Série de Fourier, Senos e Cossenos

Série de Fourier

Antes da leitura desta página, recomendo vivamente a visualização do seguinte vídeo, e se possível, de todos os episódios sobre este tema.

A Série de Fourier é uma ferramenta muito útil que nos irá permitir reescrever funções como uma soma (infinita) de senos e cossenos.

A Série de Fourier é periódica, ou seja, podemos limitar-nos a definir a função num intervalo (estendendo essa definição por periodicidade ao resto do domínio). Note-se que isto significa que funções não periódicas não podem ser representadas por uma série de Fourier, mas qualquer restrição de uma função a um intervalo pode. Geralmente, as funções com que trabalharemos são então do tipo f:[L,L]Rf: [-L, L] \to \R, em que LL corresponde a metade do período da função.

Definição

A Série de Fourier de uma função f:[L,L]Rf: [-L, L] \to \R é

SFf(x)=a02+n=1+(ancos(nπxL)+bnsin(nπxL))Seˊrie de Fourier de f(x)SF_f(x) = \underbrace{\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)}_{\text{Série de Fourier de } f(x)}

em que:

a0=1LLLf(x) ⁣dxa_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \d x
an=1LLLf(x)cos(nπxL) ⁣dxa_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \d x
bn=1LLLf(x)sin(nπxL) ⁣dxb_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \d x

Note-se que na expressão acima passámos o termo n=0n=0 para fora da série e trocamos a0a_0 por a02\frac{a_0}{2}. Isto é feito para que a fórmula do ana_n se aplique também ao a0a_0.

A expressão resultante, SFf(x)SF_f(x) vai corresponder exatamente a ff nos pontos em ]L,L[]-L, L[ em que ff é contínua. Aliás, uma das grandes vantagens da Série de Fourier é a função não precisar de ser contínua, apenas seccionalmente contínua (e ter derivada seccionalmente contínua).

Nos pontos de descontinuidade (e nas "pontas" do intervalo, L-L e LL), a expressão da Série de Fourier equivale ao ponto médio entre os valores da função a vir de ambas as direções. Traduzindo isto para um sistema, obtemos o Teorema da Convergência Pontual da Série de Fourier:

SFf(x)={f(x)sendo x um ponto de continuidade de ff(x+)+f(x)2sendo x um ponto de descontinuidade de ff(L)+f(L+)2sendo x=Lx=LSF_f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{sendo } x \text{ um ponto de continuidade de } f\\ \frac{f(x^+)+ f(x^-)}{2} & \text{sendo } x \text{ um ponto de descontinuidade de } f\\ \frac{f(L^-)+ f(-L^+)}{2} & \text{sendo } x = -L \lor x = L \end{cases}

Como já foi referido, a Série de Fourier, SFf(x)SF_f(x) é periódica em R\R com período 2L2L, ao contrário de ff que pode não o ser. Por outro lado, se considerarmos a extensão periódica, f\overline{f}, de f]L,L]f|_{]-L, L]}, isto é, pegarmos no intervalo ]L,L]]-L, L] e "repetirmos" a função com período 2L2L, ficamos com a seguinte equivalência:

SFf(x)={f(x)sendo x um ponto de continuidade de ff(x+)+f(x)2sendo x um ponto de descontinuidade de ff(L)+f(L+)2sendo x=Lx=LSF_f(x) = \begin{cases} \overline{f} (x) & \text{sendo } x \text{ um ponto de continuidade de } \overline{f}\\ \frac{\overline{f} (x^+) + \overline{f} (x^-)}{2} & \text{sendo } x \text{ um ponto de descontinuidade de } \overline{f}\\ \frac{\overline{f} (L^-) + \overline{f} (-L^+)}{2} & \text{sendo } x = -L \vee x = L \end{cases}

Exemplo

Determine a Série de Fourier da função f:[1,1]Rf: [-1, 1] \to \R definida por

f(x)={πse x[1,0[πse x[0,1]f(x) = \begin{cases} -\pi & \text{se } x \in [-1, 0[\\ \pi & \text{se } x \in [0, 1] \end{cases}

Atendendo ao domínio, temos que, segundo a definição acima, L=1L= 1.
Portanto, vamos ter a seguinte expressão para a Série de Fourier de ff:

SFf(x)=a02+n=1+(ancos(nπx)+bnsin(nπx))SF_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos\left(n \pi x\right) + b_n \sin\left(n\pi x\right) \right)

O próximo passo é determinar ana_n e bnb_n. O valor de ana_n é simples de determinar, visto que ff é uma função ímpar.

Como o produto de uma função par (o cosseno) com uma função ímpar (ff) é também uma função ímpar, temos um integral de uma função ímpar num intervalo do tipo [L,L][-L, L], que é nulo:

an=11f(x)cos(nπx) ⁣dx=0,nNa_n = \int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x) \d x = 0, \forall n \in \N

Mais ainda, a0a_0 também será 0, já que teríamos 11f(x) ⁣dx\int_{-1}^{1} f(x) \d x: o integral de uma função ímpar num intervalo do tipo [L,L][-L, L] é 0.

Por outro lado, para bnb_n, já temos de fazer mais cálculos, embora seja possível simplificá-los se repararmos que o produto de duas funções ímpares (o seno e ff) é uma função par, sabemos que o seu integral num intervalo simétrico, é o dobro do integral numa das "metades" do intervalo:

bn=11f(x)sin(nπx) ⁣dx=201πsin(nπx) ⁣dx=2πnπ[cos(nπx)]01=2n(cos(nπ)1)=2n(1cos(nπ))\begin{aligned} b_n &= \int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x) \d x\\ &= 2 \int_{0}^{1} \pi \sin(n \pi x) \d x\\ &= - \frac{2\pi}{n\pi} \left[\cos(n\pi x)\right]_0^1\\ &= - \frac{2}{n} \left(\cos(n \pi) - 1\right)\\ &= \frac{2}{n} \left(1 - \cos(n \pi) \right) \end{aligned}

Podemos fazer ainda mais uma simplificação que nos irá ser útil no futuro. Se repararmos, cos(nπ)\cos(n\pi) é igual a 1-1 quando nn é ímpar, e igual a 11 quando nn é par. Ou seja, sabemos que cos(nπ)=(1)n\cos(n\pi) = \left(-1\right)^n.
Então:

bn=2n(1(1)n)b_n = \frac{2}{n} \left(1- (-1)^n\right)

Determinámos assim a Série de Fourier de ff:

SFf(x)=n=12n(1(1)n)sin(nπx)SF_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \left(1-(-1)^n\right) \sin (n\pi x)

No entanto, podemos ainda reparar que 1(1)n=01- (-1)^n = 0 para todo o nn par. Como se trata de uma soma infinita, podemos "ignorar" todos os termos com nn par, tomando que n=2k1n = 2k - 1.

SFf(x)=k=142k1sin((2k1)πx)SF_f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{2k-1} \sin \left((2k-1)\pi x\right)

Abaixo encontra-se uma visualização desta solução, à medida que se incrementa NN:

Considerando então a soma infinita, temos que, em [1,1][-1, 1], a soma da Série de Fourier de ff será dada por:

SFf(x)={πse x]1,0[πse x]0,1[0se x=±1x=0SF_f(x) = \begin{cases} -\pi &\text{se } x \in ]-1, 0[\\ \pi & \text{se } x \in ]0, 1[\\ 0 & \text{se } x = \pm 1 \lor x = 0 \end{cases}
Mais exemplos

Calcule a Série de Fourier de

f(x)=xf:[π,π]\begin{darray}{cc} f(x) = x & f: [-\pi, \pi] \end{darray}

no intervalo [π,π][-\pi, \pi].

Temos então que L=πL = \pi, pelo que

SFf(x)=a02+n=1+(ancos(nx)+bnsin(nx))SF_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos\left(n x\right) + b_n \sin\left(n x\right) \right)

Como xx é função ímpar e cos(nx)\cos(nx) é função par, o produto de ambas vai resultar numa função ímpar, que está a ser integrada num intervalo simétrico, pelo que:

an=1πππxcos(nx) ⁣dx=0a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \d x = 0

Mais ainda, visto que xx é ímpar, tal como visto mais acima, a0=ππx ⁣dx=0a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} x \d x = 0.

Para determinarmos bnb_n, já necessitamos mais cálculos:

bn=1πππxsin(nx) ⁣dx=2π0πxsin(nx) ⁣dx=2π([xcos(nx)n]0π+0πcos(nx)n ⁣dx)=2π(πcos(nπ)n)cos(nπ)=(1)n=2(1)nn\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x\sin(nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \left(\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]^\pi_0 + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} \d x\right)\\ &= \frac{2}{\pi} \left(\frac{-\pi\cos(n\pi)}{n}\right) & \cos(n\pi) = (-1)^n\\ &= \frac{-2(-1)^n}{n} \end{aligned}

Então, obtemos a expressão da Série de Fourier de ff:

SFf(x)=n=1+2(1)n+1nsin(nx)SF_f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin (n x)

Série de Senos

Como já deves ter reparado, se determinarmos a Série de Fourier de uma função ímpar, vamos ter sempre que an0a_n \equiv 0, eliminado os termos com cosseno.
Podemos então fazer uma definição mais explícita neste caso, e até a estender a funções que não são ímpares.

Para isto, ao contrário da Série de Fourier, consideramos apenas um dos "lados" do intervalo simétrico, e efetuamos a extensão ímpar de ff.

Definição

Sendo L>0L > 0 e f:[0,L]Rf: [0, L] \to \R uma função seccionalmente contínua e de derivada seccionalmente contínua em ]0,L[]0, L[, pode-se associar a ff a Série de Senos

Ssinf(x)=n=1bnsin(nπxL)S_{\sin}f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)

em que

bn=2L0Lf(x)sin(nπxL) ⁣dxb_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi x }{L}\right) \d x

Se repararmos, a Série de Senos de ff em [0,L][0,L] corresponde à Série de Fourier da sua extensão ímpar a [L,L][-L,L], g(x)g(x):

g(x)={f(x)se x]0,L]0se x=0f(x)se x[L,0[g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in ]0, L]\\ 0 & \text{se } x = 0\\ -f(-x) & \text{se } x \in [-L, 0[ \end{cases}
Exemplo

Determine a Série de Senos da função f:[0,2]Rf: [0, 2] \to \R definida por

f(x)={1xse x[0,1[0se x[1,2]f(x) = \begin{cases} 1-x & \text{se } x \in [0, 1[\\ 0 & \text{se } x \in [1, 2] \end{cases}

Atendendo ao domínio, temos que, segundo a definição acima, L=2L = 2.
Portanto, vamos ter a seguinte expressão para a Série de Senos de ff:

Ssinf(x)=n=1bnsin(nπx2)S_{\sin}f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)

Podemos agora calcular bnb_n:

bn=02f(x)sin(nπx2) ⁣dx=01(1x)sin(nπx2) ⁣dx=01sin(nπx2) ⁣dx01xsin(nπx2) ⁣dx=2nπ[cos(nπx2)]01+2nπ([xcos(nπx2)]0101cos(nπx2) ⁣dx)=2nπ×(cos(nπ2)1)+2nπ(cos(nπ2)+2nπ[sin(nπx2)]01)=2nπ+4n2π2sin(nπ2)\begin{aligned} b_n &= \int_{0}^{2} f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= \int_{0}^{1} (1-x) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= \int_{0}^{1} \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x - \int_{0}^{1} x\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= -\frac{2}{n\pi} \left[\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 +\frac{2}{n\pi} \left( \left[x\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 - \int_{0}^{1} \cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x \right)\\ &= -\frac{2}{n\pi} \times (\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)-1) +\frac{2}{n\pi} \left(\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right) +\frac{2}{n\pi} \left[\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 \right)\\ &= \frac{2}{n\pi} + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right) \end{aligned}

Concluímos então que a Série de Senos de ff é:

Ssinf(x)=n=1(2nπ+4n2π2sin(nπ2))sin(nπx2)S_{\sin} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n\pi} + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)

Pelo Teorema da Convergência Pontual das Séries de Fourier, temos que, em [2,2][-2, 2],

Ssinf(x)={f(x)se x]0,2]0se x=0f(x)se x[2,0[S_{\sin} f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in ]0, 2]\\ 0 & \text{se } x = 0\\ -f(-x) & \text{se } x \in [-2, 0[ \end{cases}

Série de Cossenos

De forma semelhante à Série de Senos, se determinarmos a Série de Fourier de uma função par, vamos ter sempre que bn0b_n \equiv 0, eliminado os termos com seno.
Podemos então fazer uma definição mais explícita neste caso, e até a estender a funções que não são pares.

Para isto, ao contrário da Série de Fourier, consideramos apenas um dos "lados" do intervalo simétrico, e efetuamos a extensão par de ff.

Definição

Sendo L>0L > 0 e f:[0,L]Rf: [0, L] \to \R uma função seccionalmente contínua e de derivada seccionalmente contínua em ]0,L[]0, L[, pode-se associar a ff a Série de Cossenos

Scosf(x)=a02+n=1ancos(nπxL)S_{\cos}f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)

em que

a0=2L0Lf(x) ⁣dxa_0 = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \d x

e

an=2L0Lf(x)cos(nπxL) ⁣dxa_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi x }{L}\right) \d x

Se repararmos, a Série de Cossenos de ff em [0,L][0,L] corresponde à Série de Fourier da sua extensão par a [L,L][-L,L], g(x)g(x):

g(x)={f(x)se x]0,L]f(0)se x=0f(x)se x[L,0[g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in ]0, L]\\ f(0) & \text{se } x = 0\\ f(-x) & \text{se } x \in [-L, 0[ \end{cases}
Exemplo

Determine a Série de Cossenos da função f:[0,π]Rf: [0, \pi] \to \R definida por

f(x)={0se x[0,π4[1se x[π4,π]f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [0, \frac{\pi}{4}[\\ 1 & \text{se } x \in [\frac{\pi}{4}, \pi] \end{cases}

Atendendo ao domínio, temos que, segundo a definição acima, L=πL = \pi.
Portanto, vamos ter a seguinte expressão para a Série de Cossenos de ff:

Scosf(x)=a02+n=1ancos(nx)S_{\cos}f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (nx)

Podemos agora calcular ana_n:

an=2π0πf(x)cos(nx) ⁣dx=2ππ4πcos(nx) ⁣dx=2nπ[sin(nx)]π4π=2nπsin(nπ4)\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos (nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos (nx) \d x\\ &= \frac{2}{n \pi} \left[\sin(nx)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\\ &= -\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n\pi}{4}\right) \end{aligned}

sendo que para n=0n=0 temos de ter mais cuidado. Nesse caso obtemos

a0=2π0πf(x) ⁣dx=2ππ4π1 ⁣dx=2π(ππ4)=32a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \d x = \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 1 \d x = \frac{2}{\pi} \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{2}

Concluímos então que a Série de Cossenos de ff é:

Scosf(x)=34n=1(2nπsin(nπ4)cos(nx))S_{\cos} f(x) = \frac{3}{4} - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n\pi}{4}\right) \cos(nx)\right)

Pelo Teorema da Convergência Pontual das Séries de Fourier, temos que, em [π,π][-\pi, \pi],

Scosf(x)={0se x]π4,π4]1se x[π,π4[]π4,π]12se x=±π4S_{\cos} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\\ 1 & \text{se } x \in \left[-\pi, -\frac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{4},\pi\right]\\ \frac{1}{2} & \text{se } x = \pm \frac{\pi}{4} \end{cases}

Identidade de Parseval

Definição

1LLL[f(x)]2 ⁣dx=a022+n=1+(an2+bn2)\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \left[f(x)\right]^2 \d x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n^2 + b_n^2\right)