Integral de Riemann

Suponha-se que $f$ é uma função contínua que só toma valores positivos. O gráfico de $f$ pode ser qualquer coisa como:

Definindo a função como restrita ao intervalo $[1,3]$, pretende-se que o integral de $f$ em $[1,3]$ dê o valor da área sombreada, isto é, a área da região compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função, quando $x\in[1,3]$.

O problema em definir esta área é como encontrar com rigor o seu valor. Para isso, divide-se a área em retângulos, que têm uma área fácil de calcular.

Pode-se escolher retângulos acima da área, ou abaixo, mas sempre do mesmo tamanho.

Pode verificar-se o seguinte:

• Em geral, não se obtém exatamente a figura, mas uma região que a aproxima.
• Quanto menor for a base dos retângulos, melhor é a aproximação.
• Podem-se escolher retângulos de duas formas:
  • Terem alturas tão grandes quanto possível, sem sair fora da região em causa. Obtém-se uma área total menor que a área que se pretende definir.
  • Terem alturas tão pequenas quanto possível, contendo a região toda. Obtém-se uma área total maior que a área que se pretende definir.
• A base de cada retângulo (e o número de retângulos) pode ser definida através dos vértices desse retângulo que se encontram sobre o eixo das abcissas.
• A altura de cada retângulo é definida pelos valores que a função toma (tendo em conta as duas formas de escolher os retângulos, mencionadas acima).

Chega-se assim à ideia de escolher um conjunto finito de pontos do intervalo $[a,b]$, os quais serão os vértices dos retângulos, e definir a altura de cada retângulo como sendo o maior ou menor valor que a função toma no intervalo correspondente à base do retângulo.

Partição de um Intervalo

Chama-se partição de um intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$, a qualquer conjunto finito de pontos do interior desse intervalo distintos uns dos outros.

Chama-se, naturalmente, cardinal dessa partição ao número de pontos que a formam.

Sendo $n\in\N^+$ e $x_1<x_2<\dots <x_{n-1}$ os pontos que formam a partição, chama-se diâmetro dessa partição ao mínimo do conjunto $\{r_k\in\R^+:r_k=x_k-x_{k-1},k=1,\dots,n\}$, onde $x_0=a$ e $x_n=b$. Por outras palavras, é o diâmetro da partição é a distância mínima entre dois pontos consecutivos.

Chama-se partição nula à partição vazia, ou seja, com 0 elementos.

Pode-se decompor o intervalo $[a,b]$ na forma:

Uma partição com $n-1$ pontos decompõe o intervalo em $n$ intervalos.

Soma inferior e soma superior referente a uma partição

Seja $f$ uma função limitada num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Para cada partição $d\subset]a,b[$,

$d=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\},\quad a=x_0<x_{k-1}<x_k<x_n=b,\quad k=2,\dots,n-1$

Define-se soma superior de $f$ relativa a $d$ por:

$S_d(f)=\sum_{k=1}^n\bigg[\sup_{[x_{k-1},x_k]}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\bigg]$

Por palavras mais simples, a soma superior de $f$ relativa a $d$ é a soma de todos os "retângulos" de base $x_{k-1}$ a $x_k$, com altura correspondente ao maior valor que a função toma nesse intervalo.

Define-se soma inferior de $f$ relativa a $d$ por:

$s_d(f)=\sum_{k=1}^n\bigg[\inf_{[x_{k-1},x_k]}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\bigg]$

Pela definição anterior, $s_d(f)\le S_d(f)$.

No caso da partição nula, o diâmetro é o comprimento do intervalo, isto é, $b-a$.

Partição mais fina

Dadas duas partições, $d_1$ e $d_2$ de um mesmo intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$, diz-se que $d_1$ é mais fina que $d_2$ se $d_2\subset d_1$.

Pode-se pensar que uma partição mais fina $d_1$ tem sempre os mesmos pontos que $d_ 2$, mas ainda pode ter mais alguns, sendo assim o deu diâmetro menor.

Isto resulta no seguinte, considerando $d_1$ mais fina que $d_2$:

• $S_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)$
• $s_{d_1}(f)\ge s_{d_2}(f)$
• $s_{d_2}(f)\le s_{d_1}(f)\le S_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)$

Pode-se ter que nem $d_1$ é mais fina que $d_2$ nem $d_2$ é mais fina que $d_1$. Pode-se, no entanto, definir uma partição $d_3$ que contenha os pontos de $d_1$ e de $d_2$, e irá ser mais fina que $d_1$ e que $d_2$. Este conceito é definido abaixo como partição sobreposta.

Partição sobreposta

Sejam $d_1$ e $d_2$ duas partições de um mesmo intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Chama-se partição sobreposta a $d_1$ e $d_2$ à partição definida por $d_3=d_1\cup d_2$.

A partição sobreposta a $d_1$ e $d_2$ é mais fina do que $d_1$ e $d_2$.

Por esta definição, podemos concluir que para quaisquer duas partições do mesmo intervalo compacto, $d_1$ e $d_2$, é verdade que:

• $s_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)$
• o conjunto de todas as somas inferiores é majorado por qualquer soma superior, logo tem supremo
• o conjunto de todas as somas superiores é minorado por qualquer soma inferior, logo tem ínfimo

Integral Superior e Integral Inferior

Seja $f$ uma função limitada num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Chama-se integral superior de $f$ em $[a,b]$ ao número

Chama-se integral inferior de $f$ em $[a,b]$ ao número

Logo:

Integral de uma função

Seja $f$ uma função limitada num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Diz-se que a função é integrável se

chamando-se, nesse caso, integral de $f$ em $[a,b]$ ao valor comum dos integrais superior e inferior,

Exemplo

Considerando a seguinte função:

$$f(x)=\begin{cases} 3&\text{se}&x\in]2,3]\\ 2&\text{se}&x=2\\ 1&\text{se}&x\in[1,2[\\ \end{cases}$$

Graficamente, a função e o seu integral são representados por

Graficamente conseguimos obter o valor de 4 para o integral $(1\times1+1\times3)$.

Considerando uma partição qualquer do intervalo $[1,3]$, $d$.

Caso $2\notin d$, considera-se a partição mais fina $d\cup \{2\}$. Tem-se também de considerar partições que tenham pelo menos um ponto inferior a 2 e um ponto superior a 2.

Logo, $d$ é uma partição de $[1,3]$ constituída pelos pontos

$$x_1,\dots,x_p=2,\dots,x_{n-1}\quad,\quad x_{k-1}<x_k,k=1,\dots,n-1$$

em que $x_0=1$, $x_p=2$ e $x_n=3$.

Então, a soma superior associada a $d$ é

$$S_{d}(f)=\smartcolor{orange}{\sum_{k=1}^{p-1} \sup _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}+\smartcolor{blue}{\sup _{\left[x_{p-1}, x_{p}\right]} f(x)\left(x_{p}-x_{p-1}\right) \\\quad}+\smartcolor{green}{\sup _{\left[x_{p}, x_{p+1}\right]} f(x)\left(x_{p+1}-x_{p}\right)}+\smartcolor{pink}{\sum_{k=p+2}^{n} \sup _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}$$

Como em $[1,2[$, o supremo é 1, em $[x_{p-1}, 2]$ é 2, em $[2, x_{p+1}]$ é 3 e em $]2,3]$ é 3, tem-se que:

$$\begin{aligned} S_d(f)&=\smartcolor{orange}{1\cdot(x_{p-1}-x_0)}+\smartcolor{blue}{2(2-x_{p-1})}+\smartcolor{green}{3(x_{p+1}-2)}+\smartcolor{pink}{3(x_n-x_{p+1})}\\ &=(x_{p-1}-x_0)+2(2-x_{p-1})+3(x_n-2)\\ &=(x_{p-1}-1)+2(2-x_{p-1})+3(3-2)\\ &=6-x_{p-1} \end{aligned}$$

Pela definição de integral superior, como $x_{p-1}<2$, o ínfimo de $S_d(f)$ é 4:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \overline{\int_a^b}f(x)\d x=6-2=4$$

Para as somas inferiores associadas a $d$:

$$s_{d}(f)=\smartcolor{orange}{\sum_{k=1}^{p-1} \inf _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}+\smartcolor{blue}{\inf_{\left[x_{p-1}, x_{p}\right]} f(x)\left(x_{p}-x_{p-1}\right) \\\quad}+\smartcolor{green}{\inf_{\left[x_{p}, x_{p+1}\right]} f(x)\left(x_{p+1}-x_{p}\right)}+\smartcolor{pink}{\sum_{k=p+2}^{n} \inf_{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}$$

Como em $[1,2[$, o ínfimo é 1, em $[x_{p-1}, 2]$ é 1, em $[2, x_{p+1}]$ é 2 e em $]2,3]$ é 3, tem-se que:

$$\begin{aligned} s_d(f)&=\smartcolor{orange}{1\cdot(x_{p-1}-x_0)}+\smartcolor{blue}{1\cdot(2-x_{p-1})}+\smartcolor{green}{2(x_{p+1}-2)}+\smartcolor{pink}{3(x_n-x_{p+1})}\\ &=(2-x_0)+2(x_{p+1}-2)+3(x_n-x_{p+1})\\ &=(2-1)+2(x_{p+1}-2)+3(3-x_{p+1})\\ &=6-x_{p+1} \end{aligned}$$

Pela definição de integral inferior, como $x_{p+1}>2$, o supremo de $s_d(f)$ é 4:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \underline{\int_a^b}f(x)\d x=6-2=4$$

Então:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x=\underline{\int_a^b}f(x)\d x=\overline{\int_a^b}f(x)\d x=4$$

Monotonia do integral

Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas e integráveis num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$, tais que

Então,

É definida uma versão forte para a monotonia do integral mais abaixo.

Teorema da média para funções integráveis

Seja $f$ uma função limitada e integrável num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Então, existe um $\lambda\in[\inf f([a,b]), \sup f([a,b])]$ tal que

Chama-se ao real $\lambda$ a média da função $f$ no intervalo $[a,b]$.

O $\lambda$ corresponde ao valor que uma função constante teria de ter no intervalo $[a,b]$ para ter exatamente o mesmo integral que $f$, isto é, uma função constante em que a sua integral iria definir um retângulo de lados $b-a$ e $\lambda$.

A demonstração deste teorema encontra-se no PDF em anexo, página 10.

Teorema da média para funções contínuas

Este teorema é igual ao teorema acima, mas definido através do TVI.

Seja $f$ uma função contínua num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Então existe $c\in]a,b[$ tal que

Aditividade do integral - Versão fraca

Seja $f$ uma função contínua num intervalo compacto $[a,b]$. Então, para quaisquer ${x_1,x_2,x_3\in[a,b]}$, $x_1<x_2<x_3$, $f$ é integrável nos intervalos $[x_1,x_2]$ e $[x_2, x_3]$ e tem-se

A partir disto, obtém-se as seguintes propriedades:

Seja $f$ uma função integrável no intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Integral indefinido de uma função

Seja $f$ uma função integrável em qualquer subintervalo de um intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Chama-se integral indefinido de $f$ com origem em $x_0\in[a,b]$ à função definida por

É definida uma versão forte para o integral indefinido de uma função mais abaixo.

Teorema Fundamental do Cálculo

Seja $f\in C^0([a,b])$, $a<b$. Então, para qualquer $x_0\in[a,b]$ o integral indefinido de $f$ com origem em $x_0$, $F_{x_0}$, é uma função diferenciável em $]a,b[$ e

A demonstração deste teorema encontra-se no PDF da aula 24, página 13.

Regra de Barrow

📖 É um corolário do Teorema Fundamental do Cálculo e permite calcular explicitamente integrais.

Seja $f$ uma função contínua no intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$ que admite $F$ como primitiva, em $]a,b[$. Então,

A demonstração deste corolário encontra-se no PDF da aula 24, página 13.

Integrabilidade

Critério de integrabilidade

Seja $f$ uma função limitada num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Então, $f$ é integrável em $[a,b]$ se e só se, para qualquer $\delta>0$, existe uma partição $d$ no intervalo $[a,b]$ tal que $S_d(f)-s_d(f)<\delta$.

Também podemos expressar esta definição por $S_{d_n}(f)-s_{d_n}(f)\to0$

Por outras palavras, $f$ é integrável em $[a,b]$ se as somas superiores e inferiores de $d$ forem infinitamente próximas.

Este critério de integrabilidade não é propriamente útil, mas será usado para definir os critérios mais práticos e fáceis de aplicar abaixo.

Integrabilidade das contínuas

Seja $f$ uma função contínua num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Então, $f$ é integrável em $[a,b]$.

Integrabilidade das seccionalmente contínuas

Uma função seccionalmente contínua pode ser escrita como a soma de uma função contínua com uma função constante num número finito de intervalos.

Seja $f$ uma função seccionalmente contínua num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Então, $f$ é integrável em $[a,b]$.

Resumindo, qualquer função seccionalmente contínua (o que inclui funções contínuas) em $[a,b]$ é integrável em $[a,b]$.

Integrabilidade das monótonas

Seja $f$ uma função monótona definida num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Então, $f$ é integrável em $[a,b]$.

Conjunto com medida de Lebesgue nula

Diz-se que um conjunto $C\subset\R$ tem medida de Lebesgue nula se existe uma família de intervalos cuja reunião contém $C$ e a soma de todos os comprimentos dessa família é arbitrariamente pequena.

Exemplos:

• Se $C\subset\R$ for um conjunto finito, $C$ tem medida de Lebesgue nula. Tendo $C$, $N$ elementos, basta considerar a família composta pelas $N$ vizinhanças de raio ${r=\frac{\delta}{N+1}}$.
• Se $C=\{u_n:n\in\N^+\}$ for o conjunto de termos de uma sucessão, $C$ tem medida de Lebesgue nula. Basta considerar, para cada $u_n$, o intervalo $I_n=]u_n-\frac\delta{2^{n+2}},u_n+\frac\delta{2^{n+3}}[$
• Se $C\in\R$ for um conjunto tal que $]x_1,x_2[\subset C$, para alguns $x_1,x_2\in C$, $x_1<x_2$, então $C$ não tem medida de Lebesgue nula.

A reunião contável de conjuntos com medida de Lebesgue nula é um conjunto com medida de Lebesgue nula.

Muito informalmente, podemos dizer que qualquer conjunto contável tem medida de Lebesgue nula (mas nem todos os conjuntos com medida de Lebesgue nula são contáveis).

💡 Qualquer propriedade que seja válida em todos os pontos de um conjunto exceto num conjunto de pontos com medida de Lebesgue nula, é válida em quase todos os pontos, e escreve-se q.t.p..

Operações com integrais

Linearidade do operador de integração

Sejam $f$ e $g$ duas funções integráveis num dado intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$ e $\alpha,\beta\in\R$.

Então, $\alpha f+\beta g$ é integrável em $[a,b]$ e

Integrabilidade do módulo

Seja $f$ uma função integrável num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$. Então $|f|$ é integrável em $[a,b]$ e

Aditividade do integral no intervalo

Seja $f$ uma função integrável num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$, e $a<c<b$. Então, $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$ e

Integral indefinido - Versão forte

Seja $f$ uma função integrável num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Chama-se integral indefinido de $f$ com origem em $x_0\in[a,b]$ à função

Tem-se, ainda, que $F$ é uma função contínua em $[a,b]$ e para quaisquer $x_0,y_0\in[a,b]$,

é uma função constante.

Monotonia do integral - Versão forte

Sejam $f$ e $g$ funções integráveis num intervalo $I$, tais que

Então,

Teorema Fundamental do Cálculo para funções seccionalmente contínuas

Seja $f$ uma função seccionalmente contínua num intervalo $I$ não degenerado (intervalo degenerado é um intervalo que só contém um único valor).

Então, o integral indefinido de $f$ com origem em $x_0\in\overline I$,

é uma função com derivadas laterais em qualquer ponto do seu domínio, tal que

em qualquer ponto $x\in\overline I$ onde tenham sentido os limites de $f$.

Regra de Barrow para funções seccionalmente contínuas

Seja $f$ uma função seccionalmente contínua no intervalo não degenerado $I$ e $F$ uma função contínua no fecho de $I$ cuja derivada coincide com $f$ em qualquer ponto do interior de $I$ onde $f$ é contínua. Então,

Regra de Leibnitz - versão simples

Sejam $\varphi,\psi$: $]a,b[\to[c,d]$ duas funções diferenciáveis e $f$ uma função contínua em $[c,d]$.

Então, a função definida em $]a,b[$ por

É diferenciável em qualquer ponto $x_0\in]a,b[$ e tem-se:

Resumidamente, esta regra permite-nos derivar funções definidas por integrais.

Exemplos: Esta regra foi utilizada em alguns exercícios da ficha 9, e os exemplos de aplicação podem ser encontrados no documento "Resolução (Prof).pdf", no exercício 4 d) (página 23), exercício 5 (página 24) e exercício 6 a) (páginas 25 e 26).

Aplicações do Integral

Abaixo redefinem-se alguns conceitos já conhecidos da primitivação, mas agora aplicados à integração.

Integração por Partes

Sejam $u$ e $v$ funções contínuas num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$, tais que $u'$ e $v'$ são funções seccionalmente contínuas nesse intervalo. Então, $u'\cdot v$ e $u\cdot v'$ são integráveis em $[a,b]$ e

A fórmula da integração por partes é igual à da primitivação, mas tem a vantagem de se simplificar mais, por estamos a calcular valores numéricos e não expressões.

Algumas observações sobre a fórmula da integração por partes:

• É usual, quando na presença de uma função seccionalmente contínua, calcular separadamente o integral em cada um dos intervalos onde a função é contínua.
• A fórmula de integração por partes é mais conveniente que a fórmula de primitivação por partes pois ao invés de o segundo integral surgir adicionado a uma função, ele surge adicionado a um número (que até pode ser 0).

Exemplo

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^1_0\arcsin x \d x$$

$$u'=1\to u=x\quad,\quad v=\arcsin x\to v'=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$$

Aplicando a integração por partes:

$$\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen} x \mathrm{~d} x=[x \operatorname{arcsen} x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\\=\operatorname{arcsen}(1)-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$$

Aplicando a fórmula da potência:

$$\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen} x \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{-2 x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left[\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{\pi}{2}-1$$

Integração por Substituição

Seja $f$ uma função seccionalmente contínua num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$ e $\varphi$ uma função regular num intervalo compacto $[t_0,t_1]$, $t_0<t_1$, tal que $\varphi(t_0)=a$ e $\varphi(t_1)=b$ e $(f\circ\varphi)\cdot\varphi'$ é seccionalmente contínua em $[a,b]$. Então,

A fórmula da integração por substituição é bastante superior à da Primitivação por substituição, pelo simples facto de não ser ter de desfazer a substituição. A outra diferença é que a integração por substituição não necessita de injetividade.

Algumas observações sobre a fórmula de integração por substituição:

• A integração por partes é bastante melhor do que a primitivação por partes, pois:
  • Não se impõe que $\varphi$ seja injetiva
  • Não é necessário desfazer a substituição. Altera-se a variável de integração, mudam-se os extremos, mas obtém-se uma integral com exatamente o mesmo valor.
• A integração por substituição é o modo preferencial de mexer nos extremos do integral sem alterar o seu valor.

Exemplos

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x$$

Escolhe-se $x=2\sin t$ para efetuar a substituição: $\def\d{\mathop{}\!\mathrm d}\d x=2\cos t\d t$

$$2\sin\Big(\frac\pi4\Big)=\sqrt2\quad\text e \quad 2\sin(0)=0$$

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x =\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{4-4\sin^2t}\cdot (2\cos t)\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{\cos^2t}\cdot \cos t\d t$$

Como no intervalo de integração, $\cos x>0$, tem-se que $\sqrt{\cos^2x}=\cos x$:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} 4\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{\cos^2t}\cdot \cos t\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\cos^2 t\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\frac{1+\cos(2t)}{2} \d t$$

Como a primitiva de $\frac{1+\cos(2t)}{2}$ é $\frac t 2+\frac{\sin(2t)}4$:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x =4\Bigg[\frac t2+\frac{\sin(2t)}4\Bigg]^{\frac\pi4}_0=4\bigg(\frac\pi8+\frac14\bigg) =\frac\pi2+1$$

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Seja $f$ uma função ímpar contínua em $[-a,a]$, com $a>0$.

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x$$

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =\int^0_{-a}f(x)\d x+\int^a_0f(x)\d x$$

Utiliza-se a substituição $x=-t$, ficando com $\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \d x= -\d t$.

Fazendo a substituição nos extremos:

$$x=a\longleftrightarrow t=-a\quad,\quad x=0\longleftrightarrow t=0$$

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =\int^0_a f(-t)(-1)\d t+\int^a_0 f(x)\d x =\int^a_0f(-t)\d t+\int^a_0f(x)\d x$$

Como a função é ímpar, $f(-t)=-f(t)$:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =-\int^a_0f(t)\d t+\int^a_0f(x)\d x$$

Logo, como os dois integrais são idênticos (a variável é "muda"):

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x=0$$

Também podemos resolver este mesmo integral pela Regra de Leibnitz:

$$\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F(a)=\int^a_{-a}f(x)\d x$$

Deriva-se assim a função:

$$F'(a)=f(a)\cdot 1-f(-a)\cdot(-1)=f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)=0$$

Logo, é uma função constante, e como é ímpar, $F(0)=0$

$$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\int^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t}{x\sin x}$$

Pela Regra de Cauchy:

$$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\left(\int\nolimits ^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t\right) '}{( x\sin x) '} =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^{2}} -1}{\sin x+x\cos x} =\lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{x2} -1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{\frac{\sin x}{x} +\cos x}\right)=0$$

Logo,

$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\int^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t}{x\sin x}=0$

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Podemos estudar a monotonia da seguinte função, através da Regra de Leibnitz:

$$f( x) =\int ^{x}_{0}\sin\left( \pi t^{2}\right) \ \mathrm{d} t$$

Efetuando a derivação:

$$f'( x) =\sin\left( \pi x^{2}\right)$$

Assim, a função é crescente em:

• $[\sqrt{2n\pi},\sqrt{2n\pi+\pi}]$, $n\in\N^+$
• $[-\sqrt{2n\pi+\pi}, -\sqrt{2n\pi}]$, $n\in\N^+$
• $[-\sqrt \pi, \sqrt \pi]$

E decrescente em:

• $[\sqrt{2n\pi-\pi}, \sqrt{2n\pi}]$, $n\in\N^+$
• $[-\sqrt{2n\pi},-\sqrt{2n\pi-\pi}]$, $n\in\N^+$

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Pode-se usar a Regra de Leibnitz para resolver a equação funcional integral, onde $f$ é uma função de classe $C^1(\R)$:

$$f^{2}( x) =\int ^{x}_{0} 2e^{t} f( t) \ \mathrm{d} t$$

Se as funções forem idênticas, o mesmo se sucede com as suas derivadas, logo:

$$2f( x) f'( x) =2e^{x} f( x) \Leftrightarrow 2f( x)\left( f'( x) -e^{x}\right) =0$$

Portanto, temos duas soluções:

• $f(x)=0$
• $f(x)=C+e^x$

Aplicações Geométricas da Noção de Integral

Área de uma região do plano

Seja $R$ a região do plano definida por

onde $f$ e $g$ são duas funções seccionalmente contínuas em $[a,b]$ tais que $f(x)<g(x)$ para qualquer $x\in[a,b]$.

Chama-se área de $R$ ao valor do integral

Para encontrarmos a área de uma região do plano, fazemos a integral da diferença entre a função que delimita a área por cima e a função que delimita a área por baixo.

Caso as funções não cumpram a condição $f(x)<g(x)$ em todo o intervalo, divide-se o intervalo para obtermos sempre a condição $f(x)<g(x)$ ou $g(x)<f(x)$.

A maior partes das vezes, podemos aproveitar noções geométricas já conhecidas (área do círculo, retângulo, etc) e simetrias/repetições para partes da área que se pretendem calcular, diminuindo a complexidade dos cálculos.

Exemplos

Considera-se a região definida por $x-1<y<1-x^2$

Não é dada qualquer limitação para $x$, mas para a condição fazer sentido,

$$x-1< 1-x^{2} \Leftrightarrow ( x-1)( x+2) < 0\Leftrightarrow -2< x< 1$$

Assim, a área da região é dada por:

$$\begin{aligned}A & =\int ^{1}_{-2}\left( 1-x^{2}\right) -( x-1) \ \mathrm{d} x\\ & =\int ^{1}_{-2} -x^{2} -x+2\ \mathrm{d} x\\ & =\left[ -\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{2}}{2} +2x\right]^{1}_{-2}\\ & =\left( -\frac{1}{3} -\frac{1}{2} +2\right) -\left(\frac{8}{3} -\frac{4}{2} -2\right)\\ & =\frac{47}{6}\end{aligned}$$

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Considera-se a região definida por $1<y<2\cos x\quad,\quad0<x<2\pi$.

Apesar de parecer ser dada a variação de $x$, a condição $1<2\cos x$ não se verifica em todo o intervalo. Logo:

$1< 2\cos x\Leftrightarrow \cos x >\frac{1}{2} \Leftrightarrow x\in \left[ 0,\frac{\pi }{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi }{3} ,2\pi \right]$

Devido à periodicidade da função cosseno, podemos considerar o intervalo $-\frac\pi3<x<\frac\pi3$:

Assim, a área da região é dada por:

$$\begin{aligned} A & =\int ^{\frac{\pi }{3}}_{-\frac{\pi }{3}} 2\cos x-1\ \mathrm{d} x\\ & =2\int ^{\frac{\pi }{3}}_{0} 2\cos x-1\ \mathrm{d} x\\ & =2\Big[ 2\sin x-x\Big]^{\frac{\pi }{3}}_{0}\\ & =2\left(\sqrt{3} -\frac{\pi }{3}\right)\\ & =2\sqrt{3} -\frac{2\pi }{3} \end{aligned}$$

Permutação dos eixos das ordenadas e abcissas

Ao calcular áreas, podemos usar um raciocínio geométrico para simplificar o problema.

Tomemos como exemplo a região definida por $0<y<\arcsin x\quad,\quad0<x<1$:

Podia-se calcular $A=\int ^{1}_{0}\arcsin x\ \mathrm{d} x$, mas existe outra maneira mais imediata, que consiste em permutar os eixos:

Então, a área pode ser calculada por:

Esta solução é muito menos trabalhosa do que calcular o integral de $\arcsin x$.

Linha no plano

Chama-se linha no plano ao gráfico no plano de uma função contínua definida num intervalo compacto $[a,b]$, $a<b$.

Representação paramétrica da linha

Uma linha no plano também de pode representar como

A representação anterior (não paramétrica) pode ser escrita como uma representação paramétrica em que $f_1(t)=t$ e $f_2(t)=f(t)$.

Volume de um sólido de revolução

Caso se queira calcular o volume de um sólido de revolução (obtido pela rotação de amplitude $2\pi$ em torno do eixo das abcissas do gráfico de uma função contínua e positiva $f$ definida em $[a,b]$), pode-se usar a seguinte fórmula:

Caso se tenha um sólido obtido pela revolução de uma região contida entre duas funções contínuas e positivas, $f$ e $g$,

o volume do sólido de revolução é

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