Campos Vetoriais

Integral de Linha de Campo Vetorial

DEFINIÇÃO

Seja CRnC \subset \R^n uma curva parametrizada por g:]a,b[Rng: ]a, b[ \to \R^n e F:CRnF: C \to \R^n

Definimos o seguinte:

CF ⁣dg=abF(g(t))g(t) ⁣dt\int_C F \cdot \d g = \int^b_a F(g(t)) \cdot g'(t) \d t

Podemos alterar ligeiramente a expressão acima para obtermos outro resultado:

CF ⁣dg=abF(g(t))g(t)g(t)Fvetor tangente aC com norma=1g(t) ⁣dt=CFtangente ⁣dγ\begin{aligned} \int_C F \cdot \d g &= \int^b_a \underbrace{F(g(t)) \cdot \frac{g'(t)}{||g'(t)||}}_{\begin{subarray}{c}F \cdot \text{vetor tangente a}\\ C\ \text{com norma} = 1\end{subarray}} \cdot ||g'(t)|| \d t\\ &= \int_C F \cdot \vec{\text{t}}\text{angente} \d \gamma \end{aligned}
Exemplos

Considerando a parametrização gg e o campo vetorial FF,

g(t)=(t,t)t[0,1]F(x,y)=(1,x)\begin{array}{lll} g(t)=(t,t) & t \in [0, 1] & F(x,y) = (1,x) \end{array}

Então podemos calcular o integral:

CF ⁣dg=01F(g(t))g(t) ⁣dt=01(1,t)(1,1) ⁣dt=01(1+t) ⁣dt=[t+t22]01=32\begin{aligned} \int_C F \cdot \d g &= \int^1_0 F(g(t)) \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^1_0 (1,t) \cdot (1,1)\d t\\ &= \int^1_0 (1 + t) \d t\\ &= \left[t + \frac{t^2}{2} \right]^1_0\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}

Considerando a parametrização hh e o campo vetorial FF,

h(t)=(t,t2)t[0,1]F(x,y)=(1,x)\begin{array}{lll} h(t)=(t,t^2) & t \in [0, 1] & F(x,y) = (1,x) \end{array}

Então podemos calcular o integral:

C2F ⁣dh=01F(h(t))h(t) ⁣dt=01(1,t)(1,2t) ⁣dt=01(1+2t2) ⁣dt=[t+2t33]01=53\begin{aligned} \int_{C_2} F \cdot \d h &= \int^1_0 F(h(t)) \cdot h'(t) \d t\\ &= \int^1_0 (1,t) \cdot (1,2t) \d t\\ &= \int^1_0 (1 + 2t^2) \d t\\ &= \left[t + \frac{2t^3}{3} \right]^1_0\\ &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Propriedades:

  1. Se g1g_1 e g2g_2 são duas parametrizações da curva CC que percorrem a curva no mesmo sentido, o integral CF ⁣dg1=CF ⁣dg2\int_C F \cdot \d g_1 = \int_C F \cdot \d g_2
  2. Se g1g_1 e g2g_2 são duas parametrizações da curva CC que percorrem a curva em sentido contrário, o integral CF ⁣dg1=CF ⁣dg2\int_C F \cdot \d g_1 = - \int_C F \cdot \d g_2
  3. O valor do integral pode não depender só dos pontos inicial e final, mas também da curva

Interpretação física

Seja FF um campo de forças e uma partícula a percorrer um caminho CC.

Então, temos que CF ⁣dg\int_C F \cdot \d g é o trabalho realizado por FF.

Segmento que une dois pontos

Por vezes, precisamos de considerar um caminho que une dois pontos. Para isso, podemos considerar a seguinte parametrização.

Sejam, por exemplo, (1,2,3)(1,2,3) e (4,5,6)(4,5,6) os pontos que queremos considerar, a parametrização será:

g(t)=(1,2,3)+t((4,5,6)(1,2,3))=(1,2,3)+t(3,3,3)=(1+3t,2+3t,3+3t),t]0,1[\begin{aligned} g(t) &= (1,2,3) + t((4,5,6) - (1,2,3))\\ &= (1,2,3) + t(3, 3, 3)\\ &= (1+3t, 2+3t, 3+3t), \quad t \in ]0, 1[ \end{aligned}

Campo Vetorial Conservativo

DEFINIÇÃO

Um campo vetorial cujo integral sobre qualquer curva depende só dos extremos da curva diz-se conservativo.

Um campo é conservativo se e só se o integral ao longo de qualquer curva fechada for 0.

Exemplo

Seja FF constante, isto é, F=(F1,Fn)F = (F_1, \dots F_n) fixo

CF ⁣dγ=abFg(t) ⁣dt=ab(F1g1(t)+Fngn(t)) ⁣dt=F1abg(t) ⁣dt++Fnabgn(t) ⁣dt=F1[g1(b)g1(a)]++Fn[gn(b)gn(a)]=F(g(b)g(a))=F(BA)\begin{aligned} \int_C F \cdot \d \gamma &= \int^b_a F \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^b_a (F_1 g_1'(t) + \dots F_n g_n'(t)) \d t\\ &= F_1 \int^b_a g'(t) \d t + \dots + F_n \int^b_a g_n'(t) \d t\\ &= F_1 [g_1(b) - g_1(a)] + \dots + F_n [g_n(b) - g_n(a)]\\ &= F \cdot (g(b) - g(a))\\ &= F\cdot (B-A) \end{aligned}

O valor do integral só depende dos extremos da curva, pelo que FF é conservativo.

Se CC for uma curva fechada, escreve-se CF ⁣dg\int_C F \d g como CF ⁣dg\oint_C F \d g.

Assim temos que, para qualquer curva fechada, ser um campo conservativo é equivalente a CF ⁣dg=0\oint_C F \d g = 0.

Um campo conservativo é sempre um campo gradiente e vice-versa.

Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha

TEOREMA

Seja ϕ:RnR,C1\phi : \R^n \to \R, C^1 e uma curva CC com extremos AA e BB, parametrizada por g:[a,b]Rng: [a,b] \to \R^n, então

Cϕ ⁣dg=ϕ(B)ϕ(A)\int_C \nabla \phi \d g = \phi(B) - \phi(A)
Demonstração
Cϕ ⁣dg=abϕ(g(t))g(t) ⁣dt=ab ⁣d ⁣dt(ϕg)(t) ⁣dt=(ϕg)(b)(ϕg)(a)=ϕ(g(b))ϕ(g(a))=ϕ(B)ϕ(A)\begin{aligned} \int_C \nabla \phi \d g &= \int^b_a \nabla \phi (g(t)) \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^b_a \frac{\d}{\d t}(\phi \circ g)(t) \d t\\ &= (\phi \circ g)(b) - (\phi \circ g)(a)\\ &= \phi(g(b)) - \phi(g(a))\\ &= \phi(B) - \phi(A) \end{aligned}

Corolário 1: Se ϕ:RnR\phi: \R^n \to \R, C1C^1, então ϕ\nabla \phi é conservativo e ϕ:RnRn\nabla \phi: \R^n \to \R^n

Corolário 2: Se ϕ:RnR\phi: \R^n \to \R, C1C^1, e CC for uma curva fechada (B=AB = A, ou seja, o ponto inicial é o mesmo que o ponto final) então Cϕ ⁣dγ=0\int_C \nabla \phi \d \gamma = 0

Campo Gradiente

DEFINIÇÃO

Dado um campo vetorial F:RnRnF: \R^n \to \R^n, se existir ϕ:RnR\phi: \R^n \to \R, C1C^1 tal que ϕ=F\nabla \phi = F, isto é, ϕ\phi é um potencial de FF, dizemos que FF é um campo gradiente.

Um campo gradiente é sempre um campo conservativo e vice-versa.

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, concluímos também que para qualquer campo gradiente,

Cϕ ⁣dg=ϕ(B)ϕ(A)\int_C \nabla \phi \d g = \phi(B) - \phi(A)

Campo Fechado

DEFINIÇÃO

F:RnRnF: \R^n \to \R^n é fechado se

Fjxi=Fixj,i,j=1,,n\frac{\partial F_j}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}, \quad \forall i,j = 1, \dots, n
Exemplo

Seja F(x,y,z)=(y,x,1)F(x,y,z) = (y,x,1)

F1y=1F2x=1F1z=0F3x=0F2z=0F2y=0\begin{array}{lll} \frac{\partial F_1}{\partial y} = 1 & \frac{\partial F_2}{\partial x} = 1 & \frac{\partial F_1}{\partial z} = 0\\ \frac{\partial F_3}{\partial x} = 0 & \frac{\partial F_2}{\partial z} = 0 & \frac{\partial F_2}{\partial y} = 0 \end{array}

Logo, FF é fechado.

Também se sabe que se FF for campo gradiente F=ϕ,ϕC2F = \nabla \phi, \phi \in C^2 então FF é fechado.

Assim, um campo vetorial gradiente é sempre fechado (e também conservativo, como foi dito acima).

Relações entre tipos de Campos Vetoriais

Sabemos o seguinte:

  • Um campo vetorial gradiente é sempre fechado
  • Um campo vetorial gradiente é sempre conservativo e vice versa
  • Um campo vetorial fechado é gradiente/conservativo se é só se o seu domínio for simplesmente conexo
  • O trabalho de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre nulo

Tal pode ser resumido no seguinte esquema:

F gradiente se D simplesmente conexo F fechadoF conservativoCF=0\begin{CD} F\ \text{gradiente} @>>\leftarrow \text{ se } D \text{ simplesmente conexo }> F\ \text{fechado} \\ @| \\ F\ \text{conservativo}\\ @| \\ \oint_C F = 0 \end{CD}

Vórtice

Também conhecido por ralo de banheira, o vórtice é um campo vetorial com o seguinte aspeto:

F(x,y)=(yx2+y2,xx2+y2)F(x,y) = \left(\frac{y}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}\right)

Visualmente, isto ficaria:

F(x,y)=y2(x2+y2)2+x2(x2+y2)2=1x2+y2||F(x,y)|| = \sqrt{\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}

Podemos reparar que a norma do campo é maior quanto menor for a distância à origem.

  • É fechado
  • Não é gradiente
Exemplo

Seja o campo vetorial FF:

F(x,y)=(yx2+y2,xx2+y2)F(x,y) = (\frac{y}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2})

Será que FF é fechado? E é gradiente?

Vamos então ver se FF é fechado:

y(yx2+y2)=x(xx2+y2)\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{x^2+y^2} \right)
y(yx2+y2)=(x2+y2)y2y(x2+y2)2=x2y2(x2+y2)2\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{(x^2+y^2)-y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
x(xx2+y2)=(x2+y2)+x2x(x2+y2)2=x2y2(x2+y2)2\frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{x^2+y^2} \right) = \frac{-(x^2+y^2) + x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}

Logo, FF é fechado.

Vejamos agora se FF é gradiente.
Se pegarmos num círculo, ou seja, numa curva fechada, sabemos que se FF é gradiente então o trabalho terá de ser nulo.

C={x2+y2=1}g(t)=(cost,sint)t[0,2π]\begin{array}{lll} C=\{x^2+y^2 = 1\} & g(t) = (\cos t, \sin t) & t \in [0, 2\pi] \end{array}
CF ⁣dg=02πF(g(t))g(t) ⁣dt\int_C F \d g = \int^{2\pi}_0 F(g(t)) \cdot g'(t) \d t
F(g(t))=(sint,cost)g(t)=(sint,cost)F(g(t))g(t)=1\begin{array}{ll} F(g(t)) = (\sin t, - \cos t) & g'(t) = (-\sin t, \cos t)\\ F(g(t)) \cdot g'(t) = -1 & \end{array}
CF ⁣dg=02π1 ⁣dt=2π\int_C F \d g = \int^{2\pi}_0 -1 \d t = -2\pi

Logo, como o trabalho é diferente de zero, FF não é gradiente.


Exemplos globais

Considera-se F(x,y)=(x2y,x33)F(x,y) = \left(x^2 y, \frac{x^3}{3}\right).

a) FF é gradiente?

  1. Começamos por verificar se FF é fechado:

    (x2y)y=x2(x33)x=x2\begin{darray}{ll} \frac{\partial(x^2y)}{\partial y} = x^2 & \frac{\partial(\frac{x^3}{3})}{\partial x} = x^2 \end{darray}

    Então FF é fechado, pelo que ainda pode ser gradiente.

  2. De seguida verificamos se FF é gradiente, isto é, se existe ϕ\phi tal que F=ϕF = \nabla \phi:

{ϕx=x2yϕy=x33{ϕ(x,y)=x3y3+C(y)ϕ(x,y)=x33y+D(x)\begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial x} = x^2 y\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^3}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \phi(x,y) = \frac{x^3y}{3} + C(y)\\ \phi(x,y) = \frac{x^3}{3} \cdot y + D(x) \end{cases}

Por exemplo, considerando C,D0C,D \equiv 0, ϕ(x,y)=x3y3\phi(x,y) = \frac{x^3y}{3}, pelo que ϕ\phi é um potencial de FF.

Então, FF é gradiente.

b) Calcule CF ⁣dg\int_C F \d g, tal que g:[0,1]R2g:[0,1] \to \R^2 é uma curva fechada

Como gg é uma curva fechada:

CF ⁣dg=ϕ(B)ϕ(A)=0\int_C F \d g = \phi(B) - \phi (A) = 0

Considerando o campo vetorial FF abaixo:

F(x,y,z)=(y+z,x+z,y+x)F:R3R3\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (y+z, x+z, y+x) & F: \R^3 \to \R^3 \end{array}
  1. FF é fechado?
y(y+z)=x(x+z)1=1z(y+z)=x(x+z)1=1z(x+z)=y(y+x)1=1\begin{darray}{l} \frac{\partial}{\partial y}(y+z) = \frac{\partial}{\partial x}(x+z) \Leftrightarrow 1 = 1\\\\ \frac{\partial}{\partial z}(y+z) = \frac{\partial}{\partial x}(x+z) \Leftrightarrow 1 = 1\\\\ \frac{\partial}{\partial z}(x+z) = \frac{\partial}{\partial y}(y+x) \Leftrightarrow 1 = 1 \end{darray}

Logo, FF é fechado.

  1. FF é gradiente?

Por outras palavras, será que existe algum ϕ\phi tal que FF = ϕ\nabla \phi?

{ϕx=F1=y+zϕy=F2=x+zϕz=F3=x+y{ϕ(x,y,z)=(y+z)x+C1(y,z)ϕ(x,y,z)=(x+z)y+C2(x,z)ϕ(x,y,z)=(x+y)z+C3(x,y)\begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial x} = F_1 = y+z\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = F_2 = x+z\\ \frac{\partial \phi}{\partial z} = F_3 = x+y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \phi(x,y,z) = (y+z) x + C_1(y,z)\\ \phi(x,y,z) = (x+z) y + C_2(x,z)\\ \phi(x,y,z) = (x+y) z + C_3(x,y) \end{cases}
ϕ(x,y,z)=xy+yz+zx=xy+zx+yzC1=xy+zy+xzC2=xz+yz+xyC3\begin{aligned} \phi(x,y,z) &= xy+yz+zx\\ &=xy+zx+\overbrace{yz}^{C_1}\\ &=xy+zy+\overbrace{xz}^{C_2}\\ &=xz+yz+\overbrace{xy}^{C_3} \end{aligned}
  1. Calcule o trabalho, ou seja, CF ⁣dg\int_C F \d \vec g, ao longo da curva C={z=0,x=1+y42,y[0,1]}C = \{z=0, x=\frac{1+y^4}{2}, y \in [0,1]\}

Como FF é conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para facilmente calcular o trabalho:

  • Ponto inicial (12,0,0)(\frac{1}{2}, 0, 0)
  • Ponto final (1,1,0)(1,1,0)
CF ⁣dg=ϕ(1,1,0)ϕ(12,0,0)=(1+0+0)(0+0+0)=1\int_C F \d \vec g = \phi(1,1,0) - \phi\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = (1+0+0) - (0+0+0) = 1

Considerando o campo FF,

F(x,y,z)=(y+x3,y+x,ez)(x,y,z)R3\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (y+x^3, y+x , e^z) & (x,y,z) \in \R^3 \end{array}

Será que FF é gradiente?

Vamos ver se FF é fechado:

(y+x3)y=1(y+x)x=1(y+x3)z=0(ez)x=0(y+x)z=0(ez)y=0\begin{darray}{ll} \frac{\partial(y+x^3)}{\partial y} = 1 & \frac{\partial (y+x)}{\partial x} = 1\\ \frac{\partial (y+x^3)}{\partial z} = 0 & \frac{\partial(e^z)}{\partial x} = 0\\ \frac{\partial(y+x)}{\partial z} = 0 & \frac{\partial (e^z)}{\partial y} = 0 \end{darray}

O domínio D de F é simplesmente conexo (é R3\R^3).
Logo FF é fechado e portanto é gradiente.

Calcule CF ⁣dg\int_C F \d \vec g, em que CC é a interseção de z=x2+y2z = x^2+y^2 e z=1z=1, considerando uma orientação qualquer.

{z=x2+y2z=1{x2+y2=1z=1\begin{cases} z = x^2+y^2\\ z= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2 = 1\\ z= 1 \end{cases}

que corresponde a uma circunferência.

Logo, como a curva é fechada e o campo é conservativo, CF ⁣dg=0\int_C F \d \vec g = 0.


Slides: