Cinemática a 2 Dimensões

Anteriormente estudámos o movimento de corpos apenas a uma dimensão. No entanto, vários movimentos precisam mais do que uma dimensão para serem representados, como o lançamento de projéteis, movimentos circulares, etc.

Lançamento de Projéteis

Para introduzir o estudo da cinemática a 2 dimensões, vamos estudar o lançamento de projéteis (i.e. bala disparada de um canhão, chuto de uma bola que faz um "balão", etc).

Na sua generalidade, neste tipo de movimentos temos uma velocidade inicial, oblíqua a ambos os eixos (xx e yy). A única força a atuar no corpo é a força gravítica, atuando apenas na componente vertical da velocidade.
Podem existir variações deste tipo de exercícios em que seja necessário considerar outras forças, mas não é difícil fazer a adaptação do raciocínio abaixo.

Mas o que é isto de componente vertical e componente horizontal? Bem, agora que estamos a trabalhar a mais que uma dimensão, passamos a ter de definir o movimento do corpo segundo dois eixos, xx e yy:

r(t)=(x0+vx,0t+ax2t2)ex+(y0+vy,0t+ay2t2)eyv(t)=(vx,0+axt)ex+(vy,0+ayt)ey\begin{aligned} \vec r(t) &= \left(x_0 + v_{x,0} t + \frac{a_x}{2}t^2\right) \vec e_x + \left(y_0 + v_{y,0} t + \frac{a_y}{2}t^2\right) \vec e_y\\ \vec v(t) &= \left(v_{x,0} + a_x t \right) \vec e_x + \left(v_{y,0} + a_y t \right) \vec e_y \end{aligned}

Escrever a posição e a velocidade com as equações acima permite-nos facilmente estender estes conhecimentos para 3D. No entanto, por simplificação, vamos desdobrar as equações acima:

{x(t)=x0+vx,0t+12axt2y(t)=y0+vy,0t+12ayt2{vx(t)=vx,0+axtvy(t)=vy,0+ayt\begin{darray}{l} \begin{cases} x(t) &= x_0 + v_{x,0} t + \frac{1}{2}a_x t^2\\ y(t) &= y_0 + v_{y,0} t + \frac{1}{2}a_y t^2 \end{cases}\\\\ \begin{cases} v_x(t) &= v_{x,0} + a_x t\\ v_y(t) &= v_{y,0} + a_y t \end{cases} \end{darray}

Este movimento tem as seguintes características:

  • O projétil é lançado com uma velocidade inicial v0v_0, com componentes vx,0v_{x,0} e vy,0v_{y,0} não nulas (se fossem nulas, estaríamos perante um movimento 1D).
  • A única força a atuar no corpo é a força gravítica, pelo que:
    • a=ayey\vec a = a_y \vec e_y - a aceleração apenas tem componente vertical
    • vxconstantev_x \equiv \text{constante} - a velocidade horizontal é constante visto que a aceleração horizontal é nula
  • No ponto mais alto da trajetória, tal como no lançamento vertical, a velocidade vertical, vyv_y, é nula.

Resumo de Propriedades de Lançamento de Projéteis

Vejamos um exemplo, que ilustra melhor este conceito.

Exemplo

Um estudante de engenharia informática está a brincar com uma Nerf, e acidentalmente dispara uma bala. A bala sai da arma a uma altura de 1.5m1.5 \op{m} em relação ao chão e com uma velocidade de 5m/s5 \op{m/s}, que faz θ=60°\theta = 60\degree com o chão. Considerando que a única força que atua no corpo é a força gravítica, g=9.8m/s2g = 9.8 \op{m/s}^2, determine o seguinte:

a) a altura máxima atingida

O primeiro passo é decompor a velocidade inicial na componente horizontal e vertical. Através de trigonometria, obtemos o seguinte:

{vx,0=v0cosθvy,0=v0sinθ    {vx,0=5×cos60°=2.50m/svy,0=5×sin60°=4.33m/s\begin{cases} v_{x,0} &= v_0 \cos \theta\\ v_{y,0} &= v_0 \sin \theta \end{cases} \implies \begin{cases} v_{x,0} &= 5 \times \cos 60\degree &= 2.50 \op{m/s}\\ v_{y,0} &= 5 \times \sin 60\degree &= 4.33 \op{m/s} \end{cases}

Podemos então escrever as equações de movimento, de acordo com os dados do problema:

{x(t)=2.50ty(t)=1.5+4.33t9.82t2{vx(t)=2.50vy(t)=4.339.8t\begin{darray}{l} \begin{cases} x(t) &= 2.50 t\\ y(t) &= 1.5 + 4.33 t - \frac{9.8}{2} t^2 \end{cases}\\\\ \begin{cases} v_x(t) &= 2.50\\ v_y(t) &= 4.33 - 9.8 t \end{cases} \end{darray}

Como já estudámos anteriormente no lançamento vertical, o corpo atinge a altura máxima quando a sua velocidade (vertical) é nula, invertendo o sentido. Então, vamos determinar o instante em que isto acontece.

vy(t)=04.339.8t=0t=0.442sv_y(t) = 0 \Leftrightarrow 4.33 - 9.8 t = 0 \Leftrightarrow t = 0.442 \op{s}

Agora que sabemos em que instante a velocidade vertical é nula, isto é, em que a altura é máxima, basta substitui-lo na equação das posições para sabermos a altura máxima.

y(0.442)=1.5+4.33×0.4429.82×0.4422=3.39my(0.442) = 1.5 + 4.33 \times 0.442 - \frac{9.8}{2} \times 0.442^2 = 3.39 \op{m}

Assim, a altura máxima atingida pela bala é 3.39m3.39 \op{m}.

b) o alcance da bala

A bala embate no chão quando a sua altura é zero. Começamos por determinar o instante em que isto acontece.

y(t)=01.5+4.33t9.82t2=0t=0.266s  t=1.15sy(t) = 0 \Leftrightarrow 1.5 + 4.33 t - \frac{9.8}{2} t^2 = 0 \Leftrightarrow t = -0.266 \op{s}~\lor~t = 1.15 \op{s}

O valor negativo para o tempo não faz sentido no contexto do problema, pelo que o descartamos:

t=0.266s  t=1.15s    t=1.15s\xcancel{t = -0.266 \op{s}}~\lor~t = 1.15 \op{s} \implies t = 1.15 \op{s}

Agora que já sabemos o instante em que a bala embate no chão, podemos obter a posição horizontal da bala neste instante (alcance).

x(1.15)=2.50×1.15=2.88mx(1.15) = 2.50 \times 1.15 = 2.88 \op{m}

Assim, o alcance da bala é 2.88m2.88 \op{m}.

c) a velocidade com que a bala embate no chão pela 1ª vez

Sabendo o instante em que a bala embate no chão, podemos obter ambas as componentes da velocidade quando a bala embate no chão.

{vx(1.15)=2.50m/svy(1.15)=4.339.8×1.15=6.94m/s\begin{cases} v_x(1.15) &= 2.50 \op{m/s}\\ v_y(1.15) &= 4.33 - 9.8 \times 1.15 = -6.94 \op{m/s} \end{cases}

Assim, a velocidade com que a bala embate no chão é:

v=2.50ex6.94ey(m/s)\vec v = 2.50 \vec e_x - 6.94 \vec e_y\quad (\op{m/s})

Coordenadas Polares

Por vezes, especialmente quando estamos a estudar movimentos circulares, pode dar mais jeito usar outro tipo de coordenadas, as coordenadas polares.

Em vez de representarmos a posição (entre outros) de um corpo através da sua posição xx e yy, isto é, por coordenadas cartesianas, utilizamos a sua distância à origem, assim como o ângulo com a mesma.

Ao contrário de nas coordenadas cartesianas, os vetores unitários das coordenadas polares (er\vec e_r e eθ\vec e_\theta) variam de direção ao longo do tempo e da trajetória do ponto:

  • o vetor er\vec e_r aponta da origem para o ponto
  • o vetor eθ\vec e_\theta é perpendicular a er\vec e_r e aponta no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo)

Tal como nas coordenadas cartesianas, os vetores unitários têm módulo 11.

Conversão entre Coordenadas Cartesianas e Polares

Podemos exprimir os vetores unitários das coordenadas polares da seguinte forma:

er=cosθex+sinθeyeθ=sinθex+cosθey\begin{aligned} \vec e_r &= &\cos \theta \vec e_x &+ \sin \theta \vec e_y\\ \vec e_\theta &= &- \sin \theta \vec e_x &+ \cos \theta \vec e_y \end{aligned}

Irá ser-nos útil saber as derivadas destes vetores unitários, para determinarmos a velocidade e aceleração de um corpo.

Visto que θ\theta é uma função θθ(t)\theta \equiv \theta(t), temos de ter atenção quando efetuamos a derivada de er\vec e_r e eθ\vec e_\theta. Para isto, temos de utilizar a derivada da composta.

Assim:

 ⁣der ⁣dt= ⁣dθ ⁣dt ⁣d(cosθex+sinθey) ⁣dt=θ˙(sinθex+cosθey)=θ˙eθ ⁣deθ ⁣dt= ⁣dθ ⁣dt ⁣d(sinθex+cosθey) ⁣dt=θ˙(cosθexsinθey)=θ˙er\begin{aligned} \frac{\d \vec e_r}{\d t} &= \frac{\d \theta}{\d t} \frac{\d \left(\cos \theta \vec e_x + \sin \theta \vec e_y\right)}{\d t}\\ &= \dot \theta \left(- \sin \theta \vec e_x + \cos \theta \vec e_y\right)\\ &= \dot \theta \vec e_\theta\\ \\ \frac{\d \vec e_\theta}{\d t} &= \frac{\d \theta}{\d t} \frac{\d \left(- \sin \theta \vec e_x + \cos \theta \vec e_y\right)}{\d t}\\ &= \dot \theta \left(- \cos \theta \vec e_x - \sin \theta \vec e_y\right)\\ &= - \dot \theta \vec e_r \end{aligned}

Define-se θ˙= ⁣dθ ⁣dt\dot \theta = \frac{\d \theta}{\d t} e θ¨= ⁣d2θ ⁣dt2\ddot \theta = \frac{\d^2 \theta}{\d t^2} para simplificar a notação.

Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas Polares

Agora que sabemos derivar os vetores unitários ere_r e eθe_\theta, podemos escrever as expressões da posição, velocidade e aceleração neste sistema de coordenadas.

Posição:

O corpo está a uma distância rr(t)r \equiv r(t) da origem. Visto que o vetor unitário er\vec e_r tem direção da origem para a posição do corpo, podemos escrever a posição do corpo na forma:

r(t)=rer\vec r(t) = \smartcolor{green}{r \vec e_r}

Velocidade:

Como já sabemos, a velocidade é a derivada da posição. Então, pela derivada do produto e considerando rr(t)r \equiv r(t),

v(t)= ⁣dr ⁣dt= ⁣drer ⁣dt= ⁣dr ⁣dter+r ⁣der ⁣dt=r˙er+rθ˙eθ\begin{aligned} \vec v(t) &= \frac{\d \vec r}{\d t}\\ &= \frac{\d r \vec e_r}{\d t}\\ &= \frac{\d r}{\d t} \vec e_r + r \frac{\d \vec e_r}{\d t}\\ &= \smartcolor{pink}{\dot r \vec e_r + r \dot \theta \vec e_\theta} \end{aligned}

É importante então realçar que cada componente da velocidade tem um significado:

  • velocidade normal: é normal à trajetória
  • velocidade tangencial: é tangencial à trajetória

Assim,

v=r˙ervelocidade normal+rθ˙eθvelocidade tangencial\vec v = \smartcolor{orange}{\underbrace{\dot r \vec e_r}_{\text{velocidade normal}}} + \smartcolor{yellow}{\underbrace{r \dot \theta \vec e_\theta}_{\text{velocidade tangencial}}}

Aceleração:

Finalmente, sabemos também que a aceleração é a derivada da velocidade. Então, novamente pela derivada do produto e considerando rr(t)r \equiv r(t),

a(t)= ⁣dv ⁣dt=(r¨er+r˙er˙)+(r˙θ˙eθ+rθ¨eθ+rθeθ˙)=(r¨rθ˙2)er+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{\d \vec v}{\d t}\\ &= \left(\ddot r \vec e_r + \dot r \dot{\vec e_r}\right) + \left(\dot r \dot \theta \vec e_\theta + r \ddot \theta \vec e_\theta + r \theta \dot{\vec e_\theta}\right)\\ &= \smartcolor{purple}{\left(\ddot r - r \dot \theta^2 \right) \vec e_r + \left(r \ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta\right) \vec e_\theta} \end{aligned}

Tal como na velocidade, vamos ter também duas componentes para a aceleração:

  • aceleração normal: é normal à trajetória
    • influencia a direção do vetor velocidade
  • aceleração tangencial: é tangencial à trajetória
    • influencia a norma (magnitude) do vetor velocidade

Assim,

a=(r¨rθ˙2)eracelerac¸a˜o normal+(rθ¨+2r˙θ˙)eθacelerac¸a˜o tangencial\vec a = \smartcolor{orange}{\underbrace{\left(\ddot r - r \dot \theta^2 \right) \vec e_r}_{\text{aceleração normal}}} + \smartcolor{yellow}{\underbrace{\left(r \ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta\right) \vec e_\theta}_{\text{aceleração tangencial}}}

Movimento Circular de Raio Constante

Num movimento circular com raio constante, temos uma simplificação das equações acima, visto que r˙=r¨=0\dot r = \ddot r = 0.

Deste modo, ficamos com

v=r˙ervelocidade normal+rθ˙eθvelocidade tangencial=rθ˙eθa=(r¨rθ˙2)eracelerac¸a˜o normal+(rθ¨+2r˙θ˙)eθacelerac¸a˜o tangencial=rθ˙2er+rθ¨eθ\begin{aligned} \vec v &= \smartcolor{orange}{\underbrace{\xcancel{\dot r \vec e_r}}_{\text{velocidade normal}}} + \smartcolor{yellow}{\underbrace{r \dot \theta \vec e_\theta}_{\text{velocidade tangencial}}} &&= r \dot \theta \vec e_\theta\\ \\ \vec a &= \smartcolor{orange}{\underbrace{\left(\xcancel{\ddot r} - r \dot \theta^2 \right) \vec e_r}_{\text{aceleração normal}}} + \smartcolor{yellow}{\underbrace{\left(r \ddot \theta + \xcancel{2 \dot r \dot \theta} \right) \vec e_\theta}_{\text{aceleração tangencial}}} &&= - r \dot \theta^2 \vec e_r + r \ddot \theta \vec e_\theta \end{aligned}

Podemos reparar que num movimento circular, a velocidade é sempre tangencial à trajetória.

Velocidade Angular

A velocidade angular é a variação do ângulo θ\theta por segundo. A sua unidade SI é s1\op{s}^{-1} e é dada por

ω= ⁣dθ ⁣dt\omega = \frac{\d \theta}{\d t}

Sabemos também que v=rωv = r\omega.

Comparando a representação de um movimento circular em coordenadas cartesianas e coordenadas polares, considerando r(t)Rr(t) \equiv R, temos:

Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares
Posição r=Rcosθex+Rsinθey\vec r = R \cos \theta \vec e_x + R \sin \theta \vec e_y r=Rer\vec r = R \vec e_r
Velocidade v=Rθ˙(sinθex+cosθey)\vec v = R \dot \theta \left(-\sin \theta \vec e_x + \cos \theta \vec e_y\right) v=Rθ˙eθ=Rωeθ\vec v = R \dot \theta \vec e_\theta = R \omega \vec e_\theta

Podemos concluir que utilizar coordenadas polares em movimentos circulares simplifica bastante o seu estudo.

Aceleração Angular

A velocidade angular é a variação da velocidade angular ω\omega por segundo. A sua unidade SI é s2\op{s}^{-2} e é dada por

γ= ⁣dω ⁣dt\gamma = \frac{\d \omega}{\d t}

Estudando mais atentamente o comportamento da aceleração neste movimento, podemos obter o seguinte:

aT=Rθ¨=Rω˙=RγVariac¸a˜o do moˊdulo da velocidadeaN=Rθ˙2=Rω2=v2RVariac¸a˜o da direc¸a˜o da velocidade\begin{darray}{ll} a_T = R \ddot \theta = R \dot \omega = R \gamma & \text{Variação do módulo da velocidade}\\ a_N = -R \dot \theta^2 = -R \omega^2 = -\frac{v^2}{R} & \text{Variação da direção da velocidade} \end{darray}

Casos Particulares

  • Caso ω=constante\omega = \text{constante}, temos que ω˙=γ=0    aT=0\dot \omega = \gamma = 0 \implies a_T = 0, pelo que estamos perante um movimento circular uniforme.

    Neste caso, aNa_N é constante, normal e centrípeta (aponta para o "centro" da trajetória).

    O período da trajetória é T=2πω(s)T = \frac{2\pi}{\omega} \quad (\op{s}).

  • Caso RR \to \infty, estamos perante um movimento retilíneo, visto que

    aN=v2R0a_N = -\frac{v^2}{R} \to 0

    pelo que a direção da velocidade nunca se altera.