Funções

Definição

Função real de variável real
Chama-se função real de variável real a qualquer correspondência ff que a cada valor de um conjunto ARA \subset \mathbb R faz corresponder um e um só elemento de um conjunto BB.
Chama-se domínio ao conjunto AA e conjunto de chegada ao conjunto BB.
Para indicar explicitamente o domínio e o conjunto de chegada de ff usa-se a notação f:ABf:A\rightarrow B.

Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade

Definição

Seja f:ABf:A\rightarrow B uma função real de variável real. Diz-se que:

  • ff é injetiva se não existem dois elementos de AA com a mesma imagem, ou seja, se para quaisquer x1,x2Ax_1,x_2\in A se tem f(x1)=f(x2)x1=x2f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
  • ff é sobrejetiva se f(A)=Bf(A)=B, ou seja, se para qualquer yBy\in B existe um xAx\in A tal que f(x)=yf(x)=y.
  • ff é bijetiva se ff é simultaneamente injetiva e sobrejetiva

Se ff é bijetiva, diz-se que ff é invertível, isto é, que admite uma inversa: f1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x.

Por vezes, as funções podem-se tornar bijetivas fazendo restrições e extensões:

Definições

Restrição e Extensão
Seja f:ABf:A\rightarrow B uma função real de variável real.

  • Dado um conjunto A1AA_1\subset A chama-se restrição de ff a A1A_1 à função fA1:A1Bf|_{A_1}:A_1\rightarrow B, fA1(x)=f(x)f|_{A_1}(x)=f(x) para qualquer xA1x\in A_1.
  • Dado um conjunto A2AA_2\supset A diz-se que f2f_2 é uma extensão de ff a A2A_2 se f2:A2Bf_2:A_2\rightarrow B e ff é uma restrição de f2f_2 a AA.

Função Composta

Definição

Composição de funções
Sejam A1A_1, B1B_1, A2A_2, B2RB_2 \subset \mathbb R, f:A1B1f:A_1\rightarrow B_1 e g:A2B2g:A_2\rightarrow B_2 funções reais de variável real tais que f(A1)A2f(A_1)\cap A_2\ne \empty.
Sendo A3=f1(A2B1)A_3=f^{-1}(A_2\cap B_1), chama-se composta de gg com ff, e representa-se por gfg \circ f , à função:

gf:A3B2,(gf)(x)=g(f(x))g \circ f:A_3\rightarrow B_2\quad, \quad (g\circ f)(x)=g(f(x))

É de notar que, pela definição, os conjuntos A1A_1, A2A_2 e A3A_3 não podem ser vazios.

Exemplo
f:[2,2[Rf(x)=(x1)21g:R0+Rg(x)=x+1f:[-2,2[\rightarrow \R \qquad f(x)=(x-1)^2-1\\g:\R^+_0\rightarrow \R\qquad g(x)=x+1

Comecemos por descobrir o domínio da composta gfg\circ f:

f1(R0+)={x[2,2[:f(x)0}={x[2,2[:x11}=[2,0]f^{-1}(\R^+_0)=\big\{x\in[-2,2[:f(x)\ge 0\big\}=\big\{x\in[-2, 2[:|x-1|\ge 1\big\}=[-2,0]

De seguida, descobrimos a expressão de transformação:

(gf)(x)=g(f(x))=g((x1)21)=(x1)2(g\circ f)(x)=g(f(x))=g((x-1)^2-1)=(x-1)^2

Portanto, a composta gfg\circ f é definida por:

gf:[2,0]R(gf)(x)=(x1)2g\circ f:[-2,0]\rightarrow \R\\ (g \circ f)(x)=(x-1)^2

Podemos fazer a mesma coisa para a composta fgf\circ g:

g1([2,2[)={xR0+:2g(x)<2}=[0,1[(fg)(x)=f(g(x))=f(x+1)=x21g^{-1}([-2,2[)=\big\{x\in\R_0^+:-2\ge g(x) < 2\big\}=[0,1[\\ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=x^2-1

Portanto, a composta fgf\circ g é definida por:

fg:[0,1[R(fg)(x)=x21f\circ g:[0, 1[\rightarrow \R\\ (f\circ g)(x)=x^2-1

Definição alternativa de função inversa

Pode-se também usar a seguinte notação para caracterizar a função inversa, sendo f:ABf:A\rightarrow B:

(f1f)(x)=x,xA(ff1)(x)=x,xB(f^{-1} \circ f)(x)=x,\quad\forall x\in A\\ (f \circ f^{-1})(x)=x,\quad\forall x\in B

Operações algébricas entre funções

Sejam Df,DgRD_f, D_g\subset \R e f:DfRf: D_f\rightarrow \R e g:DgRg: D_g\rightarrow \R duas funções reais de variável real.

Função soma

(f+g):(DfDg)R(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g):(D_f\cap D_g)\rightarrow\R\\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Função multiplicação

Seja αR\alpha\in\R:

(αf):DfR(αf)(x)=α(f(x))(\alpha f):D_f\rightarrow \R\\ (\alpha f)(x)=\alpha(f(x))

Função produto

(fg):(DfDg)R(fg)(x)=f(x)g(x)(f\cdot g):(D_f\cap D_g)\rightarrow\R\\ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)

Função quociente

(fg):(Dfg1(R\{0}))R(fg)(x)=f(x)g(x)\bigg(\frac f g\bigg):(D_f \cap g^{-1}(\R \backslash \{0\}))\rightarrow\R\\ \bigg(\frac f g\bigg)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

Para mais fácil interpretação, pode-se ler g1(R\{0})g^{-1}(\R\backslash\{0\}) como {xDg:g(x)0}\{x \in D_g: g(x)\ne0\}.

Função módulo

f:DfR(f)(x)=f(x)|f|:D_f\rightarrow\R\\ (|f|)(x)=|f(x)|

Função potência

(fg):(Dgf1(R+))R(fg)(x)=(f(x))g(x)(f^g):(D_g\cap f^{-1}(\R^+))\rightarrow \R\\ (f^g)(x)=(f(x))^{g(x)}

Para mais fácil interpretação, pode-se ler f1(R+)f^{-1}(R^+) como {xDf:x>0}\{x\in D_f: x > 0\}.

Função limitada

Sejam DfRD_f\subset \R, não vazio, e f:DfRf:D_f\rightarrow\R uma função real de variável real. Diz-se que:

  • ff é majorada se o conjunto f(Df)f(D_f) é majorado. Nesse caso diz-se que qualquer majorante desse conjunto é majorante de ff e diz-se que o supremo de ff, sup f\text{sup }f, é o supremo de f(Df)f(D_f). Se sup ff(Df)\text{sup }f\in f(D_f) diz-se ainda que ff tem máximo e escreve-se max f=sup f\text{max }f=\text{sup }f.
  • ff é minorada se o conjunto f(Df)f(D_f) é minorado. Nesse caso diz-se que qualquer minorante desse conjunto é minorante de ff e diz-se que o ínfimo de ff, inf f\text{inf }f, é o ínfimo de f(Df)f(D_f). Se inf ff(Df)\text{inf }f\in f(D_f) diz-se ainda que ff tem mínimo e escreve-se min f=inf f\text{min }f=\text{inf }f.
  • ff é limitada se ff é majorada e ff é minorada

Função monótona

Sejam DfRD_f\subset \R, não vazio, e f:DfRf:D_f\rightarrow\R uma função real de variável real. Diz-se que:

  • ff é crescente se, para quaisquer x1,x2Df,x1x2f(x1)f(x2)x_1,x_2\in D_f, x_1\le x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)
  • ff é decrescente se, para quaisquer x1,x2Df,x1x2f(x1)f(x2)x_1,x_2\in D_f, x_1\le x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)
  • ff é estritamente crescente se, para quaisquer x1,x2Df,x1<x2f(x1)<f(x2)x_1,x_2\in D_f, x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1)< f(x_2)
  • ff é estritamente decrescente se, para quaisquer x1,x2Df,x1<x2f(x1)>f(x2)x_1,x_2\in D_f, x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1)> f(x_2)
  • ff é monótona se ff é crescente ou decrescente
  • ff é estritamente monótona se ff é estritamente crescente ou estritamente decrescente

Podem ser retiradas algumas conclusões das definições acima:

  • Uma função constante é monótona (mas não é estritamente monótona)
  • Uma função cujo domínio é um ponto é monótona
  • A monotonia de uma função pode depender do domínio dessa função
  • Pode-se restringir uma função não monótona em vários intervalos, de forma a torná-la monónota. Chama-se a estes intervalos, intervalos de monotonia.

Um exemplo sobre monotonia de funções encontra-se no PDF da aula 8 em anexo.

Função polinomial

Chama-se função polinomial a uma função ff de domínio R\R cuja expressão de transformação, f(x)f(x), é um polinómio. É de salientar que se o domínio não for R\R, a função não é polinomial.

Outra forma de escrever a definição acima é:

f:RRf(x)=k=0nakxk,an0 se n0,f:\R\rightarrow\R\\ f(x)=\sum^n_{k=0}a_kx^k\quad,\quad a_n\ne0\text{ se }n\ne0,

para alguns nN0n\in\N_0 e a0,a1,anRa_0,a_1,\dots a_n\in\R.

Chama-se a nn o grau da função polinomial e à constante ak,k=1,,na_k, k=1,\dots,n, o coeficiente de ordem kk da função polinomial.

Funções polinomiais de grau 0

Também conhecida como função constante.
É limitada. Tem máximo e mínimo, tendo estes o mesmo valor. É monótona crescente e monótona decrescente.
O seu contradomínio é f(R)={a0}f(\R)=\{a_0\}.
O seu gráfico é uma reta horizontal de ordenada a0a_0, isto é, y=a0y=a_0.

Função de grau 0

Funções polinomiais de grau 1

Não são limitadas. São estritamente monótonas, sendo crescentes se a1>0a_1>0 e decrescentes se a1<0a_1<0.
O seu contradomínio é f(R)=Rf(\R)=\R.
O seu gráfico é uma reta de declive a1a_1 e ordenada na origem a0a_0, isto é, y=a1x+a0y=a_1x+a_0.
Tem apenas um zero, no ponto x=a0a1x=-\frac{a_0}{a_1}.
É bijetiva, e, portanto, é invertível.

Função de grau 1

Funções polinomiais de grau 2

Não são limitadas, nem monótonas.
O seu contradomínio nunca é R\R, mas é sempre um intervalo não limitado.
Majorada se a2<0a_2<0. Minorada se a2>0a_2>0.
O seu gráfico é a parábola de equação y=a2(xb)2+cy=a_2(x-b)^2+c, sendo a abcissa do vértice b=a12a2b=-\frac{a_1}{2a_2} e a ordenada do vértice c=a124a2a04a2c=\frac{a^2_1-4a_2a_0}{4a_2}.

Pode ter:

  • 2 zeros se a124a2a0>0a_1^2-4a_2a_0>0
  • 1 zero se a124a2a0=0a_1^2-4a_2a_0=0
  • 0 zeros se a124a2a0<0a_1^2-4a_2a_0<0

Função de grau 2

Funções polinomiais de grau nn ímpar

Estes casos são parecidos a n=1n=1.
A função pode ser invertível se admitir uma representação na forma f(x)=an(xb)nf(x)=a_n(x-b)^n ou não ser invertível.
É sempre sobrejetiva.
Quando é invertível, é também monótona.
Pode ter qualquer número de zeros entre nn e 1, mas tem sempre, pelo menos, um zero.

Funções polinomiais de grau nn par

Estes casos são parecidos a n=2n=2.
Nunca é monónota nem invertível, visto que nunca é injetiva nem sobrejetiva.
Pode ter qualquer número de zeros entre nn e 0.

Função racional

Definição

Função cuja expressão de transformação é o quociente de dois polinómios e cujo domínio é exatamente o conjunto dos pontos que não anulam o denominador.

Por outras palavras, uma função ff é racional se existem duas funções polinomiais p1p_1 e p2p_2 tais que:

f:(p21(R\{0}))R,f(x)=p1(x)p2(x)f:(p_2^{-1}(\R\backslash\{0\}))\rightarrow\R\quad,\quad f(x)=\frac{p_1(x)}{p_2(x)}

As funções racionais incluem as funções polinomiais, basta que p2(x)=1p_2(x)=1.

É de relembrar que funções com expressões equivalentes podem não ser iguais dependendo do seu domínio. Por exemplo, as funções ff e gg não são iguais,

f:R\{1,1}R,f(x)=x1x21g:R\{1}R,g(x)=1x+1f:\R \backslash\{-1, 1\}\rightarrow \R\quad,\quad f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}\\ g:\R \backslash\{-1\}\rightarrow \R\quad,\quad g(x)=\frac1{x+1}

embora x1x21=x1(x1)(x+1)=1x+1\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac 1 {x+1}.

Função Racional

Função exponencial

Definição

Função exponencial de base aa
Função ff de domínio R\R cuja expressão de transformação é da forma f(x)=axf(x)=a^x com aR+\{1}a\in\R^+\backslash\{1\}

Simbolicamente, ff é uma função da forma:

f:RR,f(x)=ax,aR+\{1}f:\R\rightarrow \R\quad, \quad f(x)=a^x\quad, \quad a\in\R^+\backslash \{1\}

A função exponencial é injetiva e não sobrejetiva, pois nunca toma valores negativos.
É crescente se a>1a>1 e decrescente se a<1a<1.
O seu contradomínio é f(R)=R+f(\R)=\R^+, e, portanto, nunca tem zeros.
Quando não se indica a base da função exponencial, assume-se que a=ea=e (e2.718e \approx 2.718).

Função exponencial

Função logaritmo

Embora a função exponencial não seja inversível, podemos invertê-la se tornarmos o seu conjunto de chegada R+\R^+. Assim, obtemos a função logaritmo de base aa.

Definição

Função logaritmo de base aR+\{1}a\in\R^+\backslash\{1\}
É a inversa da função exponencial de base aa tomando para conjunto de chegada dessa função R+\R^+

Assim, dado aR+\{1}a\in\R^+\backslash\{1\} a função logaritmo de base aa é a função definida por

loga:R+R,loga(ax)=x,xR,alogax=x,xR+\log_a:\R^+\rightarrow\R\quad,\quad\log_a(a^x)=x,\forall_{x\in\R}\quad,\quad a^{\log_ax}=x,\forall_{x\in\R^+}

Função Logaritmo

Propriedades do logaritmo

Atendendo à definição da função logaritmo e às propriedades aritméticas das funções, podemos escrever as seguintes propriedades dos logaritmos, seja a,b,cR+a,b,c\in\R^+:

  • log(ab)=loga+logb\log(a\cdot b)=\log a + \log b
  • logab=logalogb\log\frac a b = \log a-\log b
  • logab=bloga\log a^b=b\log a
  • logab=logcblogca\displaystyle\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}

As propriedades continuam válidas para qualquer base diferente de ee, desde que não seja 1.

Funções trigonométricas

Definição formal de constantes (na realidade, é pouco útil e estas definições só poderão ser interpretadas após se ter o conhecimento sobre Séries):

  • Constante de Euler: A constante de Euler, ee, é o limite da sucessão de termo geral k=0n1k!\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac 1 {k!}.
  • Pi (π\pi): É o limite da sucessão de termo geral k=0n23(3)k(2k+1)\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{2\sqrt 3}{(-3)^k(2k+1)}

Funções seno e cosseno

O seno e o cosseno são as únicas funções que satisfazem as quatro condições:

  • cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny,x,yR\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\quad, \quad \forall x,y\in\R
  • sin(xy)=sinxcosysinycosx,x,yR\sin(x-y)=\sin x \cos y-\sin y\cos x\quad,\quad \forall x,y\in\R
  • sin(π2)=1\sin(\frac \pi 2)=1
  • xx36<sinx<x,0<x<π2x-\frac{x^3}6<\sin x<x\quad,\quad\forall_{0<x<\frac\pi 2}

Funções seno e cosseno

As funções seno e cosseno têm período 2π2\pi, ou seja,

sin(x+2π)=sinxcos(x+2π)=cosx,  xR\sin(x+2\pi)=\sin x\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x, \;\forall_{x\in\R}

Funções obtidas a partir de seno e cosseno

A partir das definições de seno e cosseno, podemos obter as seguintes funções, atendendo sempre ao domínio:

  • Função tangente como quociente entre seno e cosseno tan(x)=tg(x)=sinxcosx\tan(x)=\tg(x)=\frac{\sin x}{\cos x}
  • Função cotangente como quociente entre o cosseno e seno cotg(x)=cosxsinx=1tanx\cotg(x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\tan x}
  • Função secante como inverso algébrico do cosseno sec(x)=1cosx\sec(x)=\frac1{\cos x}
  • Função cossecante como inverso algébrico do seno csc(x)=1sinx\csc(x)=\frac1{\sin x}

Funções trignométricas inversas

Define-se a função arco seno como sendo a inversa da função seno restrita ao intervalo [π2,π2][-\frac\pi2,\frac\pi2], a função arco cosseno como sendo a inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π][0, \pi], a função arco tangente como sendo a inversa da função tangente restrita ao intervalo ]π2,π2[]-\frac\pi2,\frac\pi2[ e a função arco cotangente como sendo a inversa da função cotangente restrita ao intervalo ]0,π[]0, \pi[.

Assim, as funções trigonométricas inversas são:

  • arcsin:[1,1][π2,π2]\arcsin:[-1,1]\rightarrow [-\frac\pi2, \frac\pi2], definida por

    arcsin(sinx)=x,x[π2,π2],sin(arcsinx)=x,x[1,1]\arcsin(\sin x)=x,\forall_{x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]}\quad,\quad \sin(\arcsin x)=x, \forall_{x\in[-1,1]}
  • arccos:[1,1][0,π]\arccos:[-1,1]\rightarrow [0, \pi], definida por

    arccos(cosx)=x,x[0,π],cos(arccosx)=x,x[1,1]\arccos(\cos x)=x,\forall_{x\in[0,\pi]}\quad,\quad \cos(\arccos x)=x, \forall_{x\in[-1,1]}
  • arctg:R]π2,π2[\arctg:\R\rightarrow ]-\frac\pi2, \frac\pi2[, definida por

    arctg(tgx)=x,x]π2,π2[,tg(arctgx)=x,xR\arctg(\tg x)=x,\forall_{x\in]-\frac\pi2,\frac\pi2[}\quad,\quad \tg(\arctg x)=x, \forall_{x\in\R}
  • arcctg:R]0,π[\arcctg:\R\rightarrow ]0,\pi[, definida por

    arcctg(cotgx)=x,x]0,π[,cotg(arcctgx)=x,xR\arcctg(\cotg x)=x,\forall_{x\in]0,\pi[}\quad,\quad \cotg(\arcctg x)=x, \forall_{x\in\R}

    Funções arcsin, arccos e arctan

Exemplos estão no PDF da aula 9, páginas 4 a 7. Exemplos incluem como determinar a inversa de uma função ff que contêm funções trigonométricas na sua expressão.

Funções hiperbólicas elementares

Definem-se as funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica como sendo as funções de domínio R\R definidas por:

shx=exex2,chx=ex+ex2,thx=shxchx=exexex+ex\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2\quad,\quad \ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2\quad,\quad\th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

e, ainda, a função cotangente hiperbólica como sendo a função definida em R\{0}\R\backslash \{0\} por

cothx=chxshx=ex+xxexex\coth x=\frac{\ch x}{\sh x}=\frac{e^x+x^{-x}}{e^x-e^{-x}}

Seno hiperbólico

Função estritamente crescente, ímpar e bijetiva.

Para x>>x>> cresce como uma exponencial positiva.

Para x>>-x>> cresce como o simétrico de uma exponencial negativa.

Função sh

Cosseno hiperbólico

Função par, estritamente crescente em R0+\R^+_0 e estritamente decrescente em R0\R^-_0.

O seu contradomínio é [1,+[[1,+\infin[.

Para x>>x>> cresce como uma exponencial positiva.

Para x>>-x>> cresce como uma exponencial negativa.

Função ch

Tangente hiperbólica

Função ímpar.

Estritamente crescente e limitada.

O contradomínio é ]1,1[]-1,1[.

Função th

Cotangente hiperbólica

Função ímpar.

Não limitada.

Domínio R\{0}\R\backslash\{0\}

Decrescente em qualquer intervalo contido no seu domínio, mas não é uma função decrescente pois cresce quando se passa de um negativo para um positivo.

Função coth

Propriedades das funções hiperbólicas

  • ch2xsh2x=1\ch^2x-\sh^2x=1
  • sh(xy)=shxchyshychx\sh(x-y)=\sh x \ch y-\sh y \ch x
  • ch(xy)=chxchyshxshy\ch(x-y)=\ch x \ch y-\sh x\sh y

Enquanto as funções trigonométricas podem ser usadas para parametrizar uma circunferência e/ou uma elipse, podendo ser escrita na forma

{x=cosθy=sinθ,θ[0,2π[\begin{cases} x=\cos \theta\\ y=\sin \theta \end{cases},\theta\in[0,2\pi[

A mesma parametrização nas funções hiperbólicas traduz uma hipérbole

{x=chθy=shθ,θR\begin{cases} x=\ch \theta\\ y=\sh \theta \end{cases},\theta\in\R

Funções hiperbólicas inversas

Definem-se as funções argumento seno hiperbólico, argumento co-seno hiperbólico e argumento tangente hiperbólica como sendo as inversas do seno hiperbólico, da restrição do co-seno hiperbólico a R0+\R^+_0 e da tangente hiperbólica, respetivamente. É fácil definir um argumento cotangente hiperbólica mas é uma função que muito raramente é usada.

Assim, definem-se as funções:

  • argsh:RR\arg\sh:\R\rightarrow \R, definida por

    argsh(shx)=x,xR,sh(argshx)=x,xR\arg\sh(\sh x)=x,\forall_{x\in\R}\quad,\quad \sh(\arg\sh x)=x, \forall_{x\in\R}
  • argch:[1,+[R0+\arg\ch:[1,+\infin[\rightarrow \R^+_0, definida por

    argch(chx)=x,xR0+,ch(argchx)=x,x[1,+[\arg\ch(\ch x)=x,\forall_{x\in\R^+_0}\quad,\quad \ch(\arg\ch x)=x, \forall_{x\in[1,+\infin[}
  • argth:]1,1[R\arg\th:]-1,1[\rightarrow \R, definida por

    argth(thx)=x,xR,th(argthx)=x,x]1,1[\arg\th(\th x)=x,\forall_{x\in\R}\quad,\quad \th(\arg\th x)=x, \forall_{x\in]-1,1[}

PDFs: