Séries Funcionais

São séries do tipo

$$\sum ^{\infty }_{n=0} f_{n}( x)$$

Iremos estudar somente as séries de potências:

Séries de potências

Chama-se séries de potências a uma série funcional da forma

$$\sum ^{\infty }_{n=p} a_{n}( x-x_{0})^{n}$$

em que $x$ é a variável e $p\in\N_0$. Chama-se centro da série ao ponto $x_0\in\R$ e coeficientes da série aos termos da sucessão $(a_n)$.

🧠 Pode-se sempre considerar $p=0$, se considerarmos os coeficientes ${a_0=a_1=\dots=a_{p-1}=0}$.

Primeiro Teorema de Abel

Seja

$$\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}$$

uma série de potências. Se a série converge para $x_1\in\R$ então converge absolutamente para ${x\in V_r(x_0)}$, onde $r=\left| x_1-x_0\right|$.

Mais ainda, existe o limite

$$R=\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |}} \in \mathbb{R}^{+}_{0} \cup \{+\infty \}$$

• Se $R>0$, a série é convergente para $x\in V_R(x_0)$;
• Se $R<+\infin$, a série é divergente para $x\in ] -\infty ,\ x_{0} -R[ \cup ] x_{0} +R,\ +\infty [$

👉 O teorema de Abel estabelece qual o domínio de convergência de qualquer série de potências, exceto em dois pontos, em que nada se sabe da sua natureza: $x_0\pm R$.

O símbolo $\overline{\lim}u_n$ representa o limite superior de $u_n$, isto é, o supremo em $\overline\R$ dos sublimites de $(u_n)$.

Sempre que $a_n=0$ para $n\ge n_0$ para algum $n_0\in\N^+$, a série é truncada e, por isso, uma função polinomial. Logo, o seu domínio de convergência será $\R$.

Raio de convergência de uma série de potências

Dada uma série de potências de coeficientes $a_n$, sempre que exista o limite

$$\lim \frac{|a_{n} |}{|a_{n+1} |}$$

tem-se que o raio de convergência da série, $R$, tem o valor desse limite.

Este é um método bastante mais simpático de calcular o raio de convergência do que o teorema de Abel, e funciona a maior parte das vezes.

Podemos assim retirar algumas observações:

• O raio de convergência existe sempre, para qualquer série de potências. Como é um limite pode ser 0, um número real positivo ou $+\infin$.
• A fórmula simplificada para o raio, que funciona a maior parte das vezes, pode gerar alguma confusão na mente desprevenida pois é, formalmente, o inverso algébrico do limite que é necessário calcular para aplicar o critério de D’Alembert.
• O raio de convergência e o centro permitem caracterizar o domínio de convergência, com possível exceção de dois pontos.

Exemplos

Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }\left(\frac{1}{2^{n} +1} \cdot x^{n}\right)$$

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo $a_{n} =\frac{1}{2^{n} +1}$ e o centro da série é o ponto $x_0=0$.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{1}{2^{n}+1}}{\frac{1}{2^{n+1}+1}}=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n}+1}=\frac{2+2^{-n}}{1+2^{-n}} \longrightarrow 2$$

Logo, $R=2$.

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Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }\frac{( 2x-2)^{n}}{n+1}$$

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

$$\sum ^{\infty }\frac{( 2x-2)^{n}}{n+1} =\sum ^{\infty }\left(\frac{2^{n}}{n+1}( x-1)^{n}\right)$$

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo $a_{n} =\frac{2^{n}}{n +1}$ e o centro da série é o ponto $x_0=1$.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

$$\frac{\frac{2^{n}}{n+1}}{\frac{2^{n+1}}{n+2}} =\frac{1}{2} \times \frac{n+2}{n+1} =\frac{1}{2} \times \frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow \frac{1}{2}$$

Logo, $R=\frac 12$

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Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}$$

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

$$\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} =\sum ^{\infty }\frac{1}{n!} \cdot x^{n}$$

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo $a_{n} =\frac1{n!}$ e o centro da série é o ponto $x_0=0$.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

$$\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{( n+1) !}} =n+1\rightarrow +\infty$$

Logo, $R=+\infin$

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Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }(nx)^n$$

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

$$\sum ^{\infty }(nx)^n=\sum ^{\infty }n^n\cdot x^n$$

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo $a_{n} =n^n$ e o centro da série é o ponto $x_0=0$.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

$$\frac{n^{n}}{( n+1)^{n+1}} =\frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\rightarrow 0$$

Logo, $R=0$

Domínio de convergência

É fácil determinar o domínio de convergência, após saber o raio de convergência.

Podem existir 3 casos:

• $R=0\implies D=\{x_0\}$
• $R=+\infin\implies D=\R$
• $R\in\R^+\implies I=\left] x_0-R,\ x_0+R\right[$, a que se chama intervalo de convergência.

Neste último caso, é necessário ainda estudar, à parte, a natureza dos extremos de $I$. O intervalo de convergência é sempre um intervalo aberto. Pode-se também concluir que a série é sempre divergente para $x\in\left]-\infin,\ x_0-R\right[\cup\left] x_0+R,\ +\infin\right[$ e absolutamente convergente em $I$.

👉 As séries de potências não podem ser absolutamente convergentes num extremo sem o serem também no outro.

Exemplos

Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}$$

O centro da série é $x_0=0$. Pode-se calcular o raio de convergência pelo limite:

$$\frac{\frac{1}{n2^{n}}}{\frac{1}{( n+1) 2^{n+1}}} =2\cdot \frac{n+1}{n}\rightarrow 2$$

Então, a série é absolutamente convergente em $]x_0-R,\ x_0+R[=]-2,\ 2[$ e divergente em $]-\infin,\ -2[\cup]2,\ +\infin[$.

Estuda-se assim a natureza da série nos pontos que faltam $(-2,\ 2)$. Começa-se por $x=2$:

$$\sum ^{\infty }\frac{2^{n}}{n2^{n}} =\sum ^{\infty }\frac{1}{n}$$

Sabemos que é divergente por ser uma série de Dirichlet com $\alpha\le1$.

Para $x=-2$:

$$\sum ^{\infty }\frac{( -2)^{n}}{n2^{n}} =\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n}}{n}$$

Sabemos que é simplesmente convergente por um exemplo anterior (secção da convergência absoluta e simples de séries numéricas).

Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente em $]-2,\ 2[$, simplesmente convergente em $x=-2$ e divergente em $]-\infin,\ -2[\cup[2,\ +\infin[$.

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Seja a série de potências:

$$\sum ^{\infty }\frac{( x-1)^{n}}{3^{n} n^{2}}$$

O centro da série é $x_0=1$. Pode-se calcular o raio de convergência pelo limite:

$$\frac{\frac{1}{3^{n} n^{2}}}{\frac{1}{3^{n+1}( n+1)^{2}}} =3\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\rightarrow 3$$

Então, a série é

• absolutamente convergente em $]-2,\ 4[$
• divergente em $]-\infin,\ -2[\cup]4,\ +\infin[$
• não se sabe (ainda) em $x=-2$ e $x=4$.

Para $x=-2$:

$$\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n}}{n^{2}}$$

A série dos módulos é uma série de Dirichlet com $\alpha=2>1$, logo a série para $x=-2$ é absolutamente convergente.

Para $x=4$:

$$\sum ^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

É absolutamente convergente.

Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente em $[-2,\ 4]$ e divergente em $]-\infin,\ -2[\cup]4,\ +\infin[$.

Soma e produto de séries de potências

É necessário, tanto para a soma como para o produto, que as séries tenham o mesmo centro.

Soma

A série obtida tem o mesmo centro e o mesmo raio de convergência das séries operandas.

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

Produto por um real

A série obtida tem o mesmo centro e o mesmo raio de convergência da série dada, exceto se ${k=0}$.

$$k\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (k\cdot a_{n})\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

Produto entre duas séries

Usando o produto de Cauchy e o Teorema de Mertens, obtém-se uma série com o mesmo centro e o mesmo raio de convergência das séries operandas.

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) \cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(a_{n-k} b_{k}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n-k+k} \\=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

Simplificação termo geral

Sendo a série:

$$\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n} x^{2n}$$

Pode-se escrever a série da forma:

$$a_{0} +a_{1} x^{2} +a_{2} x^{4} +\dotsc +a_{n} x^{2n}\\ a_0+0x+a_1x^2+0x^3+a_2x^4+\dotsc+a_nx^{2n}\\ b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+b_4x^4+\dotsc+b_{2n}x^{2n}$$

Obtém-se, assim, a expressão dos coeficientes da série dados por:

$$\begin{cases}a_{\frac{n}{2}} & \text{se} & n\text{ é par}\\0 & \text{se} & n\text{ é ímpar}\end{cases}$$

No entanto, para estes coeficientes não se pode aplicar a fórmula simplificada do raio de convergência. Então:

$$\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |} =R^{-1}_{1} ,\\\\R=\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|b_{n} |}} =\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[2n]{|b_{2n} |}} =\sqrt{\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |}}} =\sqrt{R_{1}}$$

Também se pode fazer uma "mudança de variável":

$$y=x^{2}\\\\\text{Converge se:}\\y\in V_{R_{1}}( 0) \Leftrightarrow |y|< R_{1} \Leftrightarrow x^{2} < R_{1} \Leftrightarrow |x|< \sqrt{R_{1}}\\\text{Diverge se:}\\|y| >R_{1} \Leftrightarrow x^{2}  >R_{1} \Leftrightarrow |x| >\sqrt{R_{1}}$$

Exemplo

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{n}$$

Pode-se escrever esta série como uma série de potências, fazendo a mudança de variável:

$$y=\frac{x-1}{x+1}$$

Esta série é absolutamente convergente se $|y|<1$ e divergente se $|y|>1$.

Então a série converge absolutamente se

$$\left| \frac{x-1}{x+1}\right| < 1\Leftrightarrow |x-1|< |x+1|\Leftrightarrow x >0$$

Pode-se fazer o mesmo para estudar a divergência (vai dar $x<0$).

Quando $x=0$, a série vai ser simplesmente convergente.

Funções analíticas

Função analítica num ponto

Dados $x_0\in\R$ e uma função $f: V_r(x_0)\to \R$, para algum $r\in\R^+$, diz-se que $f$ é analítica em $x_0$ se existe uma sucessão de coeficientes $(a_n)$ tal que

$$f( x) =\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}$$

para qualquer $x\in V_R(x_0)$, para algum $R\in\R^+$ tal que $R\le r$.

Se $r=R=+\infin$ então a função diz-se inteira.

• Uma função nunca é apenas analítica em $x_0$ (pela analiticidade das séries de potências, abaixo)
• A sucessão $(a_n)$ é única, isto é, para uma determinada função, não é possível encontrar uma sucessão diferente que esteja também correta.

A demonstração destas duas propriedades encontra-se no PDF da aula 31, páginas 7 e 8.

Analiticidade das séries de potências no interior do seu intervalo de convergência

Seja $f$ uma função analítica em $x_0$ que admite uma representação em série de potências de ${x-x_0}$ com raio de convergência $R$. Então, $f$ é analítica em todos os pontos de $V_R(x_0)$.

Unicidade da representação em série de potências

Seja $f$ uma função analítica num ponto $x_0\in\R$. Então, existe uma e uma só sucessão de coeficientes $(a_n)$ tal que

$$f( x) =\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}$$

Obviamente, para um ponto $x_1\ne x_0$, isto já não é verdade, e as sucessões de coeficientes são, normalmente, diferentes.

Continuidade das funções analíticas

Seja $f$ uma função analítica em $x_0\in\R$ cuja série de potências de $x-x_0$ converge num intervalo $V_R(x_0)$, para algum $R\in\R^+$. Então, $f$ é contínua em $V_R(x_0)$.

A demonstração encontra-se no PDF da aula 31, páginas 8 e 9.

Diferenciabilidade das funções analíticas

Seja $f$ uma função analítica num ponto $x_0\in\R$ tal que a respetiva representação em série de potências de $x-x_0$ tem coeficientes $a_n$ e converge em $V_R(x_0)$, para algum $R\in\R^+$. Então, $f\in C^\infin(V_R(x_0))$ e as suas derivadas podem ser determinadas derivando o termo a termo a série de representa $f$.

A demonstração encontra-se no PDF da aula 31, página 9.

Assim, todas as funções analíticas são extremamente regulares, e as funções inteiras são extremamente regulares em todo o $\R$.

Conclui-se também:

$$f(x_0)=a_0\quad,\quad f'(x_0)=a_1\quad,\quad f''(x_0)=2a_2\quad,\quad\dots\quad,\quad f^{(n)}(x_0)=n!a_n$$

Funções inteiras

Esta nova forma de representar algumas funções já conhecidas, permite-nos calcular a soma de séries através do valor destas funções, que muito provavelmente é conhecido.

Abaixo encontram-se alguns exemplos de funções já estudadas que são, na verdade, funções inteiras:

$$e^x=\sum^{\infin}_{n=0}\frac{x^n}{n!}\quad,\quad x\in\R$$

Facilmente se pode concluir que se consegue somar algumas séries que anteriormente era impossível:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n !}=\mathrm{e}^{2} \quad \text { e } \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n !}=\mathrm{e}-2$$

Também as funções trigonométricas, $\sin$, $\cos$, $\sh$ e $\ch$ podem ser escritas como funções inteiras:

$$\operatorname{sen} x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$ $$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n} \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$ $$\operatorname{sh} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} \quad , \quad x \in \mathbb{R}$$ $$\operatorname{ch} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n} \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Novamente, podemos usar estas novas funções para calcular somas de séries:

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\frac{( -1)^{n}( \pi )^{2n}}{4^{n}( 2n) !} =\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\frac{( -1)^{n}}{( 2n) !}\left(\frac{\pi }{2}\right)^{2n}\right) =\cos\left(\frac{\pi }{2}\right) -1=-1$$

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PDFs:

• Aula 30
• Aula 31