Continuidade

A mesma definição pode ser escrita $|x-a|<r\land x\in D_f\Rightarrow |f(x)-f(a)|<R$.

Também pode ser escrita na forma $f(V_r(a)\cap D_f)\subset V_r(f(a))$.

Uma função $f$ é contínua num ponto $a$ do seu domínio se e só se $f\big|_{V_r(a)}$ é contínua em $a$, para algum $r\in\R^+$.

No PDF da aula 9 em anexo, páginas 12 e 13, encontram-se alguns exemplos de continuidade.

Continuidade Pontual

Função Heaviside

Esta função modela o comportamento de um interruptor, definida por:

Começa-se por estudar a continuidade em $\R \backslash \{0\}$. Como a função é constante em $x>0$ e $x~<~0$, podemos assumir uma vizinhança de raio menor que o valor absoluto de $x_0$ (isto é, $r < |x_0|$). Desta forma, todos os valores na vizinhança vão ser iguais a $H(x_0)$ (isto é, de valor 1 para $x_0>0$ e valor 0 para $x < 0$). Logo, a função é contínua em $\R\backslash\{0\}$.

Estudando agora a continuidade em $x=0$, podemos concluir que, considerando $R=\frac 1 2$, não existe nenhum ponto de $x\in\R\backslash\{0\}$ tal que $H(x)\in V_R(f(0))$, e portanto, não pode existir nenhum $r\in\R^+$ tal que $x\in V_r(0)\Rightarrow H(x)\in V_R(f(0))$. Concluímos assim que $H$ não é contínua em 0.

Função de Dirichlet

A função de Dirichlet é definida por:

Não é possível desenhar o gráfico desta função, visto que o seu aspeto seria o de duas retas paralelas devido à densidade dos racionais e irracionais em $\R$, mas este é definido por:

Para estudar a continuidade, considera-se um qualquer $x_0\in\R$ e $R=\frac 1 2$. Para qualquer $r\in\R^+$,

e então a função $D$ não é contínua em $x_0$.

Conclui-se assim que a função de Dirichlet é descontínua em todos os pontos de $\R$.

Função Seno

Para estudar a continuidade da função seno, definida por:

podemos considerar um $x_0\in\R$.

A função $f$ é contínua em $x_0$ se for possível, para cada $R\in\R⁺$, determinar um $r\in\R⁺$ tal que $x\in V_r(x_0)\Rightarrow\sin x \in V_R(\sin x_0)$.

Esta implicação é equivalente a:

Como sabemos que $|\cos \alpha|\le 1$, podemos escrever que:

E como $|\sin\alpha| \le\alpha$:

Então, se assumirmos que $r=R$:

podemos concluir que $f$ é contínua em $x_0$ e, consequentemente, a função seno é contínua em $\R$.

Continuidade segundo Heine

Seja $D_f\subset \R, f:D_f\rightarrow\R$ uma função real de variável real e $x_0\in D_f$, $f$ é contínua em $x_0$ se e só se para qualquer sucessão de termos em $D_f$ e convergente para $x_0$ se tem $f(x_n)\rightarrow f(x_0)$

Pode-se concluir através desta definição que uma sucessão é sempre contínua, assim como qualquer função definida num ponto isolado do seu domínio é contínua nesse ponto.

Continuidade com operações algébricas

Sejam $D_f,D_g\subset\R, f:D_f\rightarrow \R$ e $g:D_g\rightarrow \R$ duas funções reais de variável real, $\alpha \in \R$ e $x_0\in D_f\cap D_g$. Então, se $f$ e $g$ são contínuas em $x_0$:

• $f\pm g$, $\alpha f$, $f\cdot g$, $|f|$ são contínuas em $x_0$
• Se $n$ ímpar, $\sqrt[n]f$ é contínua em $x_0$
• Se $g(x_0)\ne 0$, $\frac f g$ é contínua em $x_0$
• Se $f(x_0)>0$, $f^g$ é contínua em $x_0$
• Se $f(x_0)\ge 0$ (e $n$ par), $\sqrt[n]f$ é contínua em $x_0$

Continuidade da composta

Sejam $D_f,D_g\subset\R, f:D_f\rightarrow \R$ e $g:D_g\rightarrow \R$ duas funções reais de variável real e $x_0\in D_f$ tal que $f(x_0)\in D_g$. Então, se $f$ é contínua em $x_0$ e $g$ é contínua em $f(x_0)$, a função composta $g\circ f$ é contínua em $x_0$.

A partir desta definição, pode-se concluir que as funções trigonométricas e hiperbólicas são contínuas no seu domínio, basta recorrer à aplicação do teorema anterior às funções necessárias.

Exemplos da aplicação deste teorema encontram-se no PDF da aula 10 em anexo, página 6.

Prolongamento contínuo de uma função

Prolongamento contínuo ($\tilde f$) de uma função: Seja $D_f\subset\R, f: D_f\rightarrow\R$ uma função real de variável real e $x_0\in\overline{D_f}$, diz-se que $f$ é prolongável por continuidade em $x_0$ se existe uma função $\tilde f$ definida em $D_f\cup\{x_0\}$ que coincide com $f$ em todos os pontos de $D_f$ e é contínua em $x_0$. Chama-se a uma função $\tilde f$ nessas condições, prolongamento contínuo de $f$ em $x_0$.

Daqui podem-se extrair algumas propriedades:

• O prolongamento contínuo de uma função num ponto, se existir, é único.
• Qualquer função continua num ponto $x_0$ tem prolongamento contínuo nesse ponto, sendo este a própria função.
• Considerando $a\in\R\backslash \overline{D_f}$, podem-se definir extensões da função $f$ a $D_f\cup\{a\}$ que são funções contínuas. Esta extensão, no entanto, não é única e não se trata de um prolongamento contínuo em $a$.

Limite num ponto

Limite num ponto segundo Cauchy

Seja $D_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R$ uma função real de variável real e $x_0 \in\overline{D_f}$. O limite de $f$ no ponto $x_0$ é $b\in\R$ se e só se, para qualquer $R\in\R^+$, existe um $r\in\R⁺$ tal que, para qualquer $x\in D_f$

Limite num ponto segundo Heine

Seja $D_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R$ uma função real de variável real e $x_0 \in\overline{D_f}$. O limite de $f$ no ponto $x_0$ é $b\in\R$ se e só se, para qualquer sucessão ($x_n$) de termos em $D_f$ e convergente para $x_0$ se tem $f(x_n)\rightarrow b$.

Unicidade do limite

Seja $D_f\subset\R, f:D_f\rightarrow \R$ uma função real de variável real e $x_0 \in\overline{D_f}$. Se, para alguns, $a,b \in\R$,

então, $a=b$.

Um limite, caso exista, é único.

Calcular limite numa função contínua

Numa função contínua, o limite num ponto pode-se obter determinando o valor da função nesse ponto: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$.

Propriedades de limites num ponto

• Se $f$ e $g$ são contínuas em $x_0\in D_f\cap D_g$ e $f(x_0)<g(x_0)$ então $f(x)<g(x)$ para qualquer $x\in V_r(x_0)\cap D_f \cap D_g$ para algum $r\in\R^+$.
• Se existem $a,b\in\R$ e $x_0\in \overline{D_f}\cap\overline{D_g}$ tais que $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a$ e $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b$ e $a < b$, então $f(x)<g(x)$ para qualquer $x\in V_r(x_0)\cap D_f \cap D_g$, para algum $r\in\R^+$.
• Se $x_0 \in \overline {D_f}\cap\overline {D_g}$, $f(x)\le g(x)$ para todo o $x\in V_r(x_0)\cap D_f\cap D_g$ para algum $r\in\R^+$, então, se existirem $a,b, \in \R$ tais que $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a$ e $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b$, tem-se que $a\le b$.
• A propriedade anterior também se verifica para $f(x) <g(x)$.

Consequências da definição de limite

Relação função contínua e limitada

Seja $f$ uma função de domínio $D_f$ com limite $b\in\R$ num ponto $a\in\overline{D_f}$. Então, $f$ é limitada numa vizinhança de $a$, ou seja, existe um $r\in\R^+$ tal que $f\big|_{D_f\cap V_r(a)}$ é uma função limitada.

Seja $f$ uma função de domínio $D_f$ contínua em $a\in D_f$. Então, $f$ é limitada numa vizinhança de $a$.

Unicidade do limite

Tal como já vimos, um limite, se existir, é único. Podemos aplicar esta propriedade ao estudo do limite de uma função num ponto:

Considerando a seguinte função

Para provar que esta função não tem limite para $x\rightarrow 0$, podemos recorrer também à definição de Heine.

Seja $(x_n)$ a sucessão de termo geral $x_n=\frac 1 {2n\pi}$. Como $x_n\rightarrow 0$, o limite de $f$ na origem, se existir, terá de ser igual a

No entanto, se considerarmos a sucessão $(y_n)$ de termo geral $\displaystyle y_n=\frac 1{\frac \pi 2 + 2n\pi}$, em que $y_n\rightarrow 0$, o limite de $f$ na origem teria de ser também igual a

Como o limite, se existir, é único, e $0\ne 1$, podemos concluir que não existe limite de $f$ para $n\rightarrow~0$.

Limite da composta

O limite da composta é a composição dos limites, desde que o ponto em questão esteja no fecho do domínio da composta.

Podemos verificar esta afirmação através do seguinte exemplo, considerando a composta $g\circ f$:

Facilmente se verifica de que $0\in\overline{D_f}$ e que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. Do mesmo modo, $0\in\overline {D_g}$ e $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0$ (atenção que o $0$ aqui referido é o resultado do limite em $f$, e não do $0$ inicial).

No entanto, ao calcular o domínio da composta, chegamos a

e claramente que $0$ não é aderente a esse domínio.

Logo, o limite de $0$ em $g\circ f$ não faz sentido.

Teorema das funções enquadradas

Sejam $D_{f}, D_{g}, D_{h}\subset \R$, $f:D_f\rightarrow \R$, $g:D_g\rightarrow \R$, $h: D_h\rightarrow\R$ e $a\in\overline\R$ tal que, para algum $r\in\R^+$, $(V_r(a)\backslash\{a\})\subset(D_f\cap D_g\cap D_h)$.

Se, para qualquer, $x\in V_r(a)\backslash\{a\}$,

e

então

Resumidamente, se num certo ponto, a função $f$ estiver enquadrada entre duas outras funções $g$ e $h$ tal que os limites destas últimas são iguais, $f$ também vai ter esse valor para o limite nesse certo ponto.

Limite de uma função num ponto relativo a um conjunto

Seja $D_f\in\R$, $f:D_f\rightarrow \R$ uma função real de variável real e $A\subset D_f$. Se $a\in\overline A$, chama-se limite de $f$ em $a$ relativo ao conjunto $A$ ao limite em $a$ da restrição de $f$ a $A$, caso este exista.

O limite de uma função $f$ num ponto $a$ existe se e só se ele existe e tem o mesmo valor segundo qualquer conjunto contido no domínio de $f$ ao qual $a$ seja aderente.

Um exemplo da aplicação desta propriedade encontra-se no PDF da aula 11 em anexo, página 6.

Limites laterais

Podem-se definir os limites laterais de uma função à direita e à esquerda de um ponto $a$, como sendo os limites, caso estejam bem definidos,

Um exemplo da aplicação de limites laterais numa função com ramos está disponível no PDF da aula 11 em anexo, página 7.

Continuidade lateral

Diz-se que uma função $f:D_f\rightarrow \R$ é contínua à direita de um ponto $a\in D_f$ se, sendo $A_d=~D_f\cap ]a,a+r[, a\in\overline{A_d}$, para algum $r\in\R^+$, e $f\big|_{A_d}$ tem prolongamento contínuo em $a$, ou seja, existe $f(a^+)$ e $f(a^+)=f(a)$.

Diz-se que uma função $f:D_f\rightarrow \R$ é contínua à esquerda de um ponto $a\in D_f$ se, sendo $A_e=~D_f\cap ]a-r,a[, a\in\overline{A_e}$, para algum $r\in\R^+$, e $f\big|_{A_e}$ tem prolongamento contínuo em $a$, ou seja, existe $f(a^-)$ e $f(a^-)=f(a)$.

Resumidamente, uma função é contínua à direita se $f(a^+)=f(a)$ e é contínua à esquerda se $f(a^-)=f(a)$.

Limites em $\overline\R$

Há duas situações em que podem surgir limites em $\overline\R$ no estudo das funções:

• O "ponto" em que se está a calcular o limite é $\pm\infin$.
• O valor do limite é $\pm\infin$.

$\pm\infin$ no fecho de um conjunto em $\overline\R$:

• Diz-se que $+\infin$ está no fecho de um conjunto $A\subset\R$ se $A$ não é majorado.
• Diz-se que $-\infin$ está no fecho de um conjunto $A\subset\R$ se $A$ não é minorado.

Limite em $\overline\R$ de uma função segundo Heine

Seja $f : D_f \rightarrow \R$ uma função real de variável real. Se $x_0 \in \overline\R$ está no fecho de $D_f$, diz-se que o limite de $f$ em $x_0$ é $b \in \overline\R$ se, para qualquer sucessão com limite $x_0$ e termos em $D_f$, se tem $\lim f(x_n) = b$.

Exemplo

Pretende-se descobrir se a função $f$ é limitada:

$$f:\R\rightarrow\R\quad,\quad f(x)=1-e^{-x^2}$$

Pode-se concluir que a função é contínua em $\R$ por ser a soma e composta de funções contínuas. Assim, $f$ tem limite finito em qualquer ponto de $\R$. Isto diz-nos que a função é limitada em qualquer conjunto limitado.

Falta-nos assim verificar se a função é limitada em vizinhanças de $\pm\infin$.

Podemos verificá-lo através do limite da função segundo Heine. Escolhe-se assim uma qualquer sucessão tal que $u_n\rightarrow +\infin$:

$$f(+\infin)=\lim_{x\rightarrow+\infin}f(x)=f(u_n)\rightarrow 1-e^{-\infin}=1-0=1$$

Podemos fazer o mesmo para $-\infin$, escolhendo uma qualquer sucessão tal que $u_n\rightarrow -\infin$:

$$f(-\infin)=\lim_{x\rightarrow-\infin}f(x)=f(u_n)\rightarrow 1-e^{-\infin}=1-0=1$$

Podemos concluir assim que a função $f$ é limitada em $\R$.

Vizinhança de infinito

Define-se a vizinhança de raio $R\in\R^+$ de $+\infin$ como sendo o conjunto

Define-se a vizinhança de raio $R\in\R^+$ de $-\infin$ como sendo o conjunto

Limite num ponto segundo Cauchy, em $\overline\R$

Semelhantemente ao que já foi definido anteriormente, define-se agora o limite num ponto segundo Cauchy para $\overline\R$. Assim:

Sejam $D_f\subset\R$, $f:D_f\rightarrow\R$ uma função real de variável real e $x_0\in\overline\R$ no fecho de $D_f$. O limite de $f$ no ponto $x_0$ é $b\in\overline\R$ se e só se para qualquer $R \in R^+$ existe um $r\in\R^+$ tal que, para qualquer $x\in D_f$,

Propriedades de limites num ponto, em $\overline\R$

Algumas das propriedades anteriormente vistas para limites num ponto também se estendem para limites em $\overline\R$:

• Se $x_0 \in \overline {D_f}\cap\overline {D_g}$, $f(x)\le g(x)$ para todo o $x\in V_r(x_0)\cap D_f\cap D_g$ para algum $r\in\R^+$, então, se existirem $a,b, \in \overline\R$ tais que $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a$ e $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=b$, tem-se que $a\le b$.
• A propriedade anterior também se verifica para $f(x) <g(x)$.

Limite da composta, em $\overline\R$

Sejam $D_f, D_g\subset \R$, $f : D_f\rightarrow\R$ e $g:D_g\rightarrow\R$ tais que $f(D_f)\cap D_g\ne \empty$. Seja, ainda, $a \in~\overline\R$ no fecho de $D_f$ tal que o limite de $f$ em $a$ existe, tem valor $b \in \overline\R$ e $b$ está no fecho de $D_g$. Suponha-se, ainda, que o limite de $g$ em $b$ existe e tem o valor $c\in\overline\R$ e que $a$ está no fecho do domínio de $g\circ f$. Então, existe o limite de $g \circ f$ em $a$ e tem o valor $c$.

Por outras palavras, assumindo que os valores em causa pertencem devidamente aos respetivos domínios:

Operações algébricas, em $\overline\R$

Tal como aconteceu nas sucessões, as operações algébricas entre funções são facilmente estendidas a $\overline\R$. Apenas é preciso ter atenção à existência de limite para todas as funções intervenientes e de (não haver) indeterminações.

Limite em $\overline\R$ de uma função num ponto relativo a um conjunto

Este teorema anteriormente definido, também se estende para $\overline\R$.

Através desta extensão do teorema, verifica-se imediatamente que os limites em $\pm\infin$ são, por definição, limites laterais.

Existência de limites laterais para as monótonas, em $\overline\R$

Existência de limites laterais para as monótonas: Qualquer função monótona num intervalo, tem limites laterais em todos pontos $a\in\overline\R$ que estejam no fecho desse intervalo.

É de salientar que é possível que os limites laterais sejam infinitos nos extremos desse intervalo.

Levantamento de indeterminações

Em geral, as técnicas utilizadas para levantar indeterminações nas sucessões podem ser utilizadas no cálculo de limites de funções.

Apresentam-se algumas exceções:

• Todas as técnicas que utilizam, nas sucessões, o cálculo de limites que incluem $u_{n+1}$ e $u_n$ não têm equivalente direto para as funções.
• Surgem as técnicas de fatorização para levantar indeterminações do tipo $\frac 0 0$ quando o ponto onde se calcula o limite é finito.

No documento da aula 12 em anexo, páginas 5 e 6, encontram-se dois exemplos da aplicação das técnicas de fatorização no cálculo de limites em funções.

Escala de funções

Pode-se também "importar" a escala de sucessões para funções, com atenção de que o fatorial não pode ser utilizado com funções reais de variável real:

Limites notáveis

Podem também ser importados das sucessões alguns limites notáveis, tais como:

Exemplo disponível no PDF da aula 12, página 7.

Outro limite notável que também é valido é:

Continuidade em conjuntos (continuidade global)

Teorema do valor intermédio (TVI)

Outra propriedade derivada deste teorema é a seguinte:

• Uma função contínua transforma intervalos em intervalos.

Este teorema tem também uma "espécie" de recíproco:

Teorema de Bolzano

Este teorema, já conhecido do Ensino Secundário, é bastante parecido ao Teorema do Valor Intermédio.

A maior diferença entre o Teorema de Bolzano e o Teorema do Valor Intermédio é que o de Bolzano não pode ser aplicado diretamente a uma função contínua num intervalo $]a,b[$ e o TVI pode.

Continuidade da inversa

Através deste teorema, podemos concluir que o logaritmo, o arco seno, o arco cosseno, o arco tangente, o arco cotangente, o argumento do seno hiperbólico, o argumento do cosseno hiperbólico e o argumento da tangente hiperbólica são todas funções contínuas.

Teorema de Weierstrass

Outra forma de escrever este teorema é:

• Uma função contínua transforma conjuntos compactos em conjuntos compactos.

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PDFs:

• Aula 9
• Aula 10
• Aula 11
• Aula 12