Mudança de Variáveis de Integração

Transformação de Coordenadas

Se quisermos efetuar uma mudança de variável num integral em Rn\R^n, precisamos de compensar a nossa alteração, tal como fazíamos em R\R.

DEFINIÇÃO

Sendo:

  • g:URnVRng: U \subset \R^n \to V \subset \R^n, com U,VU,V abertos
  • gg é injetiva
  • gg é de classe C1C^1
  • detDg0\operatorname{det} D_g \ne 0
  • (x1,,xn)=g(y1,,yn)(x_1, \dots, x_n) = g(y_1, \dots, y_n)

Temos que:

Vf(x1,,xn) ⁣dx1 ⁣dxn=Uf(g(y1,,yn))detDg ⁣dy1 ⁣dyn\int_V f(x_1,\dots,x_n) \d x_1 \dots \d x_n = \int_U f(g(y_1,\dots,y_n))|\det Dg| \d y_1 \dots \d y_n

Para isso, multiplicamos o nosso integral pelo determinante da derivada da função que representa a nossa mudança de variável.

 ⁣dx ⁣dy=detDφ(x,y) ⁣dx ⁣dy\d x \d y = |\det D\varphi (x', y')| \d x' \d y'

Por exemplo, considerando φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ)\varphi(r,\theta) = (r\cos \theta, r \sin \theta), temos que

Dφ(r,θ)=[cosθrsinθsinθrcosθ]D\varphi (r,\theta)= \begin{bmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta\\ \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix}
detDφ(x,y)=rcos2θ+rsin2θ=r|\det D\varphi (x', y')| = | r\cos^2 \theta + r \sin^2 \theta | = r
 ⁣dx ⁣dy=detDφ(r,θ) ⁣dr ⁣dθ=r ⁣dr ⁣dθ\d x \d y = |\det D\varphi (r, \theta)| \d r \d \theta = r \d r \d \theta

Coordenadas Polares

Coordenadas polares (em R2\R^2) são representadas através de um raio e um ângulo, em vez de xx e yy.
Isto permite-nos facilmente trabalhar com áreas curvas.

Tomando como exemplo:

A={(x,y)R2:1x2+y24,x>0,y>0}A = \{ (x,y) \in \R^2: 1\leq x^2+y^2 \leq 4 \quad,\quad x > 0, y> 0\}

Podemos converter esta figura para coordenadas polares, o que nos dá um quadrado.

{x=rcosθy=rsinθ\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta \end{cases}
A={1r2,0<θ<π2}A=\{ 1 \leq r \leq 2, 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\}

Nas variáveis (r,θ)(r, \theta), A=[1,2]×]0,π2[A = [1,2] \times ]0, \frac{\pi}{2}[

No entanto, temos de ter atenção para não nos esquecermos de compensar esta mudança com o determinante da derivada, que já foi calculado acima.

detDφ(r,θ)=r|\det D \varphi (r, \theta)| = r

E finalmente, calculamos a área da figura.

A1 ⁣dx ⁣dy=0π2121r ⁣dr ⁣dθ=0π2[r22]12 ⁣dθ=0π2(212) ⁣dθ=32π2=3π4\begin{aligned} \int_A 1 \d x \d y &= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^2_1 1 \cdot r \d r \d \theta\\ &= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \left[\frac{r^2}{2} \right]^2_1 \d \theta\\ &= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \left(2- \frac{1}{2} \right) \d \theta\\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\\ &= \frac{3\pi}{4} \end{aligned}
Exemplo - Calcular Área de um Círculo

Podemos usar as coordenadas polares para calcular a área de um círculo de raio RR.

{x=rcosθy=rsinθ\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta \end{cases}

detDg=r|\det Dg| = r

Temos de verificar as várias condições para efetuar a mudança de variável.

  • Inicialmente temos 0rR0 \leq r \leq R, 0θ2π0 \leq \theta \leq 2\pi
  • r=0    detDg=0r = 0 \implies \det Dg = 0, então tomamos 0<rR0 < r \leq R
  • Tomamos 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi para não ter problemas com a injetividade
Aˊrea=circulo1 ⁣dx ⁣dy=]0,R]×]0,2π[1×r ⁣dr ⁣dθ=0R(02πr ⁣dθ) ⁣dr=0R2πr ⁣dr=[2πr22]0R=πR2\begin{aligned} \text{Área} &= \int_{\text{circulo}} 1 \d x \d y\\ &= \int_{]0,R] \times ]0, 2 \pi[} 1 \times r \d r \d \theta\\ &= \int^R_0\left(\int^{2\pi}_0 r \d \theta \right) \d r\\ &= \int^R_0 2\pi r \d r\\ &= \left[2 \pi \frac{r^2}{2} \right]^R_0\\ &= \pi R^2 \end{aligned}

Coordenadas Cilíndricas

Em R3\R^3, podemos querer representar regiões de revolução por coordenadas cilíndricas, em vez de xx, yy e zz.

A esta mudança de variável, estão associadas:

(x,y,z)(r,θ,z)(x,y,z) \to (r, \theta, z)
{x=rcosθy=rsinθz=z0<θ<2πr>0\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases} \begin{array}{l l} 0 < \theta < 2\pi\\ r > 0 \end{array}
detDg=det[cosθrsinθ0sinθrcosθ0001]=1×cosθrsinθsinθrcosθ=rcos2θ+rsin2θ=r\begin{aligned} \det Dg & = \det \begin{bmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta & 0\\ \sin \theta & r \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &= 1 \times \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta\\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix}\\ &=r\cos^2 \theta + r \sin^2 \theta\\ &=r \end{aligned}
Exemplo - Determinar Volume de um Cone

Tomando o cone definido por

C={(x,y,z)R3:x2+y2<z<h}C = \left\{(x,y,z) \in \R^3: \sqrt{x^2+y^2} < z < h \right\}

Vamos determinar o seu volume:

Volume=C1 ⁣dx ⁣dy ⁣dz\text{Volume} = \int_C 1 \d x \d y \d z

Convertendo para coordenadas cilíndricas:

{x=rcosθy=rsinθz=zx2+y2=r2r<z<h\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases} \quad \begin{array}{l l} x^2 + y^2 = r^2\\ r < z < h \end{array}
0<z<h,0<θ<2π,0<r<z\begin{array}{l l l l l} 0 < z < h & , & 0 < \theta < 2\pi & , & 0 < r < z \end{array}

Então temos:

Volume=0h(02π(0z1r ⁣dr) ⁣dθ) ⁣dz=0h(02π[r22]0z ⁣dθ) ⁣dz=0h(02πz22 ⁣dθ) ⁣dz=0h2π×z22 ⁣dz=0hπz2 ⁣dz=[πz33]0h=πh33\begin{aligned} \text{Volume} &= \int^h_0\left(\int^{2\pi}_0\left(\int^z_0 1\cdot r \d r\right) \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 \left(\int^{2\pi}_0 \left[\frac{r^2}{2}\right]^z_0 \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 \left( \int^{2\pi}_0 \frac{z^2}{2} \d \theta\right) \d z\\ &=\int^h_0 2\pi \times \frac{z^2}{2} \d z\\ &=\int^h_0 \pi z^2 \d z\\ &=\left[\pi \frac{z^3}{3} \right]^h_0\\ &=\frac{\pi h^3}{3} \end{aligned}

Coordenadas Esféricas

Em R3\R^3, podemos querer representar esferas por coordenadas esféricas, em vez de xx, yy e zz.

  • rr é a distância à origem
  • φ\varphi é o ângulo que o vetor faz com o eixo dos zzzz
  • θ\theta é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos xxxx e a projeção do vetor no plano OxyOxy

Podemos então definir a transformação:

{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta\\ y = r \sin \varphi \sin \theta\\ z = r \cos \varphi \end{cases}
r>0,0<φ<π,0<θ<2π,g=g(r,θ,φ)\begin{array}{l l l l l l l} r > 0 & , & 0 < \varphi < \pi & , & 0 < \theta < 2\pi & , & g=g(r,\theta,\varphi) \end{array}
detDg=r2sinφ|\det Dg| = r^2 \sin \varphi
Demonstração
detDg=det[sinφcosθrsinφsinθrcosφcosθsinφsinθrsinφcosθrcosφsinθcosφ0rsinφ]=cosφrsinφsinθrcosφcosθrsinφcosθrcosφsinθ+(rsinφ)sinφcosθrsinφsinθsinφsinθrsinφcosθ=cosφ(r2sinφcosφsin2θr2sinφcosφcos2θ)+(rsinφ)(rsin2φcos2θ+rsin2φsin2θ)=r2sinφcos2φr2sinφsin2φ=r2sinφ0\begin{aligned} \det Dg &= \det \begin{bmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \cos \theta\\ \sin \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \sin \theta\\ \cos \varphi & 0 & -r \sin \varphi \end{bmatrix}\\ &= \cos \varphi \begin{vmatrix} -r \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \cos \theta\\ r \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \sin \theta \end{vmatrix}\\ &\quad + (-r\sin \varphi) \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta\\ \sin \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta \end{vmatrix}\\ &= \cos \varphi ( -r^2 \sin \varphi \cos \varphi \sin^2 \theta - r^2 \sin \varphi \cos\varphi \cos^2 \theta)\\ &\quad + (-r\sin \varphi)(r \sin^2 \varphi \cos^2 \theta + r \sin^2 \varphi \sin^2 \theta)\\ &= -r^2 \sin \varphi \cos^2 \varphi - r^2 \sin \varphi \sin^2 \varphi\\ &= -r^2 \sin \varphi \ne 0 \end{aligned}
Exemplo - Volume de uma Bola

Seja CC uma bola em R3\R^3 de raio RR:

C={(x,y,z)R3:x2+y2+z2<R2}C = \{ (x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2 < R^2\}

Vamos então calcular o seu volume:

Volume=C1 ⁣dx ⁣dy ⁣dz\text{Volume} = \int_C 1 \d x \d y \d z

Convertendo para coordenadas esféricas, com r2<R2r^2 < R^2:

0<θ<2π,0<φ<π,0<r<R\begin{array}{l l l l l} 0 < \theta < 2\pi & , & 0 < \varphi < \pi & , & 0 < r < R \end{array}

E, finalmente, calculando o volume:

Volume=02π(0π(0R1r2sinφ ⁣dr) ⁣dφ) ⁣dθ=02π(0π[r33sinφ]r=0r=R ⁣dφ) ⁣dθ=02π(0πR33sinφ ⁣dφ) ⁣dθ=02π[R33cosφ]φ=0φ=π ⁣dθ=02πR33(R33) ⁣dθ=02π2R33 ⁣dθ=2R33×2π=4πR33\begin{aligned} \text{Volume} &= \int^{2\pi}_0 \left( \int^\pi_0 \left(\int^R_0 1 \cdot r^2\sin \varphi \d r\right) \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left(\int^\pi_0 \left[\frac{r^3}{3} \sin \varphi \right]^{r=R}_{r=0} \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left(\int^\pi_0 \frac{R^3}{3} \sin \varphi \d \varphi\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \left[- \frac{R^3}{3} \cos \varphi \right]^{\varphi = \pi}_{\varphi = 0} \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \frac{R^3}{3} - \left(-\frac{R^3}{3}\right) \d \theta\\ &= \int^{2\pi}_0 \frac{2R^3}{3} \d \theta\\ &= \frac{2R^3}{3} \times 2\pi\\ &= \frac{4\pi R^3}{3} \end{aligned}

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