Conceitos a Relembrar (CDI-II)

Campo

Um campo (ϕ\phi) é uma zona do espaço em que em cada ponto está definida uma quantidade.

Essa quantidade pode ser escalar ou vetorial.

Por exemplo, o campo gravítico é um campo vetorial (ϕ:R3R3\vec \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3):

ϕ(r)=GMr2er\vec\phi (\vec r) = -G\cfrac{M}{r^2} \vec e_r

Operadores

Campos Escalares

Para saber como um campo escalar varia com a posição temos de calcular o seu Gradiente

ϕ(r)=ϕx1e1+ϕx2e2+ϕx3e3=i=13ϕxiei=(ϕx1,ϕx2,ϕx3)\vec\nabla \phi(\vec r) = \cfrac{\partial \phi}{\partial x_1}\vec e_1 + \cfrac{\partial \phi}{\partial x_2}\vec e_2 + \cfrac{\partial \phi}{\partial x_3}\vec e_3 = \sum\limits_{i =1}^{3} \dfrac {\partial \phi}{\partial x_i}\vec e_i = (\frac{\partial \phi}{\partial x_1}, \frac{\partial \phi}{\partial x_2}, \frac{\partial \phi}{\partial x_3})

Geometricamente a maior variação de ϕ\phi ocorre quando ϕ\vec\nabla \phi é paralelo a dld \vec l, para dl|d\vec l| fixo.

dϕ=i=13ϕxidxi=ϕdl=ϕ dl cos(ϕ,dl)d \phi = \sum\limits_{i =1}^{3} \dfrac {\partial \phi}{\partial x_i} dx_i = \vec\nabla \phi \cdot d \vec l = |\vec\nabla \phi| \ |d \vec l|\ \cos(\vec\nabla \phi,d \vec l)

ϕ\vec\nabla \phi aponta na direção da máxima variação de ϕ\phi;
O módulo de ϕ\vec\nabla \phi fornece a taxa de variação ao longo desta direção.

Campos Vetoriais

O operador \vec \nabla funciona como um vetor, com =i=1nxiei\vec \nabla = \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\vec{e_i}

Se a quantidade (ϕ(r)\vec\phi(\vec r)) for um vetor podemos realizar 2 operações com o gradiente (\vec\nabla)

Divergência (Produto Escalar)

ϕ(r)=i=13ϕixi\vec\nabla \cdot \phi(\vec r) = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \phi_i}{\partial x_i}

O resultado será um número.

Rotacional (Produto Externo)

×ϕ(r)=(ϕ2x3ϕ3x2,ϕ3x1ϕ1x3,ϕ1x2ϕ2x1)\vec\nabla \times \phi(\vec r) = (\frac{\partial \phi_2}{\partial x_3} - \frac{\partial \phi_3}{\partial x_2}, \frac{\partial \phi_3}{\partial x_1} - \frac{\partial \phi_1}{\partial x_3}, \frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1})

O resultado será um (pseudo-)vetor, isto porque para dois vetores a\vec a e b\vec b, o rotacional de a×b\vec a \times \vec b vai ser igual ao rotacional de a×b- \vec a \times - \vec b

Exemplo de Campos

Campo Uniforme

Uniforme

Para ϕi\phi _i constantes:

ϕ(r)=i=13ϕiei=(ϕ1,ϕ2,ϕ3)ϕ(r)=0×ϕ(r)=0\begin{darray}{c} \phi(\vec r) = \sum\limits_{i =1}^{3} \phi_i \vec e_i = (\phi_1, \phi_2, \phi_3)\\ \vec\nabla \cdot \phi(\vec r) = 0\\ \vec\nabla \times \phi(\vec r) = 0 \end{darray}

Campo Radial

Radial

Com AA constante:

ϕ(r)=i=13Axiei=(Ax1,Ax2,Ax3)ϕ(r)=3A×ϕ(r)=0\begin{darray}{c} \phi(\vec r) = \sum\limits_{i =1}^{3} Ax_i \vec e_i = (Ax_1, Ax_2, Ax_3)\\ \vec\nabla \cdot \phi(\vec r) = 3A\\ \vec\nabla \times \phi(\vec r) = 0 \end{darray}

Campo Rotacional

Rotacional

Com ϕ1(r)=x2x3, ϕ2(r)=x1x3, ϕ3(r)=0\phi _1(\vec r) = \cfrac{x_2}{x_3},\ \phi _2(\vec r) = -\cfrac{x_1}{x_3},\ \phi _3(\vec r) = 0:

ϕ(r)=i=13ϕi(r)ei=(x2x3,x1x3,0)\phi(\vec r) = \sum\limits_{i =1}^{3} \phi_i (\vec r) \vec e_i = (\frac{x_2}{x_3}, -\frac{x_1}{x_3}, 0)
ϕ(r)=0×ϕ(r)=x1e1+x2e2+x3e3x32\begin{darray}{c} \vec\nabla \cdot \phi(\vec r) = 0 && \vec\nabla \times \phi(\vec r) = - \cfrac{x_1\vec e_1 + x_2\vec e_2+ x_3\vec e_3 }{x_3 ^2} \end{darray}

Linhas de Campo

Linhas de campo

Uma linha de campo é uma curva tal que em cada ponto o campo é tangente à curva.
Dirigem-se de (+ \rightarrow - ). As linhas de campo não se podem cruzar.

Função δ\delta de Dirac

A função de Dirac é uma função que em que é nula em todo o seu domínio exceto num único ponto em que tem o valor infinito.

δ(xa)={0, se xa, se x=a\delta (x-a) = \begin{cases} 0,\text{ se }x \neq a\\ \infty ,\text{ se }x = a \end{cases}
δ(xa) ⁣dx=1\int^\infty_{-\infty} \delta (x-a) \d x = 1

Teorema de Helmholtz

Se tivermos um campo ϕ\vec \phi :

ϕ=f,\vec \nabla \cdot \vec \phi = f,
×ϕ=Θ,(    Θ=0)\vec \nabla \times \vec \phi = \vec \Theta, (\implies \vec \nabla \cdot \vec \Theta = 0)

em que ff é uma função escalar e Θ\vec \Theta uma função vetorial.

É impossível calcular ϕ\vec \phi, a menos que nos sejam fornecidas as condições de fronteira. Isto corresponde a como os campos se comportam longe de todas as cargas (no \infty)

Potencial Escalar

Se ×ϕ=0\vec \nabla \times \vec \phi = 0 então:

ϕ=V\vec \phi = - \vec\nabla V

Onde VV é o potencial escalar.

Assim, ABϕ ⁣dr\int^B_A \vec \phi \d \vec r entre os pontos AA e BB não depende do caminho e num caminho fechado o valor é sempre 0.

Potencial Vetorial

Se ϕ=0\vec \nabla \cdot \vec \phi = 0 então:

ϕ=×A\vec \phi = \vec\nabla \times \vec A

Onde A\vec A é o potencial vetorial.

Assim, ϕ ⁣dS\int \vec \phi \d\vec S para superfícies fechadas com a mesma fronteira e numa superfície fechada o valor é sempre 0.

Qualquer campo pode ser escrito na forma ϕ=V+×A\vec \phi = - \vec\nabla V + \vec\nabla \times \vec A


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