Continuidade

Definição

Função contínua num ponto: Sejam DfRD_f\subset\R um conjunto não vazio, f:DfRf : D_f \rightarrow \R uma função real de variável real e aDfa\in D_f. Diz-se que ff é contínua em aa se para qualquer distância RR+R \in \R^+ existe uma outra distância rR+r \in \R^+ tal que

xVr(a)Dff(x)VR(f(a))x\in V_r(a)\cap D_f\Rightarrow f(x)\in V_R(f(a))

A mesma definição pode ser escrita xa<rxDff(x)f(a)<R|x-a|<r\land x\in D_f\Rightarrow |f(x)-f(a)|<R.

Também pode ser escrita na forma f(Vr(a)Df)Vr(f(a))f(V_r(a)\cap D_f)\subset V_r(f(a)).

Uma função ff é contínua num ponto aa do seu domínio se e só se fVr(a)f\big|_{V_r(a)} é contínua em aa, para algum rR+r\in\R^+.

No PDF da aula 9 em anexo, páginas 12 e 13, encontram-se alguns exemplos de continuidade.

Continuidade Pontual

Função Heaviside

Esta função modela o comportamento de um interruptor, definida por:

H:RR,H(x)={1sex>012sex=00sex<0H:\R\rightarrow\R\quad,\quad H(x)=\begin{cases} 1 &\text{se}&x>0\\ \frac 1 2 &\text{se}&x=0\\ 0 &\text{se}&x<0\\ \end{cases}

Função Heaviside

Começa-se por estudar a continuidade em R\{0}\R \backslash \{0\}. Como a função é constante em x>0x>0 e x < 0x~<~0, podemos assumir uma vizinhança de raio menor que o valor absoluto de x0x_0 (isto é, r<x0r < |x_0|). Desta forma, todos os valores na vizinhança vão ser iguais a H(x0)H(x_0) (isto é, de valor 1 para x0>0x_0>0 e valor 0 para x<0x < 0). Logo, a função é contínua em R\{0}\R\backslash\{0\}.

Estudando agora a continuidade em x=12x=\frac 1 2, podemos concluir que, considerando R=12R=\frac 1 2, não existe nenhum ponto de xR\{0}x\in\R\backslash\{0\} tal que H(x)VR(f(0))H(x)\in V_R(f(0)), e portanto, não pode existir nenhum rR+r\in\R^+ tal que xVr(0)H(x)VR(f(0))x\in V_r(0)\Rightarrow H(x)\in V_R(f(0)). Concluímos assim que HH não é contínua em 0.

Função de Dirichlet

A função de Dirichlet é definida por:

D:RR,H(x)={1sexR\Q0sexQD:\R\rightarrow\R\quad,\quad H(x)=\begin{cases} 1 &\text{se}&x\in\R\backslash\mathbb Q\\ 0 &\text{se}&x\in \mathbb Q\\ \end{cases}

Não é possível desenhar o gráfico desta função, visto que o seu aspeto seria o de duas retas paralelas devido à densidade dos racionais e irracionais em R\R, mas este é definido por:

{(x,0):xQ}{(x,1):xR\Q}\{(x,0):x\in\mathbb Q\}\cup\{(x,1):x\in\R\backslash\mathbb Q\}

Para estudar a continuidade, considera-se um qualquer x0Rx_0\in\R e R=12R=\frac 1 2. Para qualquer rR+r\in\R^+,

f(Vr(x0))VR(f(x0))ef(Vr(x0))(R\VR(f(x0)))f(V_r(x_0))\cap V_R(f(x_0))\ne\empty\quad\text{e}\quad f(V_r(x_0))\cap(\R\backslash V_R(f(x_0)))\ne\empty

e então a função DD não é contínua em x0x_0.

Conclui-se assim que a função de Dirichlet é descontínuia em todos os pontos de R\R.

Função Seno

Para estudar a continuidade da função seno, definida por:

f:RR,f(x)=sinxf:\R\rightarrow \R\quad,\quad f(x)=\sin x

podemos considerar um x0Rx_0\in\R.

A função ff é contínua em x0x_0 se for possível, para cada RR+R\in\R⁺, determinar um rR+r\in\R⁺ tal que xVr(x0)sinxVR(sinx0)x\in V_r(x_0)\Rightarrow\sin x \in V_R(\sin x_0).

Esta implicação é equivalente a:

sinxsinx0<R2sinxx02cosx+x02<R|\sin x - \sin x_0|<R\Leftrightarrow \bigg|2\sin\frac{x-x_0}2\cos\frac{x+x_0}2\bigg|<R

Como sabemos que cosα1|\cos \alpha|\le 1, podemos escrever que:

2sinxx02cosx+x022sinxx02\bigg| 2\sin\frac{x-x_0}2\cos\frac{x+x_0}2\bigg|\le2\bigg|\sin\frac{x-x_0}2\bigg|

E como sinαα|\sin\alpha| \le\alpha:

2sinxx022xx02=xx0\bigg| 2\sin\frac{x-x_0}2\bigg|\le2\bigg|\frac{x-x_0}2\bigg|=|x-x_0|

Então, se assumirmos que r=Rr=R:

xx0<rsinxsinx0<R|x-x_0|<r\Rightarrow |\sin x-\sin x_0|<R

podemos concluir que ff é contínua em x0x_0 e, consequentemente, a função seno é contínua em R\R.

Continuidade segundo Heine

Seja DfR,f:DfRD_f\subset \R, f:D_f\rightarrow\R uma função real de variável real e x0Dfx_0\in D_f, ff é contínua em x0x_0 se e só se para qualquer sucessão de termos em DfD_f e convergente para x0x_0 se tem f(xn)f(x0)f(x_n)\rightarrow f(x_0)

Pode-se concluir através desta definição que uma sucessão é sempre contínua, assim como qualquer função definida num ponto isolado do seu domínio é contínua nesse ponto.

Continuidade com operações algébricas

Sejam Df,DgR,f:DfRD_f,D_g\subset\R, f:D_f\rightarrow \R e g:DgRg:D_g\rightarrow \R duas funções reais de variável real, αR\alpha \in \R e x0DfDgx_0\in D_f\cap D_g. Então, se ff e gg são contínuas em x0x_0:

  • f±gf\pm g, αf\alpha f, fgf\cdot g, f|f| são contínuas em x0x_0
  • Se nn ímpar, fn\sqrt[n]f é contínua em x0x_0
  • Se g(x0)0g(x_0)\ne 0, fg\frac f g é contínua em x0x_0
  • Se f(x0)>0f(x_0)>0, fgf^g é contínua em x0x_0
  • Se f(x0)0f(x_0)\ge 0 (e nn par), fn\sqrt[n]f é contínua em x0x_0

Continuidade da composta

Sejam Df,DgR,f:DfRD_f,D_g\subset\R, f:D_f\rightarrow \R e g:DgRg:D_g\rightarrow \R duas funções reais de variável real e x0Dfx_0\in D_f tal que f(x0)Dgf(x_0)\in D_g. Então, se ff é contínua em x0x_0 e gg é contínua em f(x0)f(x_0), a função composta gfg\circ f é contínua em x0x_0.

A partir desta definição, pode-se concluir que as funções trigonométricas e hiperbólicas são contínuas no seu domínio, basta recorrer à aplicação do teorema anterior às funções necessárias.

Exemplos da aplicação deste teorema encontram-se no PDF da aula 10 em anexo, página 6.

Prolongamento contínuo de uma função

Prolongamento contínuo (f~\tilde f) de uma função: Seja DfR,f:DfRD_f\subset\R, f: D_f\rightarrow\R uma função real de variável real e x0Dfx_0\in\overline{D_f}, diz-se que ff é prolongável por continuidade em x0x_0 se existe uma função f~\tilde f definida em Df{x0}D_f\cup\{x_0\} que coincide com ff em todos os pontos de DfD_f e é contínua em x0x_0. Chama-se a uma função f~\tilde f nessas condições, prolongamento contínuo de ff em x0x_0.

Daqui podem-se extrair algumas propriedades:

  • O prolongamento contínuo de uma função num ponto, se existir, é único.
  • Qualquer função continua num ponto x0x_0 tem prolongamento contínuo nesse ponto, sendo este a própria função.
  • Considerando aR\Dfa\in\R\backslash \overline{D_f}, podem-se definir extensões da função ff a Df{a}D_f\cup\{a\} que são funções contínuas. Esta extensão, no entanto, não é única e não se trata de um prolongamento contínuo em aa.

Definição

Definição de limite de uma função num ponto: Seja DfR,f:DfRD_f\subset\R,f:D_f\rightarrow \R uma função real de variável real e x0Dfx_0\in\overline{D_f}, diz-se que existe limite de ff no ponto x0x_0 se existe o prolongamento contínuo de ff em x0x_0, isto é, f~\tilde f, dizendo-se, nesse caso, que o limite de ff em x0x_0 é f~(x0)\tilde f(x_0). Ou seja,

limxx0f(x)=f~(x0)\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\tilde f(x_0)

Limite num ponto

Limite num ponto segundo Cauchy

Seja DfR,f:DfRD_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R uma função real de variável real e x0Dfx_0 \in\overline{D_f}. O limite de ff no ponto x0x_0 é bRb\in\R se e só se, para qualquer RR+R\in\R^+, existe um rR+r\in\R⁺ tal que, para qualquer xDfx\in D_f

xx0<rf(x)b<R|x-x_0|<r\Rightarrow |f(x)-b|<R

Limite num ponto segundo Heine

Seja DfR,f:DfRD_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R uma função real de variável real e x0Dfx_0 \in\overline{D_f}. O limite de ff no ponto x0x_0 é bRb\in\R se e só se, para qualquer sucessão (xnx_n) de termos em DfD_f e convergente para x0x_0 se tem f(xn)bf(x_n)\rightarrow b.

Unicidade do limite

Seja DfR,f:DfRD_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R uma função real de variável real e x0Dfx_0 \in\overline{D_f}. Se, para alguns, a,bRa,b \in\R,

limxx0f(x)=aelimxx0f(x)=b\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a\quad\text{e}\quad\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=b

então, a=ba=b.

Um limite, caso exista, é único.

Calcular limite numa função contínua

Numa função contínua, o limite num ponto pode-se obter determinando o valor da função nesse ponto: limxx0f(x)=f(x0)\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0).

Propriedades de limites num ponto

  • Se ff e gg são contínuas em x0DfDgx_0\in D_f\cap D_g e f(x0)<g(x0)f(x_0)<g(x_0) então f(x)<g(x)f(x)<g(x) para qualquer xVr(x0)DfDgx\in V_r(x_0)\cap D_f \cap D_g para algum rR+r\in\R^+.
  • Se existem a,bRa,b\in\R e x0DfDgx_0\in \overline{D_f}\cap\overline{D_g} tais que limxx0f(x)=a\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a e limxx0g(x)=b\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b e a<ba < b, então f(x)<g(x)f(x)<g(x) para qualquer xVr(x0)DfDgx\in V_r(x_0)\cap D_f \cap D_g, para algum rR+r\in\R^+.
  • Se x0DfDgx_0 \in \overline {D_f}\cap\overline {D_g}, f(x)g(x)f(x)\le g(x) para todo o xVr(x0)DfDgx\in V_r(x_0)\cap D_f\cap D_g para algum rR+r\in\R^+, então, se existirem a,b,Ra,b, \in \R tais que limxx0f(x)=a\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a e limxx0g(x)=b\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b, tem-se que aba\le b.
  • A propriedade anterior também se verifica para f(x)<g(x)f(x) <g(x).

Consequências da definição de limite

Relação função contínua e limitada

Seja ff uma função de domínio DfD_f com limite bRb\in\R num ponto aDfa\in\overline{D_f}. Então, ff é limitada numa vizinhança de aa, ou seja, existe um rR+r\in\R^+ tal que fDfVr(a)f\big|_{D_f\cap V_r(a)} é uma função limitada.

Seja ff uma função de domínio DfD_f contínua em aDfa\in D_f. Então, ff é limitada numa vizinhança de aa.

Unicidade do limite

Tal como já vimos, um limite, se existir, é único. Podemos aplicar esta propriedade ao estudo do limite de uma função num ponto:

Considerando a seguinte função

f:R\{0}R,f(x)=sin(1x)f:\R\backslash\{0\}\rightarrow \R\quad,\quad f(x)=\sin\bigg(\frac 1 x\bigg)

Para provar que esta função não tem limite para x0x\rightarrow 0, podemos recorrer também à definição de Heine.

Seja (xn)(x_n) a sucessão de termo geral xn=12nπx_n=\frac 1 {2n\pi}. Como xn0x_n\rightarrow 0, o limite de ff na origem, se existir, terá de ser igual a

f(xn)=sin(112nπ)=sin(2nπ)=00f(x_n)=\sin(\frac1 {\frac1{2n\pi}})=\sin(2n\pi)=0\rightarrow 0

No entanto, se considerarmos a sucessão (yn)(y_n) de termo geral yn=1π2+2nπ\displaystyle y_n=\frac 1{\frac \pi 2 + 2n\pi}, em que yn0y_n\rightarrow 0, o limite de ff na origem teria de ser também igual a

f(yn)=sin(π2+2nπ)=11f(y_n)=\sin\bigg(\frac \pi 2 + 2n\pi\bigg)=1\rightarrow 1

Como o limite, se existir, é único, e 010\ne 1, podemos concluir que não existe limite de ff para n 0n\rightarrow~0.

Limite da composta

O limite da composta é a composição dos limites, desde que o ponto em questão esteja no fecho do domínio da composta.

Podemos verificar esta afirmação através do seguinte exemplo, considerando a composta gfg\circ f:

f,g,:R+R,f(x)=x2x,g(x)=xf,g,:\R^+\rightarrow \R\quad,\quad f(x)=x^2-x\quad,\quad g(x)=\sqrt x

Facilmente se verifica de que 0Df0\in\overline{D_f} e que limx0f(x)=0\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0. Do mesmo modo, 0Dg0\in\overline {D_g} e limx0g(x)=0\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0 (atenção que o 00 aqui referido é o resultado do limite em ff, e não do 00 inicial).

No entanto, ao calcular o domínio da composta, chegamos a

Dgf={xR+:f(x)R+}=]1,+[D_{g\circ f}=\big\{x\in\R^+:f(x)\in\R^+\big\}=]1,+\infin[

e claramente que 00 não é aderente a esse domínio.

Logo, o limite de 00 em gfg\circ f não faz sentido.

Teorema das funções enquadradas

Sejam Df,Dg,DhRD_{f}, D_{g}, D_{h}\subset \R, f:DfRf:D_f\rightarrow \R, g:DgRg:D_g\rightarrow \R, h:DhRh: D_h\rightarrow\R e aRa\in\overline\R tal que, para algum rR+r\in\R^+, (Vr(a)\{a})(DfDgDh)(V_r(a)\backslash\{a\})\subset(D_f\cap D_g\cap D_h).

Se, para qualquer, xVr(a)\{a}x\in V_r(a)\backslash\{a\},

g(x)f(x)h(x)g(x)\le f(x)\le h(x)

e

limxag(x)=limxah(x)=bR\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=b\in\overline\R

então

limxaf(x)=b\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b

Resumidamente, se num certo ponto, a função ff estiver enquadrada entre duas outras funções gg e hh tal que os limites destas últimas são iguais, ff também vai ter esse valor para o limite nesse certo ponto.

Limite de uma função num ponto relativo a um conjunto

Seja DfRD_f\in\R, f:DfRf:D_f\rightarrow \R uma função real de variável real e ADfA\subset D_f. Se aAa\in\overline A, chama-se limite de ff em aa relativo ao conjunto AA ao limite em aa da restrição de ff a AA, caso este exista.

limxaxAf(x)=limxafA(x)\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\in A}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a} f\big|_A(x)

O limite de uma função ff num ponto aa existe se e só se ele existe e tem o mesmo valor segundo qualquer conjunto contido no domínio de ff ao qual aa seja aderente.

Um exemplo da aplicação desta propriedade encontra-se no PDF da aula 11 em anexo, página 6.

Limites laterais

Podem-se definir os limites laterais de uma função à direita e à esquerda de um ponto aa, como sendo os limites, caso estejam bem definidos,

f(a+)=limxa+f(x)=limxax]a,+[f(x)f(a)=limxaf(x)=limxax],a[f(x)f(a^+)=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\in]a,+\infin[}}f(x)\\ f(a^-)=\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\in]-\infin,a[}}f(x)

Um exemplo da aplicação de limites laterais numa função com ramos está disponível no PDF da aula 11 em anexo, página 7.

Definição

Existência de limites laterais para as monótonas
Sejam a,bRa,b\in\R, a<ba<b, e f:]a,b[Rf:]a,b[\rightarrow \R uma função monótona e limitada. Então, ff tem limites laterais em todos os pontos de [a,b][a,b].

Continuidade lateral

Diz-se que uma função f:DfRf:D_f\rightarrow \R é contínua à direita de um ponto aDfa\in D_f se, sendo Ad= Df]a,a+r[,aAdA_d=~D_f\cap ]a,a+r[, a\in\overline{A_d}, para algum rR+r\in\R^+, e fAdf\big|_{A_d} tem prolongamento contínuo em aa, ou seja, existe f(a+)f(a^+) e f(a+)=f(a)f(a^+)=f(a).

Diz-se que uma função f:DfRf:D_f\rightarrow \R é contínua à esquerda de um ponto aDfa\in D_f se, sendo Ae= Df]ar,a[,aAeA_e=~D_f\cap ]a-r,a[, a\in\overline{A_e}, para algum rR+r\in\R^+, e fAef\big|_{A_e} tem prolongamento contínuo em aa, ou seja, existe f(a)f(a^-) e f(a)=f(a)f(a^-)=f(a).

Resumidamente, uma função é contínua à direita se f(a+)=f(a)f(a^+)=f(a) e é contínua à esquerda se f(a)=f(a)f(a^-)=f(a).

Limites em R\overline\R

Há duas situações em que podem surgir limites em R\overline\R no estudo das funções:

  • O "ponto" em que se está a calcular o limite é ±\pm\infin.
  • O valor do limite é ±\pm\infin.

±\pm\infin no fecho de um conjunto em R\overline\R:

  • Diz-se que ++\infin está no fecho de um conjunto ARA\subset\R se AA não é majorado.
  • Diz-se que -\infin está no fecho de um conjunto ARA\subset\R se AA não é minorado.

Limite em R\overline\R de uma função segundo Heine

Seja f:DfRf : D_f \rightarrow \R uma função real de variável real. Se x0Rx_0 \in \overline\R está no fecho de DfD_f, diz-se que o limite de ff em x0x_0 é bRb \in \overline\R se, para qualquer sucessão com limite x0x_0 e termos em DfD_f, se tem limf(xn)=b\lim f(x_n) = b.

Exemplo

Pretende-se descobrir se a função ff é limitada:

f:RR,f(x)=1ex2f:\R\rightarrow\R\quad,\quad f(x)=1-e^{-x^2}

Pode-se concluir que a função é contínua em R\R por ser a soma e composta de funções contínuas. Assim, ff tem limite finito em qualquer ponto de R\R. Isto diz-nos que a função é limitada em qualquer conjunto limitado.

Falta-nos assim verificar se a função é limitada em vizinhanças de ±\pm\infin.

Podemos verificá-lo através do limite da função segundo Heine. Escolhe-se assim uma qualquer sucessão tal que un+u_n\rightarrow +\infin:

f(+)=limx+f(x)=f(un)1e=10=1f(+\infin)=\lim_{x\rightarrow+\infin}f(x)=f(u_n)\rightarrow 1-e^{-\infin}=1-0=1

Podemos fazer o mesmo para -\infin, escolhendo uma qualquer sucessão tal que unu_n\rightarrow -\infin:

f()=limxf(x)=f(un)1e=10=1f(-\infin)=\lim_{x\rightarrow-\infin}f(x)=f(u_n)\rightarrow 1-e^{-\infin}=1-0=1

Podemos concluir assim que a função ff é limitada em R\R.

Vizinhança de infinito

Define-se a vizinhança de raio RR+R\in\R^+ de ++\infin como sendo o conjunto

VR(+)=]1R,+[V_R(+\infin)=\bigg]\frac1R,+\infin\bigg[

Define-se a vizinhança de raio RR+R\in\R^+ de -\infin como sendo o conjunto

VR()=],1R[V_R(-\infin)=\bigg]-\infin,-\frac1R\bigg[

Limite num ponto segundo Cauchy, em R\overline\R

Semelhantemente ao que já foi definido anteriormente, define-se agora o limite num ponto segundo Cauchy para R\overline\R. Assim:

Sejam DfRD_f\subset\R, f:DfRf:D_f\rightarrow\R uma função real de variável real e x0Rx_0\in\overline\R no fecho de DfD_f. O limite de ff no ponto x0x_0 é bRb\in\overline\R se e só se para qualquer RR+R \in R^+ existe um rR+r\in\R^+ tal que, para qualquer xDfx\in D_f,

xVr(x0)f(x)VR(b)x\in V_r(x_0)\Rightarrow f(x)\in V_R(b)

Propriedades de limites num ponto, em R\overline\R

Algumas das propriedades anteriormente vistas para limites num ponto também se estendem para limites em R\overline\R:

  • Se x0DfDgx_0 \in \overline {D_f}\cap\overline {D_g}, f(x)g(x)f(x)\le g(x) para todo o xVr(x0)DfDgx\in V_r(x_0)\cap D_f\cap D_g para algum rR+r\in\R^+, então, se existirem a,b,Ra,b, \in \overline\R tais que limxx0f(x)=a\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a e limxx0g(x)=b\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b, tem-se que aba\le b.
  • A propriedade anterior também se verifica para f(x)<g(x)f(x) <g(x).

Limite da composta, em R\overline\R

Sejam Df,DgRD_f, D_g\subset \R, f:DfRf : D_f\rightarrow\R e g:DgRg:D_g\rightarrow\R tais que f(Df)Dgf(D_f)\cap D_g\ne \empty. Seja, ainda, a Ra \in~\overline\R no fecho de DfD_f tal que o limite de ff em aa existe, tem valor bRb \in \overline\R e bb está no fecho de DgD_g. Suponha-se, ainda, que o limite de gg em bb existe e tem o valor cRc\in\overline\R e que aa está no fecho do domínio de gfg\circ f. Então, existe o limite de gfg \circ f em aa e tem o valor cc.

Por outras palavras, assumindo que os valores em causa pertencem devidamente aos respetivos domínios:

limxaf(x)=blimxbg(x)=climxa(gf)(x)=c\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b\quad\lim_{x\rightarrow b}g(x)=c\\ \lim_{x\rightarrow a}(g\circ f)(x)=c

Operações algébricas, em R\overline\R

Tal como aconteceu nas sucessões, as operações algébricas entre funções são facilmente estendidas a R\overline\R. Apenas é preciso ter atenção à existência de limite para todas as funções intervenientes e de (não haver) indeterminações.

Limite em R\overline\R de uma função num ponto relativo a um conjunto

Este teorema anteriormente definido, também se estende para R\overline\R.

Através desta extensão do teorema, verifica-se imediatamente que os limites em ±\pm\infin são, por definição, limites laterais.

Existência de limites laterais para as monótonas, em R\overline\R

Existência de limites laterais para as monótonas: Qualquer função monótona num intervalo, tem limites laterais em todos pontos aRa\in\overline\R que estejam no fecho desse intervalo.

É de salientar que é possível que os limites laterais sejam infinitos nos extremos desse intervalo.

Levantamento de indeterminações

Em geral, as técnicas utilizadas para levantar indeterminações nas sucessões podem ser utilizadas no cálculo de limites de funções.

Apresentam-se algumas exceções:

  • Todas as técnicas que utilizam, nas sucessões, o cálculo de limites que incluem un+1u_{n+1} e unu_n não têm equivalente direto para as funções.
  • Surgem as técnicas de fatorização para levantar indeterminações do tipo 00\frac 0 0 quando o ponto onde se calcula o limite é finito.

No documento da aula 12 em anexo, páginas 5 e 6, encontram-se dois exemplos da aplicação das técnicas de fatorização no cálculo de limites em funções.

Escala de funções

Pode-se também "importar" a escala de sucessões para funções, com atenção de que o fatorial não pode ser utilizado com funções reais de variável real:

Quando x+:logpx<<xq<<ax<<xx,p,qN+,a>1\text{Quando }x\rightarrow+\infin:\\ \log^px<<x^q<<a^x<<x^x\quad,\quad p,q\in\N^+,a>1

Limites notáveis

Podem também ser importados das sucessões alguns limites notáveis, tais como:

limx0sinxx=limx0ex1x=limx0shxx=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sh x}{x}=1

Exemplo disponível no PDF da aula 12, página 7.

Outro limite notável que também é valido é:

limxa(1+φ(x)ψ(x))ψ(x)=ebquandolimxaψ(x)=+,limxaφ(x)=b\lim_{x\rightarrow a}\bigg(1+\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}\bigg)^{\psi(x)}=e^b\quad\text{quando}\quad\lim_{x\rightarrow a}|\psi(x)|=+\infin\quad,\quad\lim_{x\rightarrow a}\varphi(x)=b

Continuidade em conjuntos (continuidade global)

Teorema do valor intermédio (TVI)

Definição

Teorema do valor intermédio
Se ff é uma função contínua num intervalo de números reais, e assume dois valores distintos nesse intervalo, então ff assume todos os valores intermédios.

Outra propriedade derivada deste teorema é a seguinte:

  • Uma função contínua transforma intervalos em intervalos.

Este teorema tem também uma "espécie" de recíproco:

Recíproco

Sejam II um intervalo e f:IRf : I \rightarrow \R uma função monótona tal que f(I)f(I) é um intervalo. Então ff é contínua.

Teorema de Bolzano

Este teorema, já conhecido do Ensino Secundário, é bastante parecido ao Teorema do Valor Intermédio.

Definição

Teorema de Bolzano
Sejam a,bRa, b \in \R, a<ba < b, e ff uma função contínua num conjunto que contém o intervalo [a,b][a, b] então para qualquer kRk \in \R entre os valores de f(a)f(a) e f(b)f(b), existe um c[a,b]c \in [a, b] tal que f(c)=kf(c) = k.

A maior diferença entre o Teorema de Bolzano e o Teorema do Valor Intermédio é que o de Bolzano não pode ser aplicado diretamente a uma função contínua num intervalo ]a,b[]a,b[ e o TVI pode.

Continuidade da inversa

Teorema

Sejam II um intervalo e f:If(I)f : I → f(I) uma função estritamente monótona e contínua. Então ff é invertível e f1f^{-1} é contínua em f(I)f(I).

Através deste teorema, podemos concluir que o logaritmo, o arco seno, o arco cosseno, o arco tangente, o arco cotangente, o argumento do seno hiperbólico, o argumento do cosseno hiperbólico e o argumento da tangente hiperbólica são todas funções contínuas.

Teorema de Weierstrass

Definição

Teorema de Weierstrass
Sejam II um intervalo fechado e limitado e f:IRf:I\rightarrow\R uma função contínua. Então, ff tem máximo e mínimo.

Outra forma de escrever este teorema é:


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