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Momento

Momento Linear

Vimos anteriormente uma quantidade conservada. Vamos agora ver outra, desta vez para um sistema isolado.

Momento Linear

Definimos o momento linear como:

P⃗=m v⃗\begin{darray}{ll} \vec{P} = m\,\vec{v} \end{darray}

A lei de Newton diz que

F⃗=∂P⃗∂t  ⟺  F⃗=m a⃗,se     m=const⁡\begin{darray}{ll} \vec{F} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} \iff \vec{F} = m\,\vec{a} \quad\text{,\quad se }\;\; m = \op{const} \end{darray}

recuperando assim a lei de Newton a que estamos habituados.

Sistemas Isolados

Olhemos agora para um sistema isolado do exterior:

Sistema Fechado

Como o sistema está isolado, a força que m2m_2 aplica a m1m_1 é acompanhada por uma força simétrica de m1m_1 sobre m2m_2, isto é

∑Fi⃗=F12⃗+F21⃗=0⃗(3ª lei de Newton)\begin{darray}{ll} \sum \vec{F_i} = \vec{F_{12}} + \vec{F_{21}} = \vec{0} \quad \text{(3ª lei de Newton)} \end{darray}

ou seja

∂∂t[m1v1⃗+m2v2⃗]=0  ⟹  PT⃗=const⁡\begin{darray}{ll} \frac{\partial}{\partial t}[m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}] = 0 \implies \vec{P_T} = \op{const} \end{darray}

Quando consideramos um objeto a cair na Terra geralmente vemos que o seu momento não se conserva porque não estamos a considerar a Terra no nosso sistema, do qual a Terra teria de fazer parte para para o momento do sistema se conservar.

Colisões

Colisões (Totalmente) Inelásticas

Uma colisão inelástica é aquela em que há perda de energia cinética do sistema. Quando ocorre uma perda máxima de energia cinética, isto é, quando ambos os corpos ficam com a mesma velocidade, dá-se o nome de colisão totalmente inelástica.

Exemplo

Colisão Inelástica

Numa colisão totalmente inelástica, a velocidade final das duas massas é igual. Além disso, como estamos perante um sistema isolado, o momento linear, PP, também se conserva. Considerando que ambas as esferas têm igual massa (i.e. m1=m2m_1 = m_2) e que a esfera 2 está em repouso inicialmente, temos,

Pi=Pf⇔m1v1,i+m2v2,i=m1v1,f+m2v2,f⇔mvi=2mvf⇔vf=vi2\begin{aligned} P_i = P_f &\Leftrightarrow m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \\ &\Leftrightarrow mv_i = 2mv_f \\ &\Leftrightarrow v_f = \frac{v_i}{2} \end{aligned}

Podemos agora descobrir qual foi a variação de energia (cinética) do sistema:

Ei=12mvi2Ef=2(12mvf2)=m(vi2)2=14mvi2ΔE=Ef−Ei\begin{darray}{l} E_i = \frac{1}{2}mv_i^2 \\\\ E_f = 2 \left(\frac{1}{2}mv_f^2\right) = m\left(\frac{v_i}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}mv_i^2 \\\\ \Delta E = E_f - E_i \end{darray}

Colisões Elásticas

Uma colisão elástica é aquela em que há conservação de energia cinética do sistema.

Exemplo

Consideremos uma colisão elástica entre duas bolas de bilhar uma com velocidade inicial viv_i e outra parada. Observa-se uma colisão frontal que, como é elástica, conserva a energia cinética.

Colisão Elástica

Sabemos que PP é constante e a energia cinética é conservada, logo

{mvi=mv1+mv212mvi2=12mv12+12mv22  ⟺  {vi=v1+v2vi2=v12+v22   ⟹   v1=0As esferas colidemv2=vi  ∨  v2=0Na˜o existe colisa˜ov1=vi\begin{cases} mv_i = mv_1 + mv_2\\ \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \end{cases} \iff \begin{cases} v_i = v_1 + v_2\\ v_i^2 = v_1^2 + v_2^2 \end{cases}\\ \,\\ \implies\\ \,\\ \begin{darray}{cc} v_1 = 0\\ \text{As esferas colidem}\\ v_2 = v_i \end{darray} \;\vee\; \begin{darray}{cc} v_2 = 0\\ \text{Não existe colisão}\\ v_1 = v_i \end{darray}

Colisão Elástica (Geral)

Para uma colisão elástica em que os corpos têm massa diferente

{m1v1+m2v2=m1v1∗+m2v2∗12m1v12+12m2v22=12m1v1∗2+12m2v2∗2   ⟺   v1∗=m1−m2m1+m2v1∨v2∗=2m1m1+m2v1\begin{cases} m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1^* + m_2v_2^*\\ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v_1^*}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2^*}^2 \end{cases}\\ \,\\ \iff\\ \,\\ \begin{darray}{cc} v_1^* = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 \quad \vee \quad v_2^* = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 \end{darray}

Nota

Se m1=m2  ⟹  v2∗=v1ev1∗=0\quad m_1 = m_2 \implies v_2^* = v_1 \quad\text{e}\quad v_1^* = 0

Se m1≪m2  ⟹  v2∗=0ev1∗=−v1\quad m_1 \ll m_2 \implies v_2^* = 0 \quad\text{e}\quad v_1^* = -v_1

Centro de Massa

O momento linear de pende do referencial

Referencial

R⃗(t)=R⃗o(t)+R⃗α(t) v⃗=∂R⃗∂t=∂R⃗o∂t+∂R⃗α∂t=v⃗ref+v⃗α\begin{darray}{cc} \vec{R}\left(t\right) = \vec{R}_o\left(t\right) + \vec{R}_\alpha\left(t\right)\\ \,\\ \vec{v} = \frac{\partial \vec{R}}{\partial t} = \frac{\partial \vec{R}_o}{\partial t} + \frac{\partial \vec{R}_\alpha}{\partial t} = \vec{v}_{ref} + \vec{v}_\alpha \end{darray}

logo,

P⃗=∑miv⃗i=(∑mi)v⃗ref+∑miv∗⃗i\begin{darray}{cc} \vec{P} = \sum m_i\vec{v}_i = \left(\sum m_i\right)\vec{v}_{ref} + \sum m_i\vec{v^*}_i \end{darray}

Ao escolher o referencial com o centro no centro de massa temos que  ∑miv∗⃗i=0 \,\sum m_i\vec{v^*}_i = 0\,. Em relação a este sistema o objeto, composto por várias partículas, move-se como um único ponto:

P⃗=MTotal v⃗CM\begin{darray}{cc} \vec{P} = M_{Total}\,\vec{v}_{CM} \end{darray}

e portanto também sujeito às leis de Newton

F⃗=∂P⃗∂t=MTotal a⃗CM\begin{darray}{cc} \vec{F} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} = M_{Total}\,\vec{a}_{CM} \end{darray}

Disto podemos também definir

MTotal=∑mi,v⃗CM=∑miv⃗iMTotal,R⃗CM=∑miR⃗iMTotal\begin{darray}{cc} M_{Total} = \sum m_i \end{darray} \quad\text{,}\quad \begin{darray}{cc} \vec{v}_{CM} = \frac{\sum m_i\vec{v}_i}{M_{Total}} \end{darray} \quad\text{,}\quad \begin{darray}{cc} \vec{R}_{CM} = \frac{\sum m_i\vec{R}_i}{M_{Total}} \end{darray}

Corpo Rígido: Momento de Inércia

Secção Incompleta

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Momento Angular

Secção Incompleta

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Momento de Forças

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