = \{x\in D: f(x) = k\}

Podemos dar nomes concretos ao conjunto de nível, caso estejamos numa das dimensões:

  • Se n=2n = 2: curvas de nível
  • Se n=3n = 3: superfícies de nível

Se tomarmos como exemplo f(x,y)=x2−y2f(x,y)=x^2-y^2, podemos calcular as suas curvas de nível (conjuntos de nível), de forma a obtermos um esboço do gráfico da função.

N(0)={(x,y)∈D:x2−y2=0}={(x,y)∈D:x2=y2}=={(x,y)∈D:y=x∨y=−x}N(1)={(x,y)∈D:x2−y2=1}  ⟹  y=±x2−1N(−1)={(x,y)∈D:x2−y2=−1}  ⟹  y=±x2+1\begin{darray}{l} N(0) = \{(x,y) \in D: x^2-y^2= 0\} = \{(x,y) \in D: x^2=y^2\} =\\ = \{(x,y) \in D: y=x \lor y=-x\}\\ \\ N(1) = \{(x,y) \in D: x^2-y^2 = 1\} \implies y= \pm \sqrt{x^2-1}\\ \\ N(-1) = \{(x,y) \in D: x^2-y^2=-1\} \implies y= \pm \sqrt{x^2+1} \end{darray}

Podemos visualizar as curvas de nível que acabámos de calcular no plano:

Curvas de Nível da Função Exemplo

Podemos continuar a calcular as curvas de nível N(k)N(k) e N(−k)N(-k), com k>0k > 0, de forma a obtermos uma melhor ideia da função.

Ponto de Sela

A este fenómeno, em que a derivada é nula mas não é nem um máximo nem um mínimo da função, chamamos ponto de selasaddle-point:

Também podemos pensar que ao longo de uma direção a função cresce, e ao longo de outra decresce.

Ponto de Sela (Saddle Point)

Caminho em Rⁿ

DEFINIÇÃO

Caminho em Rn\R^n é uma função c:R→Rnc: \R \to \R^n.
A imagem de cc diz-se linha ou curva e denota-se Γ\Gamma.

Como exemplo, tomemos o caminho c(t)=(cos⁡t,sin⁡t),∀t∈Rc(t)=(\cos t, \sin t), \forall t \in \R.
A imagem deste caminho é Γ={(x,y)∈R2:x2+y2=1}\Gamma = \{(x,y) \in \R^2: x^2+y^2=1\}.

Derivada de um Caminho

Se um caminho é C1C^1 (isto é, as derivadas parciais são contínuas) a derivada é dada por

c′(t)=lim⁡h→0c(t+h)−c(t)hc'(t)=\lim_{h \to 0} \frac{c(t+h)-c(t)}{h}

DEFINIÇÃO

Seja c:R→Rnc: \R \to \R^n, C1C^1 e Γ\Gamma a linha descrita por cc.
O vetor c′(t)c'(t) diz-se o vetor tangente à linha Γ\Gamma no ponto c(t)c(t).

Se considerarmos cada função componente de cc, a função ci:R→Rc_i: \R \to \R, podemos derivar individualmente cada uma destas componentes, de forma a obter o vetor tangente, c′(t)c'(t), à curva Γ\Gamma em c(t)c(t).

Exemplos

Se tivermos c(t)=(cos⁡t,sin⁡t),∀t∈Rc(t) = (\cos t, \sin t), \forall t \in \R, podemos calcular as suas derivadas em vários pontos:

c′(t)=(−sin⁡t,cos⁡t),∀t∈Rc′(π2)=(−sin⁡π2,cos⁡π2)=(−1,0)c′(0)=(−sin⁡0,cos⁡0)=(0,1)\begin{darray}{l} c' (t) = (-\sin t, \cos t), \quad \forall t \in \R\\ c'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(-\sin\frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}\right)=(-1,0)\\ c'(0) = (-\sin 0, \cos 0) = (0, 1)\\ \end{darray}

Tendo c(t)=(cos⁡t,sin⁡t,t),∀t∈Rc(t)=(\cos t, \sin t, t), \forall t \in \R, obtemos:

c′(t)=(−sin⁡t,cos⁡t,1)c′(π2)=(−sin⁡π2,cos⁡π2,1)=(−1,0,1)\begin{darray}{l} c'(t)=(-\sin t, \cos t, 1)\\ c'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(-\sin \frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}, 1\right) = (-1,0,1) \end{darray}

Vetor Tangente a um Conjunto

DEFINIÇÃO

Um vetor v∈Rnv\in \R^n diz-se tangente a um conjunto M⊂RnM \subset \R^n num ponto a∈Ma \in M se existir um caminho C1,c:R→MC^1, c:\R \to M tal que c(0)=ac(0) = a e c′(0)=vc'(0) = v.

Exemplo

Sejam f:D⊆Rn→Rf: D \subseteq \R^n \to \R, uma função escalar e k∈Rk \in \R
Sejam M=N(k)={x∈D:f(x)=k}M = N(k) = \{x \in D: f(x)= k\}
Seja a∈M,v∈Rna \in M, v \in \R^n, então c:R→Mc: \R \to M com c(0)=a,c′(0)=vc(0) = a, c'(0) = v.

Então, para t=0t=0,
f(c(t))=k  ⟹  0=(f∘c)′(0)=∇f(c(t))=∇f(a)⋅v  ⟹  v⊥∇f(a)f(c(t)) = k \implies 0=(f\circ c)'(0) = \nabla f(c(t)) = \nabla f(a) \cdot v \implies v \perp \nabla f(a),
ou seja, vv é ortogonal a ∇f(a)\nabla f(a)

Portanto se MM é conjunto de nível e a∈Ma\in M, ∇f(a)\nabla f(a) é ortogonal à tangente a MM em aa.

Gradiente de um Campo Escalar

DEFINIÇÃO

O gradiente de um campo escalar ff em aa é ortogonal ao conjunto de nível de ff.

Exemplos

Qual o vetor perpendicular ao plano de equação ax+by+cz=dax + by + cz = d ?

O plano é conjunto de nível com valor dd da função f(x,y,z)=ax+by+czf(x,y,z)=ax+by+cz,

N(d)={(x,y,z)∈R3:ax+by+cz=d}N(d)=\{(x,y,z)\in \R^3: ax+by+cz=d\}

∇f(x,y,z)=(abc),∀(x,y,z)∈R3\nabla f(x,y,z) = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}, \forall (x,y,z) \in \R^3 é ⊥\perp a N(a)N(a) em qualquer ponto de N(a)N(a)

Determine uma equação do plano tangente à esfera x2+y2+z2=9x^2+y^2+z^2=9 no ponto (2,2,1)(2,2,1).

A esfera pode ser representada por N(9)={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2=9}N(9) = \{(x, y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2=9\} com f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, pelo que:

∇f(x,y,z)=(2x,2y,2z)∇f(2,2,1)=(4,4,2)\begin{array}{l} \nabla f(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)\\ \nabla f(2,2,1) = (4, 4, 2) \end{array}

Pegando agora no vetor que representa o ponto,
v=(x,y,z)−(2,2,1)=(x−2,y−2,z−1)⊥∇f(2,2,1)=(4,4,2)v=(x,y,z)-(2,2,1)=(x-2,y-2,z-1) \perp \nabla f(2,2,1) = (4, 4, 2)

Podemos obter a equação do plano tangente (a N(9)N(9)) à esfera em (2,2,1)(2,2,1): 0=(4,4,2)⋅(x−2,y−2,z−1)=4(x−2)+4(y−2)+2(z−1)0=(4, 4, 2) \cdot (x-2, y-2, z-1) = 4(x-2) + 4(y-2) + 2(z-1)

4x+4y+2z=8+8+2⇔2x+2y+z=94x+4y+2z=8+8+2 \Leftrightarrow 2x+2y+z=9

Calcule agora a reta normal à esfera nesse ponto.

R={(x,y,z)∈R3:(x,y,z)=(2,2,1)+λ∇f(2,2,1),λ∈R}={(x,y,z)∈R3:(x,y,z)=(2,2,1)+λ(4,4,2),λ∈R}\begin{aligned} R& = \{(x,y,z) \in \R^3: (x,y,z) = (2,2,1) + \lambda \nabla f(2,2,1), \lambda \in \R\}\\ &=\{(x,y,z) \in \R^3: (x,y,z) = (2,2,1) + \lambda (4,4,2), \lambda \in \R\} \end{aligned}

Slides:

  1. Saddle Point na Wikipedia↩