Indução Matemática. Majorantes e Minorantes

Números Naturais e Inteiros

É bom de relembrar, que nem todos os conjuntos indutivos que contenham 0 são o conjunto dos números naturais. O conjunto $C=\{0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, ...\}$ é indutivo, pois obedece à condição acima, mas não corresponde ao conjunto dos números naturais. Por isso é que o definimos como a interseção de todos estes conjuntos que contenham $0$.

Esta definição de conjunto dos naturais não inclui os números inteiros negativos, pois como é a interseção de todos os conjuntos indutivos que contenham $0$, existe um conjunto como $C$ definido acima.

Através desta definição, podemos concluir que $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}^+$ e $\mathbb{Z}^-=-\mathbb{N}^+$.

Princípio da Indução Matemática

Princípio da Indução Matemática: Sejam $n\in \mathbb{N}_0$ e $P(n)$ uma expressão proposicional, ou seja, uma expressão em que para cada $n\in \mathbb{N}_0$ resulta uma proposição.

Se forem verdadeiras as seguintes proposições:

• $P(0)$ (base da indução)
• $(P(n)\Rightarrow P(n+1))$, para qualquer $n\in \mathbb{N}_0$ (etapa de indução) então a proposição $P(n)$ é verdadeira para qualquer $n\in \mathbb{N}_0$.

Resumidamente, o Princípio da Indução Matemática permite-nos verificar se uma proposição ($P(0)$) é verdadeira para todos os números naturais ($n\in \mathbb{N}_0$).

Exemplo 1

$$\forall n\in \mathbb{N}_0, 8^n:4^n=2^n \\ \text{Para } n=0 \rightarrow 8^0:4^0=2^0\Leftrightarrow 1:1=1 \rightarrow \text{ Proposição verdadeira} \\ \text{Hipótese de indução: } 8^n:4^n=2^n\\ \text{Tese: } 8^{n+1}:4^{n+1}=2^{n+1}\\ \text{ }\\ 8^{n+1}:4^{n+1}=\frac{8\times8^n}{4\times4^n}=2\times\underbrace{8^n:4^n}_{\text{Hipótese de indução}}=2\times2^n=2^{n+1}$$

Logo, como a condição se verifica para $n = 0$ e é hereditária, esta é verdadeira para $n \in \mathbb{N}_0$.

Exemplo 2

$$\forall n\in \mathbb{N}_0, \sum_{k=0}^{n}(2^k)=2^{n+1}-1 \\ \text{Para } n=0 \rightarrow \sum_{k=0}^{0}(2^k)=1\text{ e }2^{0+1}-1=1\rightarrow \text{ Proposição verdadeira} \\ \text{Hipótese de indução: }\sum_{k=0}^{n}(2^k)=2^{n+1}-1 \\ \text{Tese: } \sum_{k=0}^{n+1}(2^k)=2^{n+2}-1\\ \text{ }\\ \sum_{k=0}^{n+1}(2^k)=\overbrace{\sum_{k=0}^{n}(2^k)}^{\text{Hipótese de indução}}+2^{n+1} =2^{n+1}-1+2^{n+1}=\\ =2\times2^{n+1}-1 =2^{n+2}-1$$

Logo, como a condição se verifica para $n = 0$ e é hereditária, esta é verdadeira para $n \in \mathbb{N}_0$.

Visto que o Princípio da Indução Matemática é recursivo, podemos utilizá-lo para definir várias operações, tais como potências de base $a$ e expoente natural, fatoriais e somatórios.

Números racionais

O conjunto dos racionais pode ser definido por:

Majorantes e minorantes

Definição de majorantes, minorantes, conjunto majorado, conjunto minorado, conjunto limitado, supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
Seja $A \subset \mathbb{R}$:

• $M\in\mathbb{R}$ é um majorante de $A$ se para qualquer $x \in A$ se tem $x \le M$
• $A$ é um conjunto majorado se o conjunto dos majorantes de $A$, $\text{Maj}(A)$, é não vazio
• $m \in \mathbb{R}$ é um minorante de $A$ se para qualquer $x \in A$ se tem $x \ge m$
• $A$ é um conjunto minorado se o conjunto dos minorantes de $A$, $\text{Min}(A)$, é não vazio
• Quando um conjunto é majorado e minorado, diz-se limitado
• Se $A$ for majorado e existir um majorante menor que todos os outros chama-se a esse majorante supremo de $A$, $\text{sup } A$
• Se $A$ for minorado e existir um minorante maior que todos os outros chama-se a esse minorante ínfimo de $A$, $\text{inf } A$
• Se existe $\text{sup } A$ e $\text{sup } A\in A$ diz-se que $\text{sup } A$ é o máximo de $A$, $\text{max } A$
• Se existe $\text{inf } A$ e $\text{inf } A\in A$ diz-se que $\text{inf } A$ é o mínimo de $A$, $\text{min } A$

Axioma do supremo: Qualquer subconjunto dos reais majorado e não vazio tem supremo

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