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Trabalho de Forças

Nas secções anteriores falámos de vários tipos diferentes de forças e vimos que cada força atua sobre um corpo de uma maneira diferente.
Vamos agora definir essa interação através do trabalho.

Trabalho de uma Força (1 dimensão)

O trabalho de uma força é a energia transformada ou transferida a um corpo ao aplicar-lhe uma força. No secundário aprendemos a fórmula para o trabalho quando a força aplicada e o movimento eram simples:

WF=F⋅cos⁡Θ⋅ΔxΔx=xf−xi\begin{darray}{ll} W_F = F \cdot \cos\varTheta \cdot \Delta x && \Delta x = x_f - x_i \end{darray}

Trabalho da força basico

Atenção!

Apenas as componentes da força com a mesma direção do movimento do corpo ao qual a força é aplicada produzem trabalho.

Se Θ=90deg⁡ enta˜o Wf=0\begin{darray}{ll} \text{Se } \varTheta = 90\op{deg} \text{ então } W_f = 0 \end{darray}

Trabalho de uma Força (n dimensões)

A forma anterior serve perfeitamente para sistemas de 1 dimensão mas quando o sistema tem nn dimensões, ao acrescentar eixos por exemplo, é preciso uma fórmula mais geral:

Coordenadas Cartesianas

Trabalho da força geral

F⃗=(Fx,Fy,Fz)dr⃗=(dx,dy,dz)\begin{darray}{ll} \vec{F} = (F_x, F_y, F_z) & d\vec{r} = (dx, dy, dz)\\ \end{darray}
F⃗⋅dr⃗=Fxdx+Fydy+Fzdz\begin{darray}{ll} \vec{F}\cdot d\vec{r} = F_xdx + F_ydy + F_zdz \end{darray}
WF=∫ifF⃗⋅dr⃗=∫ifFxdx+∫ifFydy+∫ifFzdz\begin{darray}{ll} W_F = \int^f_i \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int^f_i F_xdx + \int^f_i F_ydy + \int^f_i F_zdz \end{darray}

Coordenadas Polares

Trabalho da força geral

F⃗=(Fr,FΘ)dr⃗=(dr,dΘ)\begin{darray}{ll} \vec{F} = (F_r, F_\varTheta) & d\vec{r} = (dr, d\varTheta)\\ \end{darray}
F⃗⋅dr⃗=Frdr+FΘdΘ\begin{darray}{ll} \vec{F}\cdot d\vec{r} = F_rdr + F_\varTheta d\varTheta \end{darray}
WF=∫ifF⃗⋅dr⃗=∫ifFrdr+∫ifFΘdΘ\begin{darray}{ll} W_F = \int^f_i \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int^f_i F_rdr + \int^f_i F_\varTheta d\varTheta \end{darray}
Prova
ex⃗=    sin⁡Θ er⃗+cos⁡Θ eΘ⃗ey⃗=−cos⁡Θ er⃗+sin⁡Θ eΘ⃗\begin{darray}{ll} \vec{e_x} = \;\,\, \sin\varTheta\, \vec{e_r} + \cos\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\ \vec{e_y} = -\cos\varTheta\, \vec{e_r} + \sin\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\ \end{darray}
x= rsin⁡Θ⇒ ⁣dx=   sin⁡Θ  ⁣dr+rcos⁡Θ  ⁣dΘy=−rcos⁡Θ⇒ ⁣dy=−cos⁡Θ  ⁣dr+rsin⁡Θ  ⁣dΘ\begin{darray}{ll} x = \enspace\,r\sin\varTheta \enspace\rArr\enspace \d x = \>\,\,\sin\varTheta\, \d r + r\cos\varTheta\, \d \varTheta\\ y = -r\cos\varTheta \enspace\rArr\enspace \d y = -\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d \varTheta\\ \end{darray}
Portanto, se  ⁣dr⃗= ⁣dx ex⃗+ ⁣dy ey⃗: F⃗⋅ ⁣dr⃗ =F⃗ ( ⁣dx ex⃗+ ⁣dy ey⃗)   =F⃗ ((sin⁡Θ dr+rcos⁡Θ dΘ)(sin⁡Θ er⃗+cos⁡Θ eΘ⃗) + (−cos⁡Θ  ⁣dr+rsin⁡Θ  ⁣dΘ)(−cos⁡Θ er⃗+sin⁡Θ eΘ⃗))   =F⃗ ( ⁣dr er⃗+r  ⁣dΘ eΘ⃗)   =Fr  ⁣dr+FΘ  ⁣dΘ\begin{darray}{ll} \text{Portanto, se }\d\vec{r} = \d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y}:\\ \text{ }\\ \vec{F}\cdot \d\vec{r} \>= \vec{F}\,(\d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y})\\ \qquad\>\>\, = \vec{F}\,((\sin\varTheta\, dr + r\cos\varTheta\, d\varTheta)(\sin\varTheta\,\vec{e_r} + \cos\varTheta\,\vec{e_\varTheta}) \space + \\ \qquad\qquad\quad\, (-\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d\varTheta)(-\cos\varTheta\,\vec{e_r} + \sin\varTheta\,\vec{e_\varTheta}))\\ \qquad\>\>\, = \vec{F}\,(\d r\,\vec{e_r} + r\,\d \varTheta\,\vec{e_\varTheta})\\ \qquad\>\>\, = F_r\,\d r + F_\varTheta\,\d\varTheta \end{darray}

Exemplo

Podemos agora calcular o trabalho da força gravítica enquanto um corpo cai em direção à terra:

 ⁣dr⃗= ⁣dr er⃗WG=∫rirfF⃗⋅ ⁣dr⃗=∫rirf−GMTmR2 er⃗⋅er⃗  ⁣dr=GMTmrf−GMTmri\begin{darray}{ll} \d \vec{r} = \d r\,\vec{e_r}\\ W_G = \int^{r_f}_{r_i}\vec{F}\cdot \d\vec{r} = \int^{r_f}_{r_i} -\frac{GM_Tm}{R^2}\,\vec{e_r}\cdot\vec{e_r}\,\d r = \frac{GM_Tm}{r_f} - \frac{GM_Tm}{r_i} \end{darray}

Atenção

O trabalho de uma força conservativa apenas depende da posição inicial e final, sendo o trajeto feito para chegar de um ponto para o outro irrelevante

Trabalho como Variação de Energia

A força gravítica é conservativa podendo assim ser expressa como uma variação de enrgia potencial.
Se fizermos corresponder a cada ponto do espaço uma energia potencial   Ep=−GMtmR  \;E_p = -\frac{GM_tm}{R}\; podemos definir o trabalho da força gravítica entre dois pontos como:

WF=− ( Ef−Ei )\begin{darray}{ll} W_F = -\,(\,E_f - E_i\,) \end{darray}

Conseguimos ainda expressar a força gravítica como gradiente de uma energia potencial:

∇⃗Ep (r⃗)=∂E∂x ex⃗+∂E∂y ey⃗+∂E∂z ez⃗ F⃗=−∇⃗ Ep(r⃗)\begin{darray}{ll} \vec{\nabla}E_p\,(\vec{r}) = \frac{\partial E}{\partial x}\,\vec{e_x} + \frac{\partial E}{\partial y}\,\vec{e_y} + \frac{\partial E}{\partial z}\,\vec{e_z}\\ \,\\ \vec{F} = -\vec{\nabla}\,E_p(\vec{r}) \end{darray}
Coordenadas esféricas
∇⃗U=∂U∂r er⃗+1r ∂U∂σ eσ⃗+1rsin⁡σ ∂U∂ϕ eϕ⃗\begin{darray}{ll} \vec{\nabla}U = \frac{\partial U}{\partial r}\,\vec{e_r} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial U}{\partial \sigma}\,\vec{e_\sigma} + \frac{1}{r\sin\sigma}\,\frac{\partial U}{\partial \phi}\,\vec{e_\phi} \end{darray}

Trabalho de Forças Exteriores

O trabalho de forças exteriores é igual à variação da energia cinética do sistema:

WF=12 m vf2−12 m vi2\begin{darray}{ll} W_F = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 - \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 \end{darray}

ou, em termos de energia potencial:

Epf+12 m vf2=Epi+12 m vi2\begin{darray}{ll} E_{pf} + \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 = E_{pi} + \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 \end{darray}

Podemos definir a energia total do sistema:

ETotal=Ep+Ei\begin{darray}{ll} E_{Total} = E_p + E_i \end{darray}

que é conservada para forças conservativas

Prova

Podemos mostrar que ETotalE_{Total} é conservada da seguinte forma:

∂ETotal∂t=∂Ep∂t+∂Ec∂t\begin{darray}{ll} \frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \frac{\partial E_c}{\partial t} \end{darray}

Mas   Ec=12 m v2\;E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 , logo

∂Ec∂t=12 m (2 v v˙)=mva ∂Ep∂t=∂Ep∂t+∂r⃗∂t⋅∇⃗Ep=∂Ep∂t+v⃗⋅∇⃗Ep\begin{darray}{ll} \frac{\partial E_c}{\partial t} = \frac{1}{2}\,m\,(2\,v\,\dot{v}) = mva \\ \,\\ \frac{\partial E_p}{\partial t} = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\cdot\vec{\nabla}E_p = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \vec{v}\cdot\vec{\nabla}E_p \end{darray}

Ora , para todos os problemas de física ∂Ep∂t=0\frac{\partial E_p}{\partial t} = 0 logo

∂ETotal∂t=v⃗⋅∇⃗Ep+vma\begin{darray}{ll} \frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = \vec{v}\cdot\vec{\nabla}E_p + vma \end{darray}

mas

ma=FG=−∇Ep ,logo ∂ETotal∂t=0\begin{darray}{ll} ma = F_G = -\nabla E_p \text{ ,\quad logo }\quad \frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = 0 \end{darray}

Exemplo 1

Uma pedra foi lançada verticalmente com velocidade viv_i. Calcule a altura máxima que atinge.

Podemos usar a conservação de energia uma vez que estamos apenas a considerar que a única força aplicada no corpo é a força gravítica:

ETotal=const  ⟹  12 m vi2=12 m vf2+mghmax\begin{darray}{ll} E_{Total} = \text{const} \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 + mgh_{max} \end{darray}

como  vf=0 \, v_f = 0 \, então:

12 m vi2=mghmax  ⟺  hmax=vi22g\begin{darray}{ll} \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = mgh_{max} \iff h_{max} = \frac{v_i^2}{2g} \end{darray}

A energia cinética transforma-se em potencial.

Exemplo 2

Uma pedra foi lançada ao ar com velocidade extremamente grande. Qual a velocidade de escape, isto é, a velocidade mínima para chegar ao infinito?

Usamos novamente a conservação de energia considerando apenas a força gravítica como força aplicada à pedra:

ETotal=const  ⟹  12 m vi2−GMTmRT=12 m vf2−GMTmR∞\begin{darray}{ll} E_{Total} = const \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 - \frac{GM_Tm}{R_\infty} \end{darray}

como  1∞=0 \, \frac{1}{\infty} = 0 \, e  vf=0 \, v_f = 0 \, então:

12 m vi2−GMTmRT=0  ⟺  vi2=2GMTRT\begin{darray}{ll} \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = 0 \iff v_i^2 = \frac{2GM_T}{R_T} \end{darray}

Como o raio e massa da Terra são valores conhecidos é possível calcular a velocidade de escape um corpo na Terra  vi⋍11 km/s⁡ \, v_i \backsimeq 11 \,\op{km/s} \,, ignorando a rotação da Terra.

A velocidade de escape de um buraco negro é igual à velocidade da luz.