Fluxo. Teorema da Divergência

Superfície Orientável

Uma superfície é orientável se tem uma normal definida continuamente que indica qual o "lado de dentro" e o "lado de fora" da superfície.

DEFINIÇÃO

Seja a superfície SR3S \subset \R^3. Diz-se que SS é orientável se existir n:SR3\vec n: S \to \R^3 com

  • xS\forall x \in S, n(x)(TxS)\quad \vec n (x) \in (T_x S)^\perp, isto é, o vetor é perpendicular à superfície
  • n(x)=1,x|| \vec n (x) || = 1, \forall x
  • n\vec n é contínuo

Como exemplo de uma superfície não orientável temos a Fita de Möbius:

Fita de Möbius

Também podemos ver um exemplo de uma superfície orientável:

Teoremas:

  • Uma superfície descrita por uma parametrização é sempre orientável.
  • Uma superfície orientável tem sempre dois campos normais.
Demonstração

Seja g:D(u,v)Sg: \underset{(u,v)}{D} \to S uma parametrização, então

  • TxS=L{colunas de Dg}=L{gu,gv}T_x S = \mathcal{L} \{ \text{colunas de}\ Dg \} = \mathcal{L} \left\{ \frac{\partial g}{\partial u} , \frac{\partial g}{\partial v} \right\}
  • gu×gv\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v} é ortogonal a guegv    gu×gv(TxS)\frac{\partial g}{\partial u} \text{e} \frac{\partial g}{\partial v} \implies \frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v} \in (T_x S)^{\perp}

Logo, n(x)=gu×gvgu×gv\displaystyle \vec n (x) = \frac{\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}}{|| \frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v} ||} tem norma 11 e satisfaz as condições do campo da superfície orientável.

Fluxo

DEFINIÇÃO

Seja o campo vetorial F:R3R3F: \R^3 \to \R^3, e a superfície orientável SS, com orientação n\vec n.

Definimos o fluxo de FF através de SS como

SFn=SF(x,y,z)n(x,y,z)\int_S F \cdot \vec n = \int_S F(x,y,z) \cdot \vec n (x,y,z)

Também se pode continuar a trabalhar a definição acima, para chegar a uma nova expressão para o fluxo:

SFn=DF(g(u,v))gu×gvgu×gvgu×gv ⁣du ⁣dv=DF(g(u,v))(gu×gv) ⁣du ⁣dv\begin{aligned} \int_S F \cdot \vec n &= \iint_D F(g(u,v)) \cdot \frac{\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}}{||\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}||} \cdot ||\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}|| \d u \d v\\ &= \iint_D F(g(u,v)) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}\right) \d u \d v \end{aligned}

É também importante reforçar que, tal como anteriormente, o sinal do integral depende da orientação da parametrização.

Exemplo

Sejam o campo vetorial FF e a superfície SS

F(x,y,z)=(x,y,z)S={x2+y2+z2=1,z>0}\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (x,y,z) & S= \{x^2+y^2+z^2 = 1, z > 0 \} \end{array}

com orientação tal que, no ponto (0,1,0)(0,1,0), a segunda componente de n\vec n seja positiva.

Qual o fluxo de FF através de SS?

Começamos por representar SS através de uma parametrização, em que usamos coordenadas esféricas:

g(u,v)=(sinvcosu,sinusinv,cosv)u]0,2π[,v]0,π2[\begin{aligned} g(u, v) &= (\sin v \cos u, \sin u \sin v, \cos v)\\ &u \in ]0,2\pi[, v \in ]0, \frac{\pi}{2}[ \end{aligned}
gu=(sinusinv,cosusinv,0)gv=(cosvcosu,cosvsinu,sinv)\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial u} &= (-\sin u \sin v, \cos u \sin v, 0)\\ \frac{\partial g}{\partial v} &= (\cos v \cos u, \cos v \sin u, -\sin v) \end{aligned}

De seguida calculamos o produto externo entre gu\frac{\partial g}{\partial u} e gv\frac{\partial g}{\partial v}:

gu×gv=e1e2e3sinusinvcosusinv0cosvcosucosvsinusinv=(cosusin2v,sinusin2v,sin2usinvcosvcos2usinvcosv)=(cosusin2v,sinusin2v,sinvcosv)\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v} &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ -\sin u \sin v & \cos u \sin v & 0\\ \cos v \cos u & \cos v \sin u & - \sin v \end{vmatrix}\\ &= (-\cos u \sin^2 v, - \sin u \sin^2 v, - \sin^2 u \sin v \cos v - \cos^2 u \sin v \cos v)\\ &= (-\cos u \sin^2 v, - \sin u \sin^2 v, - \sin v \cos v) \end{aligned}

Temos de verificar agora se a orientação do campo é a correta.
Tomamos o ponto (0,1,0)(0,1,0), isto é, u=π2u = \frac{\pi}{2} e v=π2v = \frac{\pi}{2}, e vemos que sinusin2v=1<0-\sin u \sin^2 v = -1 < 0, logo a orientação é errada.

F(g(u,v))=(sinvcosu,sinusinv,cosv)F(g(u,v)) = (\sin v \cos u, \sin u \sin v, \cos v)
F(g(u,v))(gu×gv)=cos2usin3vsin2usin3vsinvcos2v=sin3vsinvcos2v=sinv\begin{aligned} F(g(u,v)) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial g}{\partial v}\right) &= - \cos^2 u \sin^3 v - \sin^2 u \sin^3 v - \sin v \cos^2 v\\ &= - \sin^3 v - \sin v \cos^2 v\\ &= - \sin v \end{aligned}

Assim, como a orientação está incorreta:

fluxo=02π0π2(sinv) ⁣dv ⁣du=02π[cosv]0π2 ⁣du=02π1 ⁣du=2π\begin{aligned} \text{fluxo} &= - \int^{2\pi}_0 \int^{\frac{\pi}{2}}_0 (- \sin v) \d v \d u\\ &= - \int^{2 \pi}_0 [\cos v]^{\frac{\pi}{2}}_0 \d u\\ &= - \int^{2\pi}_0 - 1 \d u\\ &= 2\pi \end{aligned}

Alternativamente, podíamos ter usado a outra expressão para o fluxo, em que chegávamos a cálculos bastante mais simples:

Conseguimos "adivinhar" que o vetor normal é descrito por m(x,y,z)=(x,y,z)\vec m (x,y,z) = (x,y,z), tal como pode ser evidenciado pela figura abaixo:

De seguida, é só calcular o fluxo:

Fm=(x,y,z)(x,y,z)=x2+y2+z2=1F \cdot \vec m = (x,y,z) \cdot (x,y,z) = x^2+ y^2+ z^2 = 1

Sabemos que a expressão acima é 1 visto que é uma (semi) esfera.

fluxo=SFm=S1 ⁣dS=aˊrea(S)=2π\text{fluxo} = \int_S F \cdot \vec m = \int_S 1 \d S = \text{área}(S) = 2 \pi

Divergência de um Campo Vetorial

DEFINIÇÃO

Seja o campo vetorial F:R3R3F : \R^3 \to \R^3, a sua divergência é dada por:

divF=F1x+F2y+F3z\ondiv F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}

Teorema da Divergência

Um domínio DR3D \subset \R^3 aberto e limitado é domínio regular se e só se D\partial D é união finita de superfícies orientáveis.

DEFINIÇÃO

Seja DR3D \subset \R^3 um domínio regular, n\vec n a normal em D\partial D que aponta para fora de DD, então:

DFn=DdivF\int_{\partial D} F \cdot \vec n = \iiint_D \ondiv F
Exemplo

Sejam o campo vetorial FF e a superfície SS, definidas por

F(x,y,z)=(x,y,2z)S={x2+y2=1+2z2,0z1}\begin{aligned} F(x,y,z) &= (x,y, -2z)\\ S &= \{x^2+y^2 = 1 + 2z^2, 0 \leq z \leq 1 \} \end{aligned}

em que SS está orientada para "fora".

Qual o valor de SFn\int_S F \cdot \vec n?

  • divF=1+12=0\ondiv F = 1+1-2 = 0

D={x2+y21+2z2,0z1}D = \{ x^2+y^2 \leq 1 + 2 z^2, 0 \leq z \leq 1 \}

D=\partial D = hiperboloide (S)(S) + tampa de cima (T1,z=1)(T_1, z=1) + tampa de baixo (T0,z=0)(T_0, z=0)

Pelo teorema da divergência:

DFnext=DdivF=0\int_{\partial D} F \cdot \vec n_{ext} = \iiint_D \ondiv F = 0
DFnext=SFnext+T1Fnext+T2Fnext    SFnext=T1FnextT2Fnext\begin{darray}{l} \int_{\partial D} F \cdot \vec n_{ext} = \int_S F \cdot \vec n_{ext} + \int_{T_1} F \cdot \vec n_{ext} + \int_{T_2} F \cdot \vec n_{ext}\\ \implies \int_S F \cdot \vec n_{ext} = - \int_{T_1} F \cdot \vec n_{ext} - \int_{T_2} F \cdot \vec n_{ext} \end{darray}

Em T1T_1, sabemos que a normal é next=(0,0,1)\vec n_{ext} = (0,0,1) e então Fnext=2zF \cdot \vec n_{ext} = -2z.
Como z=1z=1:

T12z ⁣dS=T12 ⁣dS=2×aˊrea(T1)=2×3π=6π\int_{T_1} - 2z \d S = \int_{T_1} - 2 \d S = -2 \times \text{área}(T_1) = -2 \times 3 \pi = -6\pi

Em T0T_0, sabemos que a normal é next=(0,0,1)\vec n_{ext} = (0,0,-1) e então Fnext=2zF \cdot \vec n_{ext} = 2z.
Como z=0z=0:

T0Fnext ⁣dS=0\int_{T_0} F \cdot \vec n_{ext} \d S = 0
SFnext=(6π)0=6π\int_S F \cdot \vec n_{ext} = -(-6\pi ) - 0 = 6 \pi

Significado Geométrico da Divergência

Considerando um campo vetorial FF:

F:R3R3,C1,x0R3F: \R^3 \to \R^3, C^1, x_0 \in \R^3
Bϵ(x0)Fn=Bϵ(x0)divFdivF(x0)Bϵ(x0)1=divF(x0)volume(Bϵ(x0))\int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} F \cdot \vec n = \int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} \ondiv F \approx \ondiv F(x_0) \cdot \int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} 1 = \ondiv F(x_0) \cdot \text{volume}(B_{\epsilon} (x_0))
divF(x0)=limϵ01vol(Bϵ(x0))Bϵ(x0)Fn\ondiv_F(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\text{vol}(B_{\epsilon} (x_0))} \int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} F \cdot \vec n
  • Se divF(x0)>0\ondiv F(x_0) > 0, então Bϵ(x0)Fn>0\int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} F \cdot \vec n > 0
    Em x0x_0 estamos a introduzir fluxo.
  • Se divF(x0)<0\ondiv F(x_0) < 0, então Bϵ(x0)Fn<0\int_{\partial B_{\epsilon} (x_0)} F \cdot \vec n < 0
    Em x0x_0 estamos a retirar fluxo.
  • Se divF(x0)=0\ondiv F(x_0) = 0
    Em x0x_0 não está a haver alteração de fluxo.

Slides: