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Integrabilidade de Funções

Sabemos que uma função é integrável quando ∫I‾f=∫I‾f\underline{\int_I} f = \overline{\int_I} f.
Mas que tipos de funções são integráveis?

TEOREMA

Seja f:I⊂Rn→Rf: I \subset \R^n \to \R contínua e limitada, então ff é integrável.

Conjunto de conteúdo nulo

DEFINIÇÃO

A⊂RnA \subset \R^n é de conteúdo nulo se, para qualquer ϵ>0\epsilon > 0, existirem intervalos IjI_j tal que A⊂⋃IjA \subset \bigcup I_j e ∑∣Ij∣<ϵ\sum |I_j| < \epsilon.

A área total de IjI_j é tão pequena quanto se queira.

  • Uma linha contínua tem área 0 e volume 0
  • Uma superfície contínua tem volume 0

Conteúdo Nulo

B=A\linha roxaaˊrea⁡(A)=aˊrea⁡(B)C=A∪linha laranjaaˊrea⁡(A)=aˊrea⁡(C)\begin{array}{l} B=A\backslash \text{linha roxa}\\ \operatorname{área}(A) = \operatorname{área}(B)\\ C=A\cup \text{linha laranja}\\ \operatorname{área}(A) = \operatorname{área}(C) \end{array}

PROPOSIÇÃO

Uma união finita de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo.

ATENÇÃO

Uma união infinita já pode não ser de conteúdo nulo.

Se tivermos vários segmentos de área 0, a sua união pode formar um quadrado, que já tem área não nula.

União infinita de conjuntos de conteúdo nulo

Funções Integráveis

TEOREMA

Seja f:I⊂Rn→Rf:I \subset \R^n \to \R contínua e limitada em II (exceto possivelmente num conjunto de conteúdo nulo), então ff é integrável.

No caso das funções indicatrizes

1lA(x)={1x∈A0x∉A\1_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \notin A \end{cases}

Tomando um conjunto AA, a função indicatriz 1lA\1_A é contínua no interior e exterior do conjunto (é sempre 1 ou 0, respetivamente). Então, a sua integrabilidade depende somente da fronteira de AA.

Se a fronteira de um conjunto AA tiver conteúdo nulo então 1lA\1_A é integrável.

Que conjuntos têm fronteira de conteúdo nulo?

Exemplo

Tomando o conjunto A={(x,y)∈]0,1[×]0,1[:x,y∈Q}A = \{ (x,y) \in ]0, 1[ \times ] 0, 1 [ : x,y \in \Q \}, a sua fronteira será fr(A)=[0,1]×[0,1]f_r(A) = [0,1] \times [0,1].

Conjunto com fronteira igual à sua área

Neste caso, podemos concluir que a fronteira não tem conteúdo nulo, porque equivale ao quadrado todo.

TEOREMA

Se um conjunto AA for definido por inequações que envolvam só funções contínuas e AA for limitado, então a fronteira tem conteúdo nulo (e portanto 1lA\1_A é integrável).

Vendo agora um pequeno exemplo.

A fronteira de conteúdo nulo não importa para o integral

I=]a1,b1[×]a2,b2[I‾=[a1,b1]×[a2,b2]\begin{array}{l} I = ]a_1, b_1[ \times ]a_2, b_2[\\ \overline I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \end{array}

Integrar em II é a mesma coisa que integrar em I‾\overline I porque a diferença são arestas, que têm conteúdo nulo (não têm área).

Slides: