Transição para dimensões > 1

O que é CDI 2?

Basicamente é CDI 1 mas em dimensões superiores a 1.
O nosso objetivo nesta UC vai ser migrar o conhecimento de 1 dimensão para 2, 3, etc dimensões.

Recordando de CDI 1

  • Números: +, -, *, :
  • Sucessões: convergentes, divergentes, séries
  • Funções: continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade

No entanto, em CDI 2:

  • Há noções e/ou resultados que migram para dim > 1.
  • Outros não
  • Surpresas - e.g. ponto de sela

Diferenciabilidade

Em CDI, o que conhecíamos que se ff é diferenciável em aa \Leftrightarrow existe limh0f(a+h)f(a)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} (ou seja, f(a)f'(a))

No entanto, isto não está definido para dim>1dim > 1 (por causa do quociente), logo esta noção tem de ser reformulada para migrar para dim>1dim > 1.
Por exemplo, o quociente 1(1,1)\frac{1}{(1,1)} não está definido.

Temos, então, de reformular a noção de derivada para a migrar para dim>1dim > 1.

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h0=limh0(f(a+h)f(a)hhhf(a))0=limh0f(a+h)f(a)f(a)ho(h)h\begin{aligned} f'( a) =\lim _{h\rightarrow 0}\frac{f( a+h) -f( a)}{h} & \Leftrightarrow 0=\lim _{h\rightarrow 0}\left(\frac{f( a+h) -f( a)}{h} -\frac{h}{h} f'( a)\right)\\ & \Leftrightarrow 0=\lim _{h\rightarrow 0}\frac{\overbrace{f( a+h) -f( a) -f'( a) h}^{o( h)}}{h} \end{aligned}

Chegamos assim a uma nova definição de derivada:

f eˊ diferenciaˊvel em af(a+h)f(a)hf(a)=o(h), h0f\ \text{é diferenciável em } a\Leftrightarrow f( a+h) -f( a) -hf'( a) =o( h) ,\ h\rightarrow 0

ou seja,

f(x)=o(x), xalimxaf(x)x=0f( x) =o( x) ,\ x\rightarrow a\Leftrightarrow \lim _{x\rightarrow a}\frac{f( x)}{x} =0

tip

o(h)o(h) lê-se "ó pequeno de hh"

Outra análise que podemos fazer, é pegar em

f(a+h)f(a)hf(a)=o(h)f(a+h)f(a)=f(a)h+o(h), h0f( a+h) -f( a) -hf'( a) =o( h) \Leftrightarrow f( a+h) -f( a) =f'( a) h+o( h) ,\ h\rightarrow 0

e chegar à conclusão que a variação da função, quando passa de aa para a+ha+h, é a menor de o(h)o(h), dada pela derivada.
Como é que é dada pela variável? ff e aa estão fixos, hh é a variável. Então, f(a)hf'(a)h é uma transformação lineartrans-lin em hh.

Com esta reformulação, a derivada já migra para dim>1dim > 1.
Então, agora a definição de derivada é a existência desta transformação linear. De facto, sempre foi, mas em dim=1dim = 1 era mais relevante a interpretação geométrica da derivada.

Distância

Distância de xx a yy, d(x,y)d(x,y), é em CDI 1, d(x,y)=xyd(x,y)= |x-y|

O que vai ser a distância em dim>1dim > 1?

Para duas dimensões:

p(x1,y1),q(x2,y2),d(p,q)=(x1x2)2+(y1y2)2p(x_1,y_1),\quad q(x_2,y_2),\quad d(p,q) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

Para três dimensões:

p(x1,y1,z1),q(x2,y2,z2),d(p,q)=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2p(x_1,y_1, z_1),\quad q(x_2,y_2,z_2),\quad d(p,q) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}

Para NN dimensões:

d(x,y)=i=1N(xiyi)2d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(x_i-y_i)^2}

Esboçar gráficos (exemplos)

  1. f(x,y)=x2+y2=((x0)2+(y0)2)2=(d((x,y),(0,0)))2\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2=\left(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\right)^2=\left(d((x,y), (0,0))\right)^2, isto é, o quadrado da distância do ponto à origem.

Função 3D quadrado da distância do ponto à origem

  1. g(x,y)=x2+y2=(x+0)2+(y+0)2=d((x,y),(0,0))\displaystyle g( x,y) =\sqrt{x^{2} +y^{2}} =\sqrt{( x+0)^{2} +( y+0)^{2}} =d(( x,y) ,( 0,0)), isto é, a distância do ponto à origem.

Função 3D distância do ponto à origem

  1. h(x,y)=x22x+1+y2=(x1)2+(y+0)2=((x1)2+(y+0)2)2=(d((x,y),(1,0)))2\displaystyle h( x,y) =x^{2} -2x+1+y^{2} =( x-1)^{2} +( y+0)^{2} =\left(\sqrt{( x-1)^{2} +( y+0)^{2}}\right)^{2} =( d(( x,y) ,( 1,0)))^{2}, isto é, o quadrado da distância do ponto a (1,0).

Função 3D quadrado da distância do ponto a (1,0)

  1. h(x,y)=x22x+1+y2=(x1)2+(y+0)2=(x1)2+(y+0)2=d((x,y),(1,0))\displaystyle \overline{h}( x,y) =\sqrt{x^{2} -2x+1+y^{2}} =\sqrt{( x-1)^{2} +( y+0)^{2}} =\sqrt{( x-1)^{2} +( y+0)^{2}} =d(( x,y) ,( 1,0)), isto é, distância do ponto a (1,0).

Função 3D distância do ponto a (1,0)

  1. i(x,y)=x22x+y22y=x22x+1+y22y+12=(x1)2+(y1)22==((x1)2+(y1)2)22=(d((x,y),(1,1)))22\begin{aligned} i( x,y) & =x^{2} -2x+y^{2} -2y=x^{2} -2x+1+y^{2} -2y+1-2=( x-1)^{2} +( y-1)^{2} -2=\\ & =\left(\sqrt{( x-1)^{2} +( y-1)^{2}}\right)^{2} -2=( d(( x,y) ,( 1,1)))^{2} -2 \end{aligned}
    isto é, a subtração de 2 ao quadrado da distância do ponto a (1,1).

Função 3D subtração de 2 à distância do ponto a (1,1)


Slides:


  1. Para relembrar transformações lineares, recomenda-se este vídeo de Álgebra Linear do Khan Academy.