Transformada de Laplace

Definição de Transformada de Laplace

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Esta primeira parte não é particularmente útil para a maioria dos exercícios, mas pode dar jeito para deduzir algumas expressões não frequentemente utilizadas e em exercícios mais complicados.

Seja f:[0,+[Rf: [0, +\infty[ \to \R. Define-se a Transformada de Laplace de ff como sendo a função de variável complexa

L{f}(s)=F(s)=0+f(t) est ⁣dt\lapt{f} (s) = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) \ e^{-st} \d t

Domínio da Transformada de Laplace

Se a função ff for seccionalmente contínua em qualquer [0,T][0, T] com TR+T \in \R^+ e verificar

f(t)Meαt,t0|f(t)| \leq M e^{\alpha t} \quad,\quad \forall t \geq 0

para certas constantes M>0M >0 e αR\alpha \in \R, então a transformada de Laplace de ff está bem definida no semi-plano complexo Res>α\operatorname{Re} s > \alpha.

Demonstração

Para qualquer t>0t > 0 e sCs \in \C tal que Res>ααRes<0\operatorname{Re} s > \alpha \Leftrightarrow \alpha - \operatorname{Re} s < 0:

estf(t)=e(Res)tei(Ims)tf(t)e(Res)tMeαt=Me(αRes)t\left|e^{-st} f(t) \right| = \left| e^{(-\operatorname{Re} s)t}\right| \left| e^{-i(\operatorname{Im} s)t} \right| \left| f(t) \right | \leq e^{(-\operatorname{Re} s) t} M e^{\alpha t} = M e^{(\alpha - \operatorname{Re}s)t}

Então, para Res>α\operatorname{Re} s > \alpha:

0+estf(t) ⁣dt0+Me(αRes)t ⁣dt=MlimR+e(αRes)tαRes0R=MResα\left| \int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t) \d t \right| \leq \int_{0}^{+\infty} M e^{(\alpha - \operatorname{Re}s)t} \d t = M \lim_{R \to +\infty} \frac{e^{(\alpha -\operatorname{Re}s)t}}{\alpha-\operatorname{Re}s} \bigg|^R_0 = \frac{M}{\operatorname{Re}s-\alpha}

info

Sendo f(t)=eat,aRf(t) = e^{at}, a \in \R, (ou aCa \in \C) tem-se que

L{eat}(s)=0+eatest ⁣dt=limR+e(as)tast=0R=1sa,Res>a\lapt{e^{at}} (s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} \d t = \lim_{R \to +\infty} \frac{e^{(a-s)t}}{a-s} \bigg |^R_{t=0} = \frac{1}{s-a}, \quad \operatorname{Re} s > a

Como caso particular

L{1}(s)=L{e0t}(s)=1s,Res>0\lapt{1}(s) = \lapt{e^{0t}} (s) = \frac{1}{s} , \operatorname{Re}s > 0

Função de Heaviside

Tal como já tínhamos visto em CDI-I, a função Heaviside (centrada em cc) é definida por:

Hc(t)={0set<c1setcH_c(t) = \begin{cases} 0 & \text{se} & t < c\\ 1 & \text{se} & t \geq c \end{cases}

Exemplo

Transformada de Laplace da função de Heaviside

Se c0c \geq 0

L{Hc(t)}(s)=0+H(tc)ets ⁣dt=c+ets ⁣dt=limN+etsscN=ecss,Res>0\lapt{H_c(t)}(s) = \int_{0}^{+\infty} H(t-c)e^{-ts} \d t = \int_{c}^{+\infty} e^{-ts} \d t = \lim_{N\to +\infty} -\frac{e^{-ts}}{s} \bigg|^N_c = \frac{e^{-cs}}{s}, \operatorname{Re} s > 0

Propriedades Elementares da Transformada de Laplace

  • Linearidade

    L{f+g}(s)=L{f}(s)+L{g}(s)\lapt{f+g} (s) = \lapt{f} (s) + \lapt{g}(s)

    e para αR\alpha \in \R

    L{αf}(s)=αL{f}(s)\lapt{\alpha f}(s) = \alpha \lapt{f}(s)

    Consequentemente, para α,βR\alpha,\beta \in \R:

    L{αf+βg}(s)=αL{f}(s)+βL{g}(s)\lapt{\alpha f + \beta g}(s) = \alpha \lapt{f}(s) + \beta \lapt{g}(s)
  • Translação da Transformada de Laplace

    Para aRa \in \R,

    L{eatf(t)}(s)=L{f(t)}(s+a)\lapt{e^{-at} f(t)} (s) = \lapt{f(t) } (s+a)
  • Derivada da Transformada de Laplace

    Para nNn \in \N,

     ⁣dn ⁣dsn(L{f(t)}(s))=(1)nL{tnf(t)}(s)\frac{\d^n}{\d s^n} \left(\lapt{f(t)} (s) \right) = (-1)^n \lapt{t^n f(t)}(s)
  • Transformada de Laplace da Translação

    Para cR+c \in \R^+,

    L{H(tc)f(tc)}(s)=ecsL{f(t)}(s)\lapt{H(t-c) f(t-c)}(s ) = e^{-cs} \lapt{f(t)} (s)
  • Transformada de Laplace da Derivada

    Se ff admite derivada seccionalmente contínua em [0,+[[0, +\infty[ e Res>0\operatorname{Re} s > 0 então,

    L{f(t)}(s)=f(0)+sL{f(t)}(s)\lapt{f'(t)}(s) = - f(0) + s\lapt{f(t)}(s)

    E para uma derivada de ordem nn,

    L{f(n)(t)}(s)=f(n1)(0)sf(n2)(0)sn1f(0)+snL{f(t)}(s)\lapt{f^{(n)}(t)}(s) = -f^{(n-1)}(0) - sf^{(n-2)}(0) - \dots - s^{n-1} f(0) + s^n \lapt{f(t)}(s)

Transformada de Laplace de Funções Comuns

Através da definição e propriedades, é possível obter as Transformadas de Laplace de várias funções comuns.

Uma tabela pode ser encontrada na Cheat Sheet.

Inversa da Transformada de Laplace

Para mais tarde conseguirmos resolver equações diferenciais através da Transformada de Laplace, necessitamos de conseguir inverter a transformação de Laplace.
Tal como fizemos com primitivas em CDI-I, este método requer conhecer as funções mais comuns.

f(t)=L1{F(s)}L{f(t)}=F(s)f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} \Leftrightarrow \lapt{f(t)} = F(s)

Vejamos alguns exemplos

Exemplo

Calcule a inversa da Transformada de Laplace da seguinte função

F(s)=1s2+4s+5F(s) = \frac{1}{s^2+4s+5}

Podemos reescrever a função numa forma que corresponde a uma transformada conhecida:

F(s)=1s2+4s+5=1(s+2)2+1F(s) = \frac{1}{s^2+4s+5} = \frac{1}{(s+2)^2 + 1}

Facilmente conseguimos reconhecer a transformada de eatsin(ωt)e^{at} \sin(\omega t), pelo que:

F(s)=1(s+2)2+1=L{e2tsint}F(s) = \frac{1}{(s+2)^2 + 1} = \lapt{e^{-2t} \sin t}

E, finalmente, obtemos a inversa:

f(t)=e2tsintf(t) = e^{-2t} \sin t
Exemplos Variados

Exemplo 1

Algo que pode acontecer é aparecer um termo ease^{as} na transformada. Se tal acontecer, o mais provável é ser necessário utilizar a função de Heaviside.

Calcule a inversa da Transformada de Laplace da seguinte função

F(s)=e3ss+3F(s) = \frac{e^{-3s}}{s+3}

Podemos reparar na existência da transformada de eate^{at}, pelo que:

F(s)=e3s×1s+3=e3sL{e3t}F(s) = e^{-3s} \times \frac{1}{s+3} = e^{-3s} \lapt{e^{-3t}}

Se relembrarmos a propriedade da Transformada de Laplace da Translação, reparamos que temos de usar a função de Heaviside.

F(s)=e3sL{e3t}=L{H(t3)e3(t3)}F(s) = e^{-3s} \lapt{e^{-3t}} = \lapt{H(t-3) e^{-3(t-3)}}

Pelo que a inversa é:

f(t)=H(t3)e3(t3)f(t) = H(t-3) e^{-3(t-3)}

Exemplo 2

Pode ser necessário aplicar o método da decomposição em frações simples, aprendido em CDI-I, de forma a conseguirmos identificar certas expressões.

Calcule a inversa da Transformada de Laplace da seguinte função

F(s)=1s3+2s2+sF(s) = \frac{1}{s^3+2s^2+s}

Podemos começar por fatorizar o denominador:

F(s)=1s(s+1)2F(s) = \frac{1}{s(s+1)^2}

Aplicado agora o método da decomposição em frações simples, omitido aqui para brevidade, obtermos

F(s)=1s(s+1)2=1s1s+11(s+1)2F(s) = \frac{1}{s(s+1)^2} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} - \frac{1}{(s+1)^2}

Assim, identificamos as transformadas de 11, eate^{at} e tneatt^n e^{at}, pelo que:

F(s)=L{1}L{et}L{tet}=L{1ettet}\begin{aligned} F(s) &= \lapt{1} - \lapt{e^{-t}} - \lapt{te^{-t}}\\ &= \lapt{1-e^{-t}-te^{-t}} \end{aligned}

Pelo que a inversa é:

f(t)=1ettetf(t) = 1-e^{-t}-te^{-t}

Aplicação da Transformada de Laplace às Equações Diferenciais

É possível resolver problemas de valor inicial (PVI) para uma equação linear de ordem nn, de coeficientes constantes, através da Transformada de Laplace. Para se aplicar este método, a equação diferencial tem de ser do tipo:

{yn+an1y(n1)++a1y+a0y=b(t)y(0)=b0y(0)=b1y(n1)(0)=bn1\begin{cases} y^n + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = b(t)\\ y(0) = b_0\\ y'(0) = b_1\\ \quad \vdots\\ y^{(n-1)}(0) = b_{n-1} \end{cases}

Este método consiste nos seguintes passos:

  1. Aplicar a Transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial do problema:

    L{yn+an1y(n1)++a1y+a0y}(s)=L{b(t)}(s)\lapt{y^n + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y}(s) = \lapt{b(t)}(s)
  2. Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, determinar Y(s)Y(s), sendo que

    Y(s)=L{y(s)}Y(s) = \lapt{y(s)}
  3. Finalmente, determinar a função y(t)y(t) tal que

    L{y(t)}(s)=Y(s)\lapt{y(t)}(s) = Y(s)

    ou seja,

    y(t)=L1{Y(s)}(t)y(t) = \mathcal{L}^{-1} \{Y(s)\}(t)

    Diz-se que y(t)y(t) é a Transformada de Laplace inversa de Y(t)Y(t).

Assim, obtém-se a solução y(t)y(t) do PVI.

Exemplo

Resolva o seguinte problema de valor inicial

y2y+y=t5et,y(0)=1,y(0)=3y'' - 2y' + y = t^5 e^t, y(0) = 1, y'(0) = 3
  1. Começamos por calcular a Transformada de Laplace de ambos os membros da equação.

    L{y}2L{y}+L{y}=L{t5et}\lapt{y''} - 2\lapt{y'} + \lapt{y} = \lapt{t^5 e^t}
  2. Queremos agora descobrir Y(s)=L{y}Y(s) = \lapt{y}, pelo que continuamos a desenvolver a expressão acima, até isolarmos o termo Y(s)Y(s).

    s2Y(s)sy(0)y(0)2(sY(s)y(0))+Y(s)=5!(s1)6(s22s+1)Y(s)sy(0)y(0)+2y(0)=5!(s1)6(s1)2Ys1=5!(s1)6Y(s)=s+1(s1)2+5!(s1)8\begin{aligned} s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2(s Y(s) - y(0)) + Y(s) &= \frac{5!}{(s-1)^6}\\ (s^2 - 2s + 1) Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2y(0) &= \frac{5!}{(s-1)^6}\\ (s-1)^2 Y - s - 1 &= \frac{5!}{(s-1)^6}\\ Y(s) &= \frac{s+1}{(s-1)^2} + \frac{5!}{(s-1)^8}\\ \end{aligned}
  3. Finalmente, temos de calcular a inversa da Transformada de Laplace de Y(s)Y(s):

    Y(s)=s1+2(s1)2+5!7!7!(s1)8=1s1+2(s1)2+17×67!(s1)8=L{et+2tet+142t7et}\begin{aligned} Y(s) &= \frac{s-1+2}{(s-1)^2} + \frac{5!}{7!}\frac{7!}{(s-1)^8}\\ &= \frac{1}{s-1} + \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{1}{7 \times 6} \frac{7!}{(s-1)^8}\\ &= \mathcal{L} \{e^t + 2 te^t + \frac{1}{42} t^7 e^t\} \end{aligned}

Então, a solução geral da equação é

y(t)=et+2tet+t742et=(1+2t+t742)ety(t) = e^t + 2te^t + \frac{t^7}{42} e^t = (1+2t + \frac{t^7}{42}) e^t
Exemplos

Resolva o seguinte problema de valor inicial

y2y+y={etse 0t<1etse 0ty(0)=y(0)=0\begin{array}{c} y'' - 2y' + y = \begin{cases} e^t &\text{se } 0 \leq t < 1\\ -e^t &\text{se } 0 \leq t \end{cases} & y(0) = y'(0) = 0 \end{array}

Antes de começarmos a aplicar o método de resolução, temos de converter o "membro direito" da equação numa expressão única. Para isso, podemos usar a função Heaviside, pelo que obtemos

{etse 0t<1etse 0t=et2etH(t1)\begin{cases} e^t &\text{se } 0 \leq t < 1\\ -e^t &\text{se } 0 \leq t \end{cases} = e^t - 2e^t H(t-1)

Ficamos assim com a equação:

y2y+y=et2etH(t1)y'' - 2y' + y = e^t - 2e^t H(t-1)
  1. Começamos por calcular a Transformada de Laplace de ambos os membros.

    L{y}2L{y}+L{y}=L{et}2L{etH(t1)}\lapt{y''} -2 \lapt{y'} + \lapt{y} = \lapt{e^t} - 2 \lapt{e^t H(t-1)}
  2. Queremos agora descobrir Y(s)=L{y}Y(s) = \lapt{y}, pelo que continuamos a desenvolver a expressão acima, até isolarmos o termo Y(s)Y(s).

s2Y(s)sy(0)y(0)2s(Y(s)y(0))+Y(s)=1s1+2eL{et1H(t1)}(s22s+1)Y(s)=1s12e×es×1s1Y(s)=1(s1)3e×es2(s1)3\begin{aligned} s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2s (Y(s) - y(0)) + Y(s) &= \frac{1}{s-1} + 2e \mathcal{L} \{e^{t-1} H(t-1)\}\\ (s^2 - 2s + 1) Y(s) &= \frac{1}{s-1} - 2e \times e^{-s} \times \frac{1}{s-1}\\ Y(s) &= \frac{1}{(s-1)^3} - e\times e^{-s} \frac{2}{(s-1)^3}\\ \end{aligned}
  1. Finalmente, temos de calcular a inversa da Transformada de Laplace de Y(s)Y(s):

    Y(s)=12L{t2et}e×esL{t2et}Y(s)=12L{t2et}eL{(t1)2et1H(t1)}Y(s)=L{t22ete(t1)2et1H(t1)}\begin{aligned} Y(s) &= \frac{1}{2} \mathcal{L} \{t^2 e^t \} - e \times e^{-s} \mathcal{L} \{t^2 e^t\}\\ Y(s) &= \frac{1}{2} \mathcal{L} \{t^2 e^t \} - e \mathcal{L} \{(t-1)^2 e^{t-1} H(t-1)\}\\ Y(s) &= \lapt{\frac{t^2}{2} e^t - e (t-1)^2 e^{t-1} H(t-1)} \end{aligned}

Então, a solução geral da equação é:

y(t)=t22ete(t1)2et1H(t1)y(t)=(t22H(t1)(t1)2)et\begin{aligned} y(t) &= \frac{t^2}{2}e^t - e(t-1)^2 e^{t-1} H(t-1)\\ y(t) &= \left(\frac{t^2}{2} - H(t-1) (t-1)^2\right) e^t \end{aligned}

Opcionalmente, podemos dividir em dois casos para remover a função de Heaviside:

y(t)={t22etse 0t<1(t22(t1)2)etse t1y(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{2} e^t & \text{se } 0 \leq t < 1\\ \left(\frac{t^2}{2} - (t-1)^2\right) e^t & \text{se } t \geq 1 \end{cases}

Distribuição Delta de Dirac

A delta de Dirac é a distribuição que verifica

δ(t)=0tR\{0}\begin{darray}{c} \delta(t) = 0 & \forall t \in \R \backslash \{0\} \end{darray}
+δ(x) ⁣dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \d x = 1

Se ff é contínua em t=0t=0, então existe a propriedade:

+δ(t)f(t) ⁣dt=f(0)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) f(t) \d t = f(0)

Mais genericamente, podemos definir a distribuição delta de Dirac centrada num dado cRc \in \R por:

δc(t)=δ(tc)\delta_c(t) = \delta(t-c)

A distribuição δc(t)\delta_c(t) verifica, então:

  • δc(t)=0\delta_c(t) = 0 para qualquer tR\{c}t \in \R \backslash \{c\}

  • +δc(t) ⁣dt=1\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_c(t) \d t = 1

  • Se ff é contínua em cc então +δc(t)f(t) ⁣dt=f(c)\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_c(t)f(t) \d t = f(c)

Desta forma, obtemos a Transformada de Laplace da delta de Dirac:

Transformada de Laplace da Delta de Dirac

L{δc(t)}=+δc(t)est ⁣dt=ecs\lapt{\delta_c(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_c(t)e^{-st} \d t = e^{-cs}
Exemplo

Resolva o seguinte problema de valor inicial

y+2y+y=2δ(t2)y(0)=y(0)=0\begin{darray}{c} y'' + 2y' + y = 2\delta(t-2) & y(0) = y'(0) = 0 \end{darray}
  1. Começamos por calcular a Transformada de Laplace de ambos os membros.

    L{y+2y+y}=L{2δ(t2)}\lapt{y''+2y'+y} = \lapt{2\delta(t - 2)}
  2. Queremos agora descobrir Y(s)=L{y}Y(s) = \lapt{y}, pelo que continuamos a desenvolver a expressão acima, até isolarmos o termo Y(s)Y(s).

    y(0)sy(0)+s2Y(s)+2(y(0)+sY(s))+Y(s)=2e2s(s2+2s+1)Y(s)=2e2sY(s)=e2s2(s+1)2\begin{aligned} -y'(0) - sy(0) + s^2 Y(s) + 2(-y(0) + sY(s)) + Y(s) &= 2e^{-2s}\\ (s^2+2s+1)Y(s) &= 2e^{-2s}\\ Y(s) &= e^{-2s} \frac{2}{(s+1)^2} \end{aligned}
  3. Finalmente, temos de calcular a inversa da Transformada de Laplace de Y(s)Y(s):

    Y(s)=e2sL{2tet}=L{2H(t2)(t2)e(t2)}\begin{aligned} Y(s) &= e^{-2s} \lapt{2te^t}\\ &= \lapt{2H(t-2)(t-2)e^{-(t-2)}} \end{aligned}

Então, a solução geral da equação é

y(t)=2H(t2)(t2)e(t2)y(t) = 2H(t-2)(t-2)e^{-(t-2)}