Calendário - Início

Introdução

Ano Trópico

O ano trópico corresponde ao período entre duas ocorrências sucessivas do equinócio da Primavera (ou seja, ao período que decorre enquanto a Terra dá uma volta exata ao Sol ). 1 ano trópico tem (aproximado aos segundos).

365 dias, 5 horas, 48 minutos e 45 segundos\text{365 dias, 5 horas, 48 minutos e 45 segundos}

Sempre foi interessante aos humanos regular os seus afazeres em função dos astros (devido a períodos de colheitas e outros) pelo que é interessante regular esta informação num calendário. O ano de um calendário deverá então ser o mais próximo possível de um ano trópico.

Calendário Juliano

  • Uma boa aproximação de um ano trópico é 365+14365 + \frac{1}{4} dias;
  • Cada ano tem 365 dias, com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias;
  • Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos.

Calendário Gregoriano

Calendário usado em Portugal e pela maioria dos países Ocidentais.

  • Observa que a diferença entre o ano Juliano e o ano trópico é suficiente para que o primeiro esteja desajustado com os astros ao fim de algumas centenas de anos;

  • Propõe uma melhor aproximação: um ano trópico tem 365+141100+1400=365+97400365 + \frac{1}{4} - \frac{1}{100} + \frac{1}{400} = 365 + \frac{97}{400} dias;

  • Anos de 365 dias e anos bissextos de 366 dias;

  • Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos, mas não de 100 em 100. Contudo, de 400 em 400 temos, novamente, um ano bissexto;

  • Em outubro de 1582, foram omitidos 10 dias do calendário.

Exemplos - Bissexto Gregoriano
  1. Ano 1900 não é bissexto. (1900 % 100 = 0)

  1. Ano 2000 é bissexto. (2000 % 400 = 0)

Calcular Dia da Semana

Número/Letra dominical

O número (ou letra) dominical de um ano, NN, é o dia do primeiro domingo desse ano.
Abaixo, encontra-se a tabela que associa cada número dominical à sua letra dominical.

LetraNuˊmeroA1B2C3D4E5F6G7\begin{array}{c|c} \text{Letra} & \text{Número}\\ \hline A & 1\\ B & 2\\ C & 3\\ D & 4\\ E & 5\\ F & 6\\ G & 7 \end{array}

Os calendários Gregoriano e Juliano têm, entre si, uma fórmula diferente para calcular o número dominical de um dado ano. Isto deve-se ao facto de terem anos bissextos diferentes.
Segue-se a fórmula para cada um destes calendários.

Juliano

Para um ano λj\lambda_j, o número dominical NjN_j é dado por:

Nj=7((λj+4)+(λj÷4))%7N_j = 7 - ((\lambda_j + 4)+(\lambda_j \div 4))\%7

Porquê λj+4\lambda_j + 4? Porque o ano 1 do calendário Juliano começou num sábado (1/1/1 foi um sábado), de forma que o primeiro domingo teve letra B e número dominical 2. Então, o número dominical no geral é dado pelo número dominical no primeiro ano (2) menos o número de regressões (ver nota2) que houve até o ano em consideração:

Nj=2(λj1+(λ÷4))%7N_j = 2 - (\lambda_j - 1 + (\lambda \div 4))\%7

que corresponde à fórmula acima.


Gregoriano

Para um ano λg\lambda_g, o número dominical NgN_g é dado por:

Ng=7((λg1)+(λg÷4)(λg÷100)+(λg÷400))%7N_g = 7 - ((\lambda_g -1)+(\lambda_g \div 4)-(\lambda_g \div 100)+(\lambda_g \div 400))\%7

Porquê λj1\lambda_j - 1? Porque o ano 1 do calendário Gregoriano começou numa segunda-feira (1/1/1 foi uma segunda-feira), de forma que o primeiro domingo teve letra G e número dominical 7. Então, o número dominical no geral é dado pelo número dominical no primeiro ano (7) menos o número de regressões (ver nota2) que houve até o ano em consideração:

Nj=7(λj1+(λ÷4)(λg÷100)+(λg÷400))%7N_j = 7 - (\lambda_j - 1 + (\lambda \div 4)-(\lambda_g \div 100)+(\lambda_g \div 400))\%7

que corresponde à fórmula acima. Note-se que isto não conta com os 10 dias que foram omitidos neste calendário. O professor não mencionou este facto pelo que suponho que o facto de o primeiro dia do primeiro ano ter sido uma segunda-feira já seja a contar com este facto.

NOTA1: %\% representa o resto da divisão e ÷\div a divisão inteira.

NOTA2: Todos os anos "normais" (com 365 dias) o número dominical recua em uma unidade. Isto deve-se ao facto que 365%7=1365 \% 7 = 1. Nos anos com 366 dias (tanto num calendário como outro) o número dominical recua em duas unidades já que há mais um dia no ano.


Número/Letra Calêndrica

Seja CC o número calêndrico do dia dd do mês mm,

C=1+(R2)%7C = 1 + (R-2)\%7

onde,

R=d+FmFmnuˊmero caleˆndrico do 1º dia do meˆmR = d + F_m \newline F_m \rightarrow \text{número calêndrico do 1º dia do mês } m

Na seguinte tabela, encontra-se a letra calêndrica do primeiro dia de cada mês (LmL_m).

Letras calêndricas

Passa-se de LmL_m para FmF_m com a ajuda da tabela 1.

Recomenda-se a consulta desta tabela durante os testes, já que isso é permitido.
Contudo, existe um método para calcular FmF_m sem consulta.

Método sem consulta

Seja mm o mês que queremos calcular, nmn_m o número desse mês no calendário e kmk_m o número de dias do mês mm,

  1. Se mm, em inglês, tem vogal no início ou no fim:
Fm=11nmF_m = 11 - n_m

  1. Caso geral,
Fm=(Fm1+km1)%7F_m = (F_{m-1} + k_{m-1})\% 7

Relembrar que Fjaneiro=A.F_{\text{janeiro}} = A.

Exemplos:

  1. Abril ( April )
    Como o mês em inglês começa com vogal,

    Fabril=114=7F_{\text{abril}}=11-4=7

    Podemos verificar na tabela 2 que a letra calêndrica do 1º dia de abril é G \checkmark.

  2. Maio ( May )
    Como o mês em inglês não começa, nem acaba, em vogal, usamos o método recursivo.

Fmaio=(Fabril+kabril)%7=(7+30)%7=2F_{\text{maio}}=(F_{\text{abril}} + k_{\text{abril}})\% 7 = (7+30)\% 7 = 2

Podemos verificar na tabela 2 que a letra calêndrica do 1º dia de maio é B \checkmark.


Cálculo do dia da semana

Seja WW o dia da semana de uma certa data de mês mm e ano λ\lambda, com número calêndrico CC e número dominical NN, WW é dado por:

Caso λ\lambda seja bissexto e mm janeiro ou fevereiro:

W=1+(CN+6)%7W = 1 + (C-N+6)\% 7

Caso contrário:

W=1+(CN+7)%7W = 1 + (C-N+7)\% 7

Faz sentido, pois janeiro e fevereiro, em anos bissextos, decorrem antes do dia extra (29 de fevereiro).

Exemplo
  1. Queremos determinar o dia da semana de 7 de setembro de 2021, no Calendário Gregoriano.
N=7((20211)+(2021÷4)(2021÷100)+(2021÷400))%7=7(2020+50520+5)%7=74=3N = 7 - ((2021 -1)+(2021 \div 4)-(2021 \div 100)+(2021 \div 400))\%7 \\ = 7 - (2020 + 505 - 20 + 5)\% 7 = 7 - 4 = 3

(Usando método sem consulta para calcular FsetembroF_{\text{setembro}})
Como setembro (September) não começa nem acaba em vogal em inglês, temos de usar o método recursivo para calcular FsetembroF_{\text{setembro}}
Agosto (August), por outro lado, começa com vogal em inglês, logo,

Fsetembro=(Fagosto+kagosto)%7=((118)+31)%7=6F_{\text{setembro}} = (F_{\text{agosto}} + k_{\text{agosto}})\% 7 = ((11-8) + 31)\% 7 = 6

Logo,

C=1+(R2)%7=1+((6+7)2)%7=1+4=5C = 1 + (R-2)\%7 = 1 + ((6+7)-2)\%7 = 1 + 4 = 5

Por fim, como não estamos a calcular uma data de janeiro ou fevereiro num ano bissexto,

W=1+(CN+7)%7=1+(53+7)%7=1+9%7=3W = 1 + (C-N+7)\% 7 = 1 + (5-3+7)\% 7 = 1 + 9\%7 = 3

Podemos concluir que 7 de setembro de 2021 calha a uma 3ª-feira, no calendário Gregoriano.

Setembro 2021