Formulário

Corpo Rígido

s=rθθ=srs = r\theta \quad\Leftrightarrow\quad \theta = \frac{s}{r}

onde ss é o comprimento do arco, rr é o raio e θ\theta é o ângulo (em radianos).

Tem-se que θ\theta é positivo no sentido contrário ao sentido dos ponteiros do relógio e negativo no sentido dos ponteiros do relógio.

Nome Fórmula Unidades
Posição Angular θ\theta rad\op{rad}
Deslocamento Angular Δθ=θfθi\Delta\theta = \theta_f - \theta_i rad\op{rad}
Velocidade Angular ω= ⁣dθ ⁣dt\omega = \frac{\d\theta}{\d t} rad/s=s1\op{rad}/\op{s} = \op{s}^{-1}
Aceleração Angular α= ⁣dω ⁣dt= ⁣d2θ ⁣dt2\alpha = \frac{\d\omega}{\d t} = \frac{\d^2\theta}{\d t^2} rad/s2=s2\op{rad}/\op{s}^2 = \op{s}^{-2}
Velocidade Tangencial v=rωv = r\omega m/s\op{m}/\op{s}
Aceleração Tangencial at=rαa_t = r\alpha m/s2\op{m}/\op{s}^2
Aceleração Centrípeta ac=v2r=rω2a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 m/s2\op{m}/\op{s}^2

Todas as partículas de um objeto a rodar em torno de um eixo fixo têm a mesma ω\omega e α\alpha, mas não têm as mesmas vv e ata_t visto o rr diferir.

Produto Externo

Para determinar o sentido de C=A×B\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}, usa-se a Regra da Mão Direita:

  1. Estender a mão na direção de A\vec{A} (quase que como a dar um "passou-bem" nessa direção)
  2. Enrolar os dedos na direção de B\vec{B} (fazer o ângulo mais pequeno entre A\vec{A} e B\vec{B})
  3. O polegar indica o sentido de C\vec{C} (para cima ou para baixo, se A\vec{A} e B\vec{B} estiverem num plano horizontal)

Tem-se que:

  • A×B=B×A\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} (não é comutativo)
  • A\vec{A} paralelo a B    A×B=0\vec{B} \implies \vec{A} \times \vec{B} = 0 (e, portanto, o produto externo de um vetor com ele próprio é 0)
  • A\vec{A} perpendicular a B    A×B=AB\vec{B} \implies \vec{A} \times \vec{B} = AB (e, portanto, o produto externo de um vetor com ele próprio é o vetor próprio)
  •  ⁣d ⁣dt(A×B)= ⁣dA ⁣dt×B+A× ⁣dB ⁣dt\frac{\d}{\d t}(\vec{A} \times \vec{B}) = \frac{\d\vec{A}}{\d t}\times \vec{B} + \vec{A}\times\frac{\d \vec{B}}{\d t}
Nome Fórmula Unidades Análogo em Translações
Momento de Inércia I=r2 ⁣dmI = \int r^2 \d m kgm2\op{kg}\cdot \op{m}^2 Massa, mm
Energia Cinética Rotacional Ec=12Iω2E_c = \frac{1}{2}\smartcolor{orange}{I}\omega^2 J\op{J} Energia Cinética Linear, Ec=12mv2E_c = \frac{1}{2}mv^2
Torque τ=F×r\vec{\tau} = \vec{F}\times\vec{r} Nm\op{N}\cdot\op{m} Força Externa, Fext=maCM\vec{F_{ext}} = m\vec{a_{CM}}
Momento Angular L=r×p=Iω\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = I\vec{\omega} kgm2s1\op{kg}\cdot\op{m^2}\cdot\op{s^{-1}} Momento Linear, p=mv\vec{p} = m\vec{v}
Momento de Inércia

O Momento de Inércia é dado por:

I=iri2mi=r2 ⁣dmI = \sum_i r_i^2m_i = \int r^2 \d m

Apesar da fórmula acima funcionar sempre, algumas fórmulas podem ser mais simples:

Objeto Eixo ICMI_{CM}, Momento de Inércia no Centro de Massa
Arco Fino Ortogonal pelo centro MR2MR^2
Arco Fino Através do diâmetro 12MR2+112Mh2\frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{12}Mh^2
Disco ou Cilindro Sólido Ortogonal pelo centro 12MR2\frac{1}{2}MR^2
Disco ou Cilindro Oco Ortogonal pelo centro 12M(R12+R22)\frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)
Esfera Uniforme Sólida Através do centro 25MR2\frac{2}{5}MR^2
Superfície Esférica Fina Através do centro 23MR2\frac{2}{3}MR^2
Vara Longa e Fina Ortogonal pelo centro 112M2\frac{1}{12}M\ell^2
Vara Longa e Fina Ortogonal por uma ponta 13M2\frac{1}{3}M\ell^2
Placa Retangular Ortogonal pelo centro 112M(w2+2)\frac{1}{12}M(w^2 + \ell^2)

onde MM é a massa, RR ou R1<R2R_1 < R_2 são os raios, hh é a espessura, ww é a largura e \ell é o comprimento.

O Teorema do Eixo-Paralelo diz que o momento de inércia através de qualquer eixo paralelo a um que passe no centro de massa a uma distância DD é dado por:

I=ICM+MD2I = I_{CM} + MD^2
Torque

O Torque (τ\vec{\tau} ou N\vec{N}), ou Momento de Força, mede a tendência de um objeto rodar sobre um eixo.

τ=r×F \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}

onde F\vec{F} é a força aplicada e r\vec{r} é o vetor entre o ponto pivot e o ponto de aplicação de F\vec{F}.

A sua magnitude é dada por

τ=Frsinϕ=Fd \tau = Fr\sin\phi = Fd

onde d=rsinϕd = r\sin\phi é a distância perpendicular entre o ponto pivot e a linha de ação de F\vec{F} (reta que a prolonga para ambos os lados).

Não confundir torque com força: são diferentes. O torque tem unidades Nm\op{N}\cdot\op{m} por ser uma força multiplicada por uma distância.

tip

τ=Iα \sum\tau = I\alpha

é o análogo rotacional da segunda lei de Newton, F=ma\sum F = ma.

Momento Angular

O Momento Angular é dado por:

L=r×pouL=Iω\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\quad\text{ou}\quad\vec{L} = I\vec{\omega}

sendo a sua magnitude dada por L=mvrsinϕL = mvr\sin\phi, onde ϕ\phi é o ângulo entre r\vec{r} e p\vec{p}.

Tem-se também que:

τ= ⁣dL ⁣dt\sum\vec{\tau} = \frac{\d \vec{L}}{\d t}

Conservação do Momento Angular

O momento angular total de um sistema é constante (em magnitude e direção) se o torque externo a ser aplicado no sistema for zero, isto é, se o sistema for isolado.

τ=0    L=constante\sum\vec{\tau} = 0 \implies \sum\vec{L} = \op{constante}

Para um sistema isolado, tem-se que:

ΔEm=0Emi=EmfΔp=0pi=pfΔL=0Li=Lf\begin{aligned} \Delta E_m &= 0& \Leftrightarrow&& E_{m_i} &= E_{m_f} \\ \Delta \vec{p} &= 0& \Leftrightarrow&& \vec{p}_i &= \vec{p}_f \\ \Delta \vec{L} &= 0& \Leftrightarrow&& \vec{L}_i &= \vec{L}_f \\ \end{aligned}

Leis de Kepler

  1. Todos os planetas movem-se em orbitas elípticas com o Sol num dos focos.
  2. O vetor raio do Sol a um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

A força gravítica entre o planeta e o Sol tem a mesma direção que o vetor raio, logo τ=r×F=0\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0. Como τ=dLdt=0\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{d\vec{t}} = 0, conclui-se que o momento angular L\vec{L} do planeta é constante.

  1. O quadrado do período orbital de qualquer planeta é proporcional ao cubo do eixo semi-maior da sua órbita.
T2=KSa3T^2 = K_Sa^3

onde TT é o período orbital, aa é o eixo semi-maior e KSK_S é uma constante específica ao Sol (SS) dada por:

KS=4π2GMSK_S = \frac{4\pi^2}{GM_S}

Estabilidade de Sistemas

A Lei de Hook diz que a força de restituição de uma mola (spring) é dada por:

Fs=kxF_s = -kx

onde kk é a constante de elasticidade característica da mola, dada em N/m\op{N}/\op{m} e xx é a distância da deformação da mola até à posição de equilíbrio.

A posição da mola é dada por:

x(t)=Acos(ωt+ϕ)x(t) = A\cos(\omega t + \phi)

onde AA é a amplitude da mola, ω\omega é a frequência angular e ϕ\phi é o ângulo inicial de fase. A função x(t)x(t) é periódica de período 2π2\pi.

ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

...to be continued

Sistema Termodinâmico

1cal=4.186J1\op{cal} = 4.186\op{J}
0ºC=273.15KTºC=TK273.15\begin{aligned} 0 \op{ºC} &= 273.15 \op{K}\\ T_{\op{ºC}} &= T_K - 273.15 \end{aligned}
1L=1dm31 \op{L} = 1 \op{dm}^3

Expansão Térmica

Δ=αΔTΔVV=βΔT\frac{\Delta \ell}{\ell} = \alpha\Delta T \quad \frac{\Delta V}{V} = \beta\Delta T

onde \ell é o comprimento, α\alpha é o coeficiente de dilatação linear (ºC1\op{ºC}^{-1}), VV é o volume e β\beta é o coeficiente de dilatação (ºC1\op{ºC}^{-1}).

Calor

C=ΔQΔTc=Cm=ΔQmΔTC = \frac{\Delta Q}{\Delta T}\quad c = \frac{C}{m} = \frac{\Delta Q}{m\Delta T}

onde CC é a capacidade calorífica (JK1\op{J}\op{K}^{-1}) e cc é a capacidade calorífica mássica (Jkg1K1\op{J}\op{kg}^{-1}\op{K}^{-1}).

Energia para Mudar de Temperatura

ΔQ=mcΔT\Delta Q = mc\Delta T

onde cc é o calor específico mássico (Jkg1K1\op{J} \op{kg}^{-1} \op{K}^{-1})

Transições de Fase

ΔQ=mλ\quad \Delta Q = m\lambda

onde λ\lambda é o calor latente (kJkg1\op{kJ}\op{kg}^{-1}).

Condução

Q=kAΔTΔtQ = kA\frac{\Delta T}{\ell}\Delta t

onde kk é a condutividade térmica (Wm1K\op{W} \op{m}^{-1} \op{K}).

Gases Perfeitos/Ideais

pV=nRTpV = nRT

onde pp é a pressão (Pa\op{Pa}), VV é o volume (m3\op{m^3}), nn é a quantidade de matéria (mol)(\op{mol}), RR é a constante dos gases perfeitos e TT é a temperatura (K\op{K}).

R=8.314JK1mol1R = 8.314 \op{J} \op{K}^{-1} \op{mol}^{-1}
  • Para temperatura constante, a pressão é inversamente proporcional ao volume:

    pV=constante\smartcolor{pink}{p}\smartcolor{green}{V} = \text{constante}
  • Para pressão constante, o volume é diretamente proporcional à temperatura.

    V=aTsendo a uma constante\smartcolor{green}{V} = a\smartcolor{orange}{T}\quad \text{sendo } a \text{ uma constante}
  • Para volume constante, a pressão é diretamente proporcional à temperatura.

    p=aTsendo a uma constante\smartcolor{pink}{p} = a\smartcolor{orange}{T}\quad \text{sendo } a \text{ uma constante}

...to be improved