Limites de Sucessões

Infinitamente grande
- Operações Algébricas
Indeterminações
- Sucessão dominante
  - Escala básica de sucessões
Levantar indeterminações
- Indeterminações do tipo $\frac\infin\infin$

Infinitamente grande

Definições

Infinitamente grande positivo: Uma sucessão ( $u_n$ ) que, para qualquer $R>0$ , $u_n>R$ , para $n>>$ . Por outras palavras, $u_n\rightarrow +\infin$ , isto é, $\lim u_n=+\infin$ .
Infinitamente grande negativo: Uma sucessão ( $u_n$ ) em que ( $-u_n$ ) é um infinitamente grande positivo. Por outras palavras, $u_n\rightarrow -\infin$ , isto é, $\lim u_n=-\infin$ .
Reta acabada: Quando de fala de limites de sucessões, estes podem pertencer a $\R$ ou serem $\pm \infin$ . Por esta razão, consideramos os limites das sucessões no conjunto $\overline \R =\R\cup\{-\infin,+\infin\}$ , a que chamamos reta acabada.

Quando definimos $\overline\R$ , temos de ter em atenção a distinção entre uma sucessão ser convergente e ter limite.

Ser convergente: A sucessão tem limite em $\R$ , isto é, $u_n\rightarrow x,\enspace x\in\R$ .
Ter limite: A sucessão é convergente ou $u_n\rightarrow +\infin$ ou $u_n \rightarrow -\infin$ .

warning

Deve-se ter em atenção que $\lim u_n=\infin$ não significa que existe limite de $u_n$ e que este é $\infin$ , mas sim que $|u_n|\rightarrow +\infin$ .

Sucessão não convergente com limite infinito: Sucessão propriamente divergente
Sucessão não convergente sem limite infinito: Sucessão divergente oscilante

Abaixo apresentam-se algumas propriedades de sucessões, agora que consideramos os limites das sucessões em $\overline\R$ :

Qualquer sucessão monótona tem limite (finito ou infinito)
Qualquer sucessão com mais do que um sublimite não é monótona
Qualquer sucessão tem pelo menos um sublimite (finito ou infinito)
Uma sucessão é limitada se e só todos os seus sublimites são finitos
$u_n\rightarrow\infin$ se e só se ( $u_n$ ) não tem sublimites finitos

Operações Algébricas

Temos também de ter atenção às operações algébricas já definidas (soma, diferença, produto, divisão, etc) entre limites, agora que se introduziu limites infinitamente grandes.

Soma/Diferença

$+\infin +b=+\infin$ para todo o $b\ne-\infin$
$-\infin +b=-\infin$ para todo o $b\ne+\infin$
$+\infin-\infin$ não existe

Produto

$+\infin\times b=\begin{cases} +\infin&,&\text{se }b>0\\ -\infin&,&\text{se }b<0 \end{cases}$
$-\infin\times b=\begin{cases} -\infin&,&\text{se }b>0\\ +\infin&,&\text{se }b<0 \end{cases}$
$\infin\times0$ não existe

Divisão (recíproco)

Considerando $\lim\frac 1 {u_n}=b$ e $u_n\rightarrow a$ ,

$b=0$ se $a=\pm\infin$
$b=+\infin$ se $a=0$ e $u_n>0$ para $n>>$
$b=-\infin$ se $a=0$ e $u_n<0$ para $n>>$

Módulo

$\lim |u_n|=+\infin,\ u_n\rightarrow\pm\infin$

Potência

Considerando $\lim u_n^{v_n}=a^b$ , $u_n\rightarrow a$ e $v_n\rightarrow b$ ,

$(+\infin)^b=+\infin$ se $b>0$
$(+\infin)^b=0$ se $b<0$
$0^b=0$ se $b>0$
$0^b=+\infin$ se $b<0$
$a^{+\infin}=+\infin$ se $a>1$
$a^{+\infin}=0$ se $a<1$
$a^{-\infin}=0$ se $a>1$
$a^{-\infin}=+\infin$ se $a<1$

Não existe limite se:

$a=1\land b=\pm \infin$
$a=0\land b=0$
$a=+\infin \land b=0$

Indeterminações

Abaixo apresentam-se algumas indeterminações no cálculo de limites:

\begin{darray}{ c|c|c|c|c|c|c } \infin-\infin & 0\times\infin & \frac 0 0 & \frac\infin\infin & 0^0 & (+\infin)^0 & 1^\infin \end{darray}

Sucessão dominante

Definição

Sucessão dominante
Sejam ( $u_n$ ) e ( $v_n$ ) duas sucessões de números reais tais que $v_n\ne0$ para $n>>$ . Diz-se que ( $v_n$ ) é dominante em relação a ( $u_n$ ), e escreve-se $u_n<<v_n$ , se $\frac{u_n}{v_n}\rightarrow 0$ .

Através da definição de sucessão dominante, podemos resolver algumas indeterminações.

Para descobrir que sucessão é dominante face a outra, podemos recorrer a um pequeno teorema:

Teorema

Seja ( $a_n$ ) uma sucessão de termos positivos tal que $\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow L\in\overline\R$ .
Então:

\begin{cases} a_n\rightarrow +\infin&,&\text{se }L>1\\ a_n\rightarrow 0&,&\text{se }L<1 \end{cases}

Exemplo de aplicação do teorema

Podemos usar este teorema para provar que $n^p<<a^n$ para qualquer $a>1$ :

\frac{\frac{(n+1)^p}{a^{n+1}}}{\frac{n^p}{a^n}}=\bigg(\frac{n+1}n\bigg)^p\frac1a=\bigg(1+\frac1n\bigg)^p\frac1a\rightarrow\frac1a<1

Logo, como segundo o teorema $\frac{n^p}{a^n}\rightarrow 0$ , podemos concluir que $n^p<<a^n$ .

Outro teorema não tão útil, mas também importante é:

Teorema

Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais positivos tal que $u_{n+1}-u_n\rightarrow L\in\overline\R$ .
Então, $\frac{u_n}n\rightarrow L$ .

Escala básica de sucessões

Esta escala permite-nos resolver indeterminações, e não é preciso justificar nenhuma destas relações ao resolver exercícios.

\log_{p1}n<<n^{p_2}<<a^n<<n!<<n^n\quad,\quad p_1,p_2\in\R^+,\ a>1

Ao resolver exercícios, pode ser necessário aumentar (isto é, adicionar parcelas) esta escala. Para isso, deve-se utilizar um dos dois teoremas apresentados acima.

Levantar indeterminações

As indeterminações dos tipos $0\cdot\infin$ , $\frac00$ e $\frac\infin\infin$ podem-se tratar todas da mesma maneira, visto que são equivalentes.

Indeterminações do tipo $\frac\infin\infin$

Levantar através da escala de sucessões

Pode-se começar por avaliar a sucessão com a escala básica de sucessões. Por exemplo:

\lim\frac{2^n+1}{n^5+20}

Esta indeterminação pode ser facilmente levantada através da divisão de todos os membros por $2^n$ , de acordo com a escala básica de sucessões:

\frac{2^n+1}{n^5+20}= \frac{1+2^{-n}}{n^52^{-n}+20\times2^{-n}} \longrightarrow \frac{1+0}{0+0}=+\infin

Levantar através da diferença de quadrados

Por vezes, usar a escala de sucessões não é suficiente para levantar uma indeterminação. Aqui pode-se usar a diferença de quadrados $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ para levantar a indeterminação.

\begin{aligned} u_n&=\frac{\sqrt{4^n-2^n}-\sqrt{4^n+1}}{n^2}\\ &=\frac{(4^n-2^n)-(4^n+1)}{n^2(\sqrt{4^n-2^n}+\sqrt{4^n+1})}\\ &=\frac{-2^n-1}{n^2(\sqrt{4^n-2^n}+\sqrt{4^n+1})} \end{aligned}

A sucessão dominante é $n^2\cdot2^n$ (no denominador), logo divide-se ambos os membros da fração por $n^2\cdot 2^n$ .

u_n=\frac{-\frac1{n^2}-\frac1{n^22^n}}{\sqrt{1-2^{-n}}+\sqrt{1+4^{-n}}}\longrightarrow 0

Levantar raízes de índice $k$ , $k\in\mathbb N^2$

Também é possível utilizar a mesma estratégia para levantar a indeterminação de raízes, através da seguinte generalização:

a^k-b^k=(a-b)\sum_{j=0}^{k-1}a^{k-1-j}b^j

Um exemplo da aplicação desta generalização está disponível no PDF da aula 7 na página 2.

"Casos notáveis"

Sendo ( $u_n$ ) um infinitésimo ( $u_n\longrightarrow 0$ ) que não se anula para $n>>$ :

$\displaystyle\lim\frac{\sin u_n}{u_n}=1$
$\displaystyle\lim\frac{e^{u_n}-1}{u_n}=1$
$\displaystyle\lim\frac{\log(1+u_n)}{u_n}=1$

Exemplo

\lim\bigg[2^n\sin\bigg(\frac1{n!}\bigg)\bigg]=\lim\bigg[\frac{2^n}{n!}\cdot\frac{\sin(\frac1{n!})}{\frac1{n!}}\bigg]=0\cdot1=0

Produto em potências

É possível transformar uma indeterminação em potência numa indeterminação relativa ao produto:

(u_n)^{v_n}=e^{v_n\log u_n}

Cálculo do Limite de $\sqrt[n]{u_n}$

Definição

Cálculo do limite de $\sqrt[n]{u_n}$
Seja $u_n$ uma sucessão de termos positivos tal que $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}\longrightarrow L \in \mathbb R^+_0 \cup \{+\infin\}$ .
Então, $\sqrt[n]{u_n}\rightarrow L$ .

Caso não exista este limite, nada de pode concluir e o limite da raiz pode existir ou não.

Indeterminações do tipo $1^\infin$

Seja uma sucessão ( $u_n$ ) uma sucessão tal que $|u_n|\rightarrow +\infin$ e $a\in\mathbb R$ , tem-se que:

\bigg(1+\frac a {u_n}\bigg)^{u_n}\longrightarrow e^a

No PDF da aula 7 encontram-se exemplos, na página 5.

PDFs: