Funções

Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade

Se $f$ é bijetiva, diz-se que $f$ é invertível, isto é, que admite uma inversa: $f^{-1}(f(x))=x$.

Por vezes, as funções podem-se tornar bijetivas fazendo restrições e extensões:

Função Composta

É de notar que, pela definição, os conjuntos $A_1$, $A_2$ e $A_3$ não podem ser vazios.

Exemplo

$$f:[-2,2[\rightarrow \R \qquad f(x)=(x-1)^2-1\\g:\R^+_0\rightarrow \R\qquad g(x)=x+1$$

Comecemos por descobrir o domínio da composta $g\circ f$:

$$f^{-1}(\R^+_0)=\big\{x\in[-2,2[:f(x)\ge 0\big\}=\big\{x\in[-2, 2[:|x-1|\ge 1\big\}=[-2,0]$$

De seguida, descobrimos a expressão de transformação:

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g((x-1)^2-1)=(x-1)^2$$

Portanto, a composta $g\circ f$ é definida por:

$$g\circ f:[-2,0]\rightarrow \R\\ (g \circ f)(x)=(x-1)^2$$

Podemos fazer a mesma coisa para a composta $f\circ g$:

$$g^{-1}([-2,2[)=\big\{x\in\R_0^+:-2\ge g(x) < 2\big\}=[0,1[\\ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=x^2-1$$

Portanto, a composta $f\circ g$ é definida por:

$$f\circ g:[0, 1[\rightarrow \R\\ (f\circ g)(x)=x^2-1$$

Definição alternativa de função inversa

Pode-se também usar a seguinte notação para caracterizar a função inversa, sendo $f:A\rightarrow B$:

Operações algébricas entre funções

Sejam $D_f, D_g\subset \R$ e $f: D_f\rightarrow \R$ e $g: D_g\rightarrow \R$ duas funções reais de variável real.

Função soma

Função multiplicação

Seja $\alpha\in\R$:

Função produto

Função quociente

Para mais fácil interpretação, pode-se ler $g^{-1}(\R\backslash\{0\})$ como $\{x \in D_g: g(x)\ne0\}$.

Função módulo

Função potência

Para mais fácil interpretação, pode-se ler $f^{-1}(R^+)$ como $\{x\in D_f: x > 0\}$.

Função limitada

Sejam $D_f\subset \R$, não vazio, e $f:D_f\rightarrow\R$ uma função real de variável real. Diz-se que:

• $f$ é majorada se o conjunto $f(D_f)$ é majorado. Nesse caso diz-se que qualquer majorante desse conjunto é majorante de $f$ e diz-se que o supremo de $f$, $\text{sup }f$, é o supremo de $f(D_f)$. Se $\text{sup }f\in f(D_f)$ diz-se ainda que $f$ tem máximo e escreve-se $\text{max }f=\text{sup }f$.
• $f$ é minorada se o conjunto $f(D_f)$ é minorado. Nesse caso diz-se que qualquer minorante desse conjunto é minorante de $f$ e diz-se que o ínfimo de $f$, $\text{inf }f$, é o ínfimo de $f(D_f)$. Se $\text{inf }f\in f(D_f)$ diz-se ainda que $f$ tem mínimo e escreve-se $\text{min }f=\text{inf }f$.
• $f$ é limitada se $f$ é majorada e $f$ é minorada

Função monótona

Sejam $D_f\subset \R$, não vazio, e $f:D_f\rightarrow\R$ uma função real de variável real. Diz-se que:

• $f$ é crescente se, para quaisquer $x_1,x_2\in D_f, x_1\le x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$
• $f$ é decrescente se, para quaisquer $x_1,x_2\in D_f, x_1\le x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$
• $f$ é estritamente crescente se, para quaisquer $x_1,x_2\in D_f, x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1)< f(x_2)$
• $f$ é estritamente decrescente se, para quaisquer $x_1,x_2\in D_f, x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1)> f(x_2)$
• $f$ é monótona se $f$ é crescente ou decrescente
• $f$ é estritamente monótona se $f$ é estritamente crescente ou estritamente decrescente

Podem ser retiradas algumas conclusões das definições acima:

• Uma função constante é monótona (mas não é estritamente monótona)
• Uma função cujo domínio é um ponto é monótona
• A monotonia de uma função pode depender do domínio dessa função
• Pode-se restringir uma função não monótona em vários intervalos, de forma a torná-la monónota. Chama-se a estes intervalos, intervalos de monotonia.

Um exemplo sobre monotonia de funções encontra-se no PDF da aula 8 em anexo.

Função polinomial

Chama-se função polinomial a uma função $f$ de domínio $\R$ cuja expressão de transformação, $f(x)$, é um polinómio. É de salientar que se o domínio não for $\R$, a função não é polinomial.

Outra forma de escrever a definição acima é:

para alguns $n\in\N_0$ e $a_0,a_1,\dots a_n\in\R$.

Chama-se a $n$ o grau da função polinomial e à constante $a_k, k=1,\dots,n$, o coeficiente de ordem $k$ da função polinomial.

Funções polinomiais de grau 0

Também conhecida como função constante.
É limitada. Tem máximo e mínimo, tendo estes o mesmo valor. É monótona crescente e monótona decrescente.
O seu contradomínio é $f(\R)=\{a_0\}$.
O seu gráfico é uma reta horizontal de ordenada $a_0$, isto é, $y=a_0$.

Funções polinomiais de grau 1

Não são limitadas. São estritamente monótonas, sendo crescentes se $a_1>0$ e decrescentes se $a_1<0$.
O seu contradomínio é $f(\R)=\R$.
O seu gráfico é uma reta de declive $a_1$ e ordenada na origem $a_0$, isto é, $y=a_1x+a_0$.
Tem apenas um zero, no ponto $x=-\frac{a_0}{a_1}$.
É bijetiva, e, portanto, é invertível.

Funções polinomiais de grau 2

Não são limitadas, nem monótonas.
O seu contradomínio nunca é $\R$, mas é sempre um intervalo não limitado.
Majorada se $a_2<0$. Minorada se $a_2>0$.
O seu gráfico é a parábola de equação $y=a_2(x-b)^2+c$, sendo a abcissa do vértice $b=-\frac{a_1}{2a_2}$ e a ordenada do vértice $c=\frac{a^2_1-4a_2a_0}{4a_2}$.

Pode ter:

• 2 zeros se $a_1^2-4a_2a_0>0$
• 1 zero se $a_1^2-4a_2a_0=0$
• 0 zeros se $a_1^2-4a_2a_0<0$

Funções polinomiais de grau $n$ ímpar

Estes casos são parecidos a $n=1$.
A função pode ser invertível se admitir uma representação na forma $f(x)=a_n(x-b)^n$ ou não ser invertível.
É sempre sobrejetiva.
Quando é invertível, é também monótona.
Pode ter qualquer número de zeros entre $n$ e 1, mas tem sempre, pelo menos, um zero.

Funções polinomiais de grau $n$ par

Estes casos são parecidos a $n=2$.
Nunca é monónota nem invertível, visto que nunca é injetiva nem sobrejetiva.
Pode ter qualquer número de zeros entre $n$ e 0.

Função racional

Por outras palavras, uma função $f$ é racional se existem duas funções polinomiais $p_1$ e $p_2$ tais que:

As funções racionais incluem as funções polinomiais, basta que $p_2(x)=1$.

É de relembrar que funções com expressões equivalentes podem não ser iguais dependendo do seu domínio. Por exemplo, as funções $f$ e $g$ não são iguais,

embora $\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac 1 {x+1}$.

Função exponencial

Simbolicamente, $f$ é uma função da forma:

A função exponencial é injetiva e não sobrejetiva, pois nunca toma valores negativos.
É crescente se $a>1$ e decrescente se $a<1$.
O seu contradomínio é $f(\R)=\R^+$, e, portanto, nunca tem zeros.
Quando não se indica a base da função exponencial, assume-se que $a=e$ ($e \approx 2.718$).

Função logaritmo

Embora a função exponencial não seja inversível, podemos invertê-la se tornarmos o seu conjunto de chegada $\R^+$. Assim, obtemos a função logaritmo de base $a$.

Assim, dado $a\in\R^+\backslash\{1\}$ a função logaritmo de base $a$ é a função definida por

Propriedades do logaritmo

Atendendo à definição da função logaritmo e às propriedades aritméticas das funções, podemos escrever as seguintes propriedades dos logaritmos, seja $a,b,c\in\R^+$:

• $\log(a\cdot b)=\log a + \log b$
• $\log\frac a b = \log a-\log b$
• $\log a^b=b\log a$
• $\displaystyle\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

As propriedades continuam válidas para qualquer base diferente de $e$, desde que não seja 1.

Funções trigonométricas

Definição formal de constantes (na realidade, é pouco útil e estas definições só poderão ser interpretadas após se ter o conhecimento sobre Séries):

• Constante de Euler: A constante de Euler, $e$, é o limite da sucessão de termo geral $\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac 1 {k!}$.
• Pi ($\pi$): É o limite da sucessão de termo geral $\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{2\sqrt 3}{(-3)^k(2k+1)}$

Funções seno e cosseno

O seno e o cosseno são as únicas funções que satisfazem as quatro condições:

• $\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\quad, \quad \forall x,y\in\R$
• $\sin(x-y)=\sin x \cos y-\sin y\cos x\quad,\quad \forall x,y\in\R$
• $\sin(\frac \pi 2)=1$
• $x-\frac{x^3}6<\sin x<x\quad,\quad\forall_{0<x<\frac\pi 2}$

As funções seno e cosseno têm período $2\pi$, ou seja,

Funções obtidas a partir de seno e cosseno

A partir das definições de seno e cosseno, podemos obter as seguintes funções, atendendo sempre ao domínio:

• Função tangente como quociente entre seno e cosseno $\tan(x)=\tg(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$
• Função cotangente como quociente entre o cosseno e seno $\cotg(x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\tan x}$
• Função secante como inverso algébrico do cosseno $\sec(x)=\frac1{\cos x}$
• Função cossecante como inverso algébrico do seno $\csc(x)=\frac1{\sin x}$

Funções trignométricas inversas

Define-se a função arco seno como sendo a inversa da função seno restrita ao intervalo $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, a função arco cosseno como sendo a inversa da função cosseno restrita ao intervalo $[0, \pi]$, a função arco tangente como sendo a inversa da função tangente restrita ao intervalo $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$ e a função arco cotangente como sendo a inversa da função cotangente restrita ao intervalo $]0, \pi[$.

Assim, as funções trigonométricas inversas são:

• $\arcsin:[-1,1]\rightarrow [-\frac\pi2, \frac\pi2]$, definida por

  $$\arcsin(\sin x)=x,\forall_{x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]}\quad,\quad \sin(\arcsin x)=x, \forall_{x\in[-1,1]}$$

• $\arccos:[-1,1]\rightarrow [0, \pi]$, definida por

  $$\arccos(\cos x)=x,\forall_{x\in[0,\pi]}\quad,\quad \cos(\arccos x)=x, \forall_{x\in[-1,1]}$$

• $\arctg:\R\rightarrow ]-\frac\pi2, \frac\pi2[$, definida por

  $$\arctg(\tg x)=x,\forall_{x\in]-\frac\pi2,\frac\pi2[}\quad,\quad \tg(\arctg x)=x, \forall_{x\in\R}$$

• $\arcctg:\R\rightarrow ]0,\pi[$, definida por

  $$\arcctg(\cotg x)=x,\forall_{x\in]0,\pi[}\quad,\quad \cotg(\arcctg x)=x, \forall_{x\in\R}$$

  

Exemplos estão no PDF da aula 9, páginas 4 a 7. Exemplos incluem como determinar a inversa de uma função $f$ que contêm funções trigonométricas na sua expressão.

Funções hiperbólicas elementares

Definem-se as funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica como sendo as funções de domínio $\R$ definidas por:

e, ainda, a função cotangente hiperbólica como sendo a função definida em $\R\backslash \{0\}$ por

Seno hiperbólico

Função estritamente crescente, ímpar e bijetiva.

Para $x>>$ cresce como uma exponencial positiva.

Para $-x>>$ cresce como o simétrico de uma exponencial negativa.

Cosseno hiperbólico

Função par, estritamente crescente em $\R^+_0$ e estritamente decrescente em $\R^-_0$.

O seu contradomínio é $[1,+\infin[$.

Para $x>>$ cresce como uma exponencial positiva.

Para $-x>>$ cresce como uma exponencial negativa.

Tangente hiperbólica

Função ímpar.

Estritamente crescente e limitada.

O contradomínio é $]-1,1[$.

Cotangente hiperbólica

Função ímpar.

Não limitada.

Domínio $\R\backslash\{0\}$

Decrescente em qualquer intervalo contido no seu domínio, mas não é uma função decrescente pois cresce quando se passa de um negativo para um positivo.

Propriedades das funções hiperbólicas

• $\ch^2x-\sh^2x=1$
• $\sh(x-y)=\sh x \ch y-\sh y \ch x$
• $\ch(x-y)=\ch x \ch y-\sh x\sh y$

Enquanto as funções trigonométricas podem ser usadas para parametrizar uma circunferência e/ou uma elipse, podendo ser escrita na forma

A mesma parametrização nas funções hiperbólicas traduz uma hipérbole

Funções hiperbólicas inversas

Definem-se as funções argumento seno hiperbólico, argumento co-seno hiperbólico e argumento tangente hiperbólica como sendo as inversas do seno hiperbólico, da restrição do co-seno hiperbólico a $\R^+_0$ e da tangente hiperbólica, respetivamente. É fácil definir um argumento cotangente hiperbólica mas é uma função que muito raramente é usada.

Assim, definem-se as funções:

• $\arg\sh:\R\rightarrow \R$, definida por

  $$\arg\sh(\sh x)=x,\forall_{x\in\R}\quad,\quad \sh(\arg\sh x)=x, \forall_{x\in\R}$$

• $\arg\ch:[1,+\infin[\rightarrow \R^+_0$, definida por

  $$\arg\ch(\ch x)=x,\forall_{x\in\R^+_0}\quad,\quad \ch(\arg\ch x)=x, \forall_{x\in[1,+\infin[}$$

• $\arg\th:]-1,1[\rightarrow \R$, definida por

  $$\arg\th(\th x)=x,\forall_{x\in\R}\quad,\quad \th(\arg\th x)=x, \forall_{x\in]-1,1[}$$

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PDFs:

• Aula 7
• Aula 8
• Aula 9