Noções topológicas

Conjunto numerável e contável

É de salientar que os conjuntos $\mathbb N$, $\mathbb Z$ e $\mathbb Q$ são, embora infinitos, numeráveis e, consecutivamente, contáveis. No entanto, $\mathbb R$ não é numerável.

Densidade dos racionais: Em qualquer intervalo de números reais existem números racionais e irracionais (na verdade um número infinito de cada um deles).

Vizinhanças

Interior, exterior, fronteira e fecho de um conjunto

Seja $A\subset\mathbb R$. Diz-se que:

• $a$ é um ponto interior de $A$ se existe uma vizinhança de $a$ contida em $A$
• $a$ é um ponto exterior de $A$ se existe uma vizinhança de $a$ que não contém pontos de $A$
• $a$ é um ponto fronteiro de $A$ se em qualquer vizinhança de $a$ existem pontos de $A$ e pontos que não são de $A$
• $a$ é um ponto aderente a $A$ se em qualquer vizinhança de $a$ existem pontos de $A$, isto é, são pontos do interior ou da fronteira de $A$.

Chama-se:

• Interior de $A$, $\text{int} A$, ao conjunto dos pontos interiores de $A$
• Exterior de $A$, $\text{ext} A$, ao conjunto dos pontos exteriores de $A$
• Fronteira de $A$, $\partial A$, ao conjunto dos pontos fronteiros de $A$
• Fecho ou aderência de $A$, $\overline A$, ao conjunto dos pontos aderentes a $A$

Exemplo

Abaixo está a representação do conjunto $B=[3,5[ \cup \{8\}$. A zona representada a azul corresponde ao interior de $B$, enquanto que a zona a verde corresponde ao exterior de $B$.

$$\begin{array}{ll} \text{int }B=]3,5[ & \text{ext }B=]-\infin;3[\cup]5,8[\cup]8;+\infin[\\ \\ \partial B=\{3,5,8\} & \overline A=[3,5]\cup\{8\} \end{array}$$

Conjunto Aberto. Conjunto Fechado. Conjunto Compacto

Seja $A\subset \mathbb R$, diz-se que:

• $A$ é aberto se $\text{int} A = A$
• $A$ é fechado se $A = \overline A$
• $A$ é compacto se $A$ é fechado e $A$ é limitado

Exemplos de conjuntos abertos, fechados e compactos estão no PDF em anexo.

Existem dois casos em que um conjunto pode ser simultaneamente aberto e fechado: $\mathbb R$ e $\empty$.

Ponto de Acumulação. Ponto Isolado. Derivado de um Conjunto

Seja $A\subset\mathbb R$ um conjunto e $a\in\mathbb R$. Diz-se que $a$ é um ponto de acumulação de $A$ se existem pontos de $A$ diferentes de $a$ e arbitrariamente próximos de $a$, ou seja, se dado qualquer raio $r\in\mathbb R^+$: $V_r(a)\cap(A\backslash\{a\})\ne\empty$.

A qualquer ponto de $A$ que não seja um ponto de acumulação de $A$ chama-se ponto isolado.

Ao conjunto dos pontos de acumulação de $A$ chama-se derivado de $A$ e representa-se por $A'$.

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PDFs:

• Aula 3