Mudança de Variáveis de Integração

Transformação de Coordenadas

Se quisermos efetuar uma mudança de variável num integral em $\R^n$, precisamos de compensar a nossa alteração, tal como fazíamos em $\R$.

Para isso, multiplicamos o nosso integral pelo determinante da derivada da função que representa a nossa mudança de variável.

Por exemplo, considerando $\varphi(r,\theta) = (r\cos \theta, r \sin \theta)$, temos que

Coordenadas Polares

Coordenadas polares (em $\R^2$) são representadas através de um raio e um ângulo, em vez de $x$ e $y$.
Isto permite-nos facilmente trabalhar com áreas curvas.

Tomando como exemplo:

Podemos converter esta figura para coordenadas polares, o que nos dá um quadrado.

Nas variáveis $(r, \theta)$, $A = [1,2] \times ]0, \frac{\pi}{2}[$

No entanto, temos de ter atenção para não nos esquecermos de compensar esta mudança com o determinante da derivada, que já foi calculado acima.

E finalmente, calculamos a área da figura.

Exemplo - Calcular Área de um Círculo

Podemos usar as coordenadas polares para calcular a área de um círculo de raio $R$.

$$\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta \end{cases}$$

$|\det Dg| = r$

Temos de verificar as várias condições para efetuar a mudança de variável.

• Inicialmente temos $0 \leq r \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$
• $r = 0 \implies \det Dg = 0$, então tomamos $0 < r \leq R$
• Tomamos $0 < \theta < 2\pi$ para não ter problemas com a injetividade

$$\begin{aligned} \text{Área} &= \int_{\text{circulo}} 1 \d x \d y\\ &= \int_{]0,R] \times ]0, 2 \pi[} 1 \times r \d r \d \theta\\ &= \int^R_0\left(\int^{2\pi}_0 r \d \theta \right) \d r\\ &= \int^R_0 2\pi r \d r\\ &= \left[2 \pi \frac{r^2}{2} \right]^R_0\\ &= \pi R^2 \end{aligned}$$

Coordenadas Cilíndricas

Em $\R^3$, podemos querer representar regiões de revolução por coordenadas cilíndricas, em vez de $x$, $y$ e $z$.

A esta mudança de variável, estão associadas:

Exemplo - Determinar Volume de um Cone

Tomando o cone definido por

$$C = \left\{(x,y,z) \in \R^3: \sqrt{x^2+y^2} < z < h \right\}$$

Vamos determinar o seu volume:

$$\text{Volume} = \int_C 1 \d x \d y \d z$$

Convertendo para coordenadas cilíndricas:

$$\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases} \quad \begin{array}{l l} x^2 + y^2 = r^2\\ r < z < h \end{array}$$

$$\begin{array}{l l l l l} 0 < z < h & , & 0 < \theta < 2\pi & , & 0 < r < z \end{array}$$

Então temos:

$$\begin{aligned} \text{Volume} &= \int^h_0\left(\int^{2\pi}_0\left(\int^z_0 1\cdot r \d r\right) \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 \left(\int^{2\pi}_0 \left[\frac{r^2}{2}\right]^z_0 \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 \left( \int^{2\pi}_0 \frac{z^2}{2} \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 2\pi \times \frac{z^2}{2} \d z\\ &=\int^h_0 \pi z^2 \d z\\ &=\left[\pi \frac{z^3}{3} \right]^h_0\\ &=\frac{\pi h^3}{3} \end{aligned}$$

Coordenadas Esféricas

Em $\R^3$, podemos querer representar esferas por coordenadas esféricas, em vez de $x$, $y$ e $z$.

• $r$ é a distância à origem
• $\varphi$ é o ângulo que o vetor faz com o eixo dos $zz$
• $\theta$ é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos $xx$ e a projeção do vetor no plano $Oxy$

Podemos então definir a transformação:

Demonstração

$$\begin{aligned} \det Dg &= \det \begin{bmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \cos \theta\\ \sin \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \sin \theta\\ \cos \varphi & 0 & -r \sin \varphi \end{bmatrix}\\ &= \cos \varphi \begin{vmatrix} -r \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \cos \theta\\ r \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \sin \theta \end{vmatrix}\\ &\quad + (-r\sin \varphi) \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta\\ \sin \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta \end{vmatrix}\\ &= \cos \varphi ( -r^2 \sin \varphi \cos \varphi \sin^2 \theta - r^2 \sin \varphi \cos\varphi \cos^2 \theta)\\ &\quad + (-r\sin \varphi)(r \sin^2 \varphi \cos^2 \theta + r \sin^2 \varphi \sin^2 \theta)\\ &= -r^2 \sin \varphi \cos^2 \varphi - r^2 \sin \varphi \sin^2 \varphi\\ &= -r^2 \sin \varphi \ne 0 \end{aligned}$$

Exemplo - Volume de uma Bola

Seja $C$ uma bola em $\R^3$ de raio $R$:

$$C = \{ (x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2 < R^2\}$$

Vamos então calcular o seu volume:

$\text{Volume} = \int_C 1 \d x \d y \d z$

Convertendo para coordenadas esféricas, com $r^2 < R^2$:

$$\begin{array}{l l l l l} 0 < \theta < 2\pi & , & 0 < \varphi < \pi & , & 0 < r < R \end{array}$$

E, finalmente, calculando o volume:

$$\begin{aligned} \text{Volume} &= \int^{2\pi}_0 \left( \int^\pi_0 \left(\int^R_0 1 \cdot r^2\sin \varphi \d r\right) \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left(\int^\pi_0 \left[\frac{r^3}{3} \sin \varphi \right]^{r=R}_{r=0} \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left(\int^\pi_0 \frac{R^3}{3} \sin \varphi \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left[- \frac{R^3}{3} \cos \varphi \right]^{\varphi = \pi}_{\varphi = 0} \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \frac{R^3}{3} - \left(-\frac{R^3}{3}\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \frac{2R^3}{3} \d \theta\\ &= \frac{2R^3}{3} \times 2\pi\\ &= \frac{4\pi R^3}{3} \end{aligned}$$

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Slides:

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