Norma. Topologia em Rⁿ

Diferença entre pontos e vetores

Em $\dim > 1$, convém distinguir pontos de vetores. Podemos pensar em vetores como diferenças entre pontos. Por exemplo:

Funções escalares e Funções vetoriais

Função escalar: O seu contra domínio é um valor unidimensional ($\subset \R$)

Exemplos

$$\begin{array}{ c } \begin{array}{l} h:\mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\\ h( x,y) =x^{2} -2x+1+y^{2} \end{array}\\ \\ j(x,y)=\sqrt{h(x,y)} =\sqrt{(x-1)^{2} +(y-0)^{2}} \end{array}$$

Função vetorial: O seu contra domínio é um vetor de dimensão igual ou superior a 2 ($\subset \R^N, N>1$)
Uma função vetorial é do tipo $F:\ D\ \subseteq \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}$ com $m>1$. Se $m=1$, a função é escalar. O valor de $n$ é qualquer (pode ser 1, por exemplo), só interessa o contra domínio.

Exemplo

$$\vec F(x,y)=\left(h(x,y), j(x,y)\right)$$

O gráfico de esta função teria 4 dimensões (2 do domínio + 2 do contra domínio)-

Norma

Anteriormente, foi definido a distância entre dois pontos.

Podemos agora estender esta notação/terminologia para vetores, através da definição (muito semelhante) de norma. A norma consiste em medir comprimento de vetores. Caso o vetor não esteja na origem, basta fazer a sua "translação" para a origem.

Propriedades da Norma

1. $||x|| \geq 0$ (é sempre positiva)

2. Multiplicação por um escalar: $||\lambda x|| = |\lambda |\cdot ||x||$^mult-escalar

3. Desigualdade Triangular: $||x+y|| \leqslant ||x||+||y||$

Produto interno

Sendo $x,y\in \R^n$, o produto interno entre estes dois vetores está definido por:

Assim, encontra-se uma relação entre a norma e o produto interno: $||x|| = \sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n}=\sqrt{x\cdot x}$

Distâncias centradas num ponto

Em $\R$, dado $a\in\R, r\in \R^+$, tem-se:

Bola

Em duas ou mais dimensões, dá-se o nome de bola de centro $a$ e raio $r$ ao conjunto de pontos que estão a uma distância inferior a $r$ de um ponto $a$,

Em $\R^2$, dado $a = (a_1,a_2)\in \R^2, r\in\R^+$, tem-se:

Em $\R^3$, dado $a = (a_1,a_2,a_3)\in \R^3, r\in\R^+$, tem-se:

Topologia em Rⁿ

Para definirmos as noções topológicas em $\R^n$, precisamos do conceito de norma.
Pode ser também relevante relembrar as noções topológicas a CDI-I.

Tomando como exemplo o conjunto $K=\left\{(x,y)\in\R^2:0\leq x \leq 1 \land 0\leq y < 1\right\}$, representado na figura, podemos tirar as seguintes conclusões.

• $a$ é interior a D: $\exists r >0:B_{r}( a) \subset D$ - e.g. ponto $P$ em relação ao conjunto $K$
• $a$ é exterior a D: $\exists r >0:B_{r}( a) \subset D^c$^{d-complementar} - e.g. ponto $S$ em relação ao conjunto $K$
• $a$ é aderente a D: $\forall r >0:B_{r}( a) \cap D \ne \empty$ - e.g. ponto $R$ em relação ao conjunto $K$
• $a$ é fronteiro a D: $\forall r >0:B_{r}( a) \cap D \ne \empty \land B_r(a)\cap D^c \ne \empty$ - e.g. ponto $R$ em relação ao conjunto $K$

Então, podemos definir os seguintes conjuntos:

• $\operatorname{int} D=\left\{\text{pontos interiores a } D\right\}$
• $\operatorname{ext} D=\left\{\text{pontos exteriores a } D\right\}$
• $\overline D=\left\{\text{pontos aderentes a } D\right\} = \operatorname{int} D \cup \partial D$
• $\partial D=\left\{\text{pontos fronteiros a } D\right\}$

Também podemos concluir que $\operatorname{int} D \subset D \subset \overline D$.

Conjunto aberto, fechado, limitado e compacto

• $D$ diz-se aberto se $D=\operatorname{int} D$
• $D$ diz-se fechado se $D=\overline D$
• $D$ diz-se limitado se $\exists r > 0: D \subset B_r(\vec 0)$
• $D$ diz-se compacto se for fechado e limitado

Exemplo 1

Imaginando o conjunto $D=\left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :x^{2} +y^{2} < 1\land z >0\right\}$, correspondente a um cilindro que tem como base o círculo no plano $z=0$, com raio 1 e centro na origem, e como eixo o semi eixo positivo $Oz$.

• Como $D=\operatorname{int} D$, $D$ é aberto.
• $\operatorname{ext} D = \left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :\left( x^{2} +y^{2} >1\land z\geqslant 0\right) \lor z< 0\right\}$
• $\partial D=\left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :\left( x^{2} +y^{2} =1\land z >0\right) \lor \left( x^{2} +y^{2} < 1\land z=0\right)\right\}$
• $\overline D \ne D$, então $D$ não é fechado.
• $D$ não é limitado portanto também não é compacto

Exemplo 2

Imaginando o conjunto $D=\left\{( x,y) \in \mathbb{R}^{2} :0\leqslant x\leqslant 1\land y=0\right\}$, que em $\R^2$ corresponde a um segmento de reta entre $(0,0)$ e $(1,0)$.

Ao contrário do que tínhamos em $\R$, aqui não existe "interior" desta "região", visto que estamos em duas dimensões.

• $\operatorname{int} D = \empty$
• $\operatorname{ext} D= \R^2 \backslash \overline D = \R^2 \backslash D$
• $\partial D$ = D
• $\overline D = \operatorname{int} D \cup \partial D = D$. Como $D$ é fechado e limitado, então é compacto.

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Slides:

• Aula 2