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Fórmulas Fechadas de Somatórios

Números de Stirling

Números de Stirling de Primeira Espécie

DEFINIÇÃO

Sabe-se que nr=n(n1)(n2)(nr+1)n^{\underline{r}} = n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-r+1). Tem-se então que:

nr=k=0r[rk]nkn^{\underline{r}} = \sum_{k=0}^{r} \begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}n^k

Ou seja, os números de Stirling de primeira espécie dão-nos os coeficientes da expansão de um polinómio fatorial.

DE NOTAR

O sinal dos números de Stirling de primeira espécie depende da paridade de n+kn+k, ou seja, sendo s(n,k)s(n,k) um número de Stirling, tem-se:

s(n,k)=(1)n+k[nk]s(n,k) = (-1)^{n+k}\left|\begin{bmatrix}n \\ k \end{bmatrix}\right|
Exemplo

É possível relacionar os polinómios usuais com os fatoriais através da primeira espécie, como feito no exemplo seguinte:

n3=n(n1)(n2)=(n2n)(n2)=n32n2n2+2n=0n0+2n1+(3)n2+n3=[30]n0+[31]n1+[32]n2+[33]n3\begin{aligned} n^{\underline{3}} & =n( n-1)( n-2)\\ & =\left( n^{2} -n\right)( n-2)\\ & =n^{3} -2n^{2} -n^{2} +2n\\ & =0n^{0} +2n^{1} +( -3) n^{2} +n^{3}\\ & =\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} n^{0} +\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} n^{1} +\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} n^{2} +\begin{bmatrix} 3\\ 3 \end{bmatrix} n^{3} \end{aligned}

Calcular os Números de Stirling de Primeira Espécie

É possível calcular todos os números de Stirling de primeira espécie através da construção de uma tabela, de forma semelhante à construção do Triângulo de Pascal.

Abaixo está a tabela das primeiras 6 linhas.

012345k0k1k2k3k4k50k01000001k10100002k20110003k30231004k406116105k50245035101\begin{array}{ c c c c c c c c } & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ & & k^{0} & k^{1} & k^{2} & k^{3} & k^{4} & k^{5}\\ 0 & k^{\underline{0}} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & k^{\underline{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & k^{\underline{2}} & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & k^{\underline{3}} & 0 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 4 & k^{\underline{4}} & 0 & -6 & 11 & -6 & 1 & 0\\ 5 & k^{\underline{5}} & 0 & 24 & -50 & 35 & -10 & 1 \end{array}

A diagonal da tabela é composta por 11. A parte acima dessa diagonal tem sempre o valor 00, e muitas vezes nem é representada na tabela. A coluna mais à esquerda é composta também apenas por 00, exceto na primeira linha, onde tem um 11.

Por fim, todos os outros números se geram através de um algoritmo, representado abaixo. Para obter o número (dd), faz-se a subtração entre o número na linha acima e uma coluna à esquerda (aa) e o produto entre o número na linha acima (bb) e o índice da linha (cc).
O número que se pretende calcular no exemplo abaixo é o dd, que se pode obter em função de aa, bb e cc.

d=abcd = a - bc
0123k0k1k2k30k01000ck1ab002k20d103k30231\begin{array}{ c c c c c c } & & 0 & 1 & 2 & 3\\ & & k^{0} & k^{1} & k^{2} & k^{3}\\ 0 & k^{\underline{0}} & 1 & 0 & 0 & 0\\ \smartcolor{orange}{\mathbf{c}} & k^{\underline{1}} & \smartcolor{orange}{\mathbf{a}} & \smartcolor{orange}{\mathbf{b}} & 0 & 0\\ 2 & k^{\underline{2}} & 0 & \smartcolor{orange}{\mathbf{d}} & 1 & 0\\ 3 & k^{\underline{3}} & 0 & 2 & -3 & 1 \end{array}

Números de Stirling de Segunda Espécie

Os números de Stirling de segunda espécie servem para relacionar polinómios (usuais) com os polinómios fatoriais. São sempre positivos.
Por exemplo:

n3=n3+3n2+n1=0n0+1n1+3n2+1n3={30}n0+{31}n1+{32}n2+{33}n3\begin{aligned} n^{3} & =n^{\underline{3}} +3n^{\underline{2}} +n^{\underline{1}}\\ & =0n^{\underline{0}} +1n^{\underline{1}} +3n^{\underline{2}} +1n^{\underline{3}}\\ & =\begin{Bmatrix} 3\\ 0 \end{Bmatrix} n^{\underline{0}} +\begin{Bmatrix} 3\\ 1 \end{Bmatrix} n^{\underline{1}} +\begin{Bmatrix} 3\\ 2 \end{Bmatrix} n^{\underline{2}} +\begin{Bmatrix} 3\\ 3 \end{Bmatrix} n^{\underline{3}} \end{aligned}

o que facilita imenso a avaliação da soma de n3n^{3}.

DEFINIÇÃO

k=0mnp=k=0m(k=0p{pk}nk)\sum_{k=0}^{m}n^{p} = \sum_{k=0}^{m}\left( \sum_{k=0}^{p} \begin{Bmatrix}p\\k\end{Bmatrix}n^{\underline{k}}\right)

onde {mk}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix} é o número de Stirling de segunda espécie.

Calcular os Números de Stirling de Segunda Espécie

Tal como com os números de primeira espécie, é possível calcular, através de uma tabela, os números de segunda espécie.

Abaixo está a tabela dos números de Stirling de segunda espécie:

012345k0k1k2k3k4k50k01000001k10100002k20110003k30131004k40176105k5011525101\begin{array}{ c c c c c c c c } & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ & & k^{\underline{0}} & k^{\underline{1}} & k^{\underline{2}} & k^{\underline{3}} & k^{\underline{4}} & k^{\underline{5}}\\ 0 & k^{0} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & k^{1} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & k^{2} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & k^{3} & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 4 & k^{4} & 0 & 1 & 7 & 6 & 1 & 0\\ 5 & k^{5} & 0 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 \end{array}

O algoritmo para encontrar um número de Stirling da segunda espécie consiste em multiplicar o que se encontra diretamente acima (aa) pelo número da coluna (bb), e somar ao valor que se encontra uma casa à esquerda e acima (cc).
Visualmente, e querendo calcular dd, isto fica:

01b3k0k1k2k30k010001k101002k20ca03k301d1\begin{array}{ c c c c c c } & & 0 & 1 & \smartcolor{orange}{\mathbf{b}} & 3\\ & & k^{\underline{0}} & k^{\underline{1}} & k^{\underline{2}} & k^{\underline{3}}\\ 0 & k^{0} & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & k^{1} & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & k^{2} & 0 & \smartcolor{orange}{\mathbf{c}} & \smartcolor{orange}{\mathbf{a}} & 0\\ 3 & k^{3} & 0 & 1 & \smartcolor{orange}{\mathbf{d}} & 1 \end{array}

Método de Horner (Ruffini)

Os números de Stirling de segunda espécie também podem ser calculados através do método de Horner (Ruffini).
Para conhecermos a soma fechada de n3n^{3}, divide-se por nn, n1n-1 e n2n-2:

100000001000100111111112213n3=n(n1((n2)+3)+1)+0n3=1n3+3n2+1n1+0n0\begin{array}{ c|c c c c } & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \downarrow & 0 & 0 & 0\\ \hline & 1 & 0 & 0 & \smartcolor{blue}{0} \end{array}\\ \\ \begin{array}{ c|c c c } & 1 & 0 & 0\\ 1 & \downarrow & 1 & 1\\ \hline & 1 & 1 & \smartcolor{orange}{1} \end{array}\\ \\ \begin{array}{ c|c c } & 1 & 1\\ 2 & \downarrow & 2\\ \hline & 1 & \smartcolor{green}{3} \end{array}\\ \\ n^{3} =n( n-1(( n-2) +3) +\smartcolor{orange}{1}) +\smartcolor{blue}{0}\\ n^{3} =1n^{\underline{3}} +\smartcolor{green}{3}n^{\underline{2}} +\smartcolor{orange}{1}n^{\underline{1}} +\smartcolor{blue}{0}n^{\underline{0}}

Assim, é fácil encontrar a expressão para a soma de qualquer polinomial.

Derivada de uma Sucessão Aritmética na Forma de Polinómio Fatorial

Tal como já foi visto anteriormente, sabemos que:

Δunr=unr1(un+1unr+1)\Delta u_n^{\underline r} = u_n^{\underline{r-1}}\left(u_{n+1}-u_{n-r+1}\right)

Trocando isto agora por uma sucessão aritmética, isto é, un=an+bu_n = an+b, ficamos com:

Δ(an+b)r=unr1(a(n+1)+b(a(nr+1)+b))=arunr1\begin{aligned} \Delta (an+b)^{\underline r} &= u_n^{\underline{r-1}}\left(a(n+1)+b-(a(n-r+1)+b)\right)\\ &= a\cdot r\cdot u_n^{\underline{r-1}} \end{aligned}

Escrevendo em ordem a (an+b)r(an+b)^{\underline{r}}

(an+b)r=Δ1a(r+1)(an+b)r+1(an+b)^{\underline{r}} = \Delta\frac{1}{a(r+1)}(an+b)^{\underline{r+1}}
Exemplo 1

Através desta fórmula é possível achar a soma fechada para expressões do tipo:

k=0n(2k+3)2\sum_{k=0}^{n}(2k+3)^{\underline{2}}
k=0n(2k+3)2=k=0nΔ(2k+3)33×2=[(2k+3)36]0n=(2n+3)(2n+1)(2n1)62×0+36=(2n+3)(2n+1)(2n1)36=(n+1)(4n2+2n3)3\begin{aligned} \sum ^{n}_{k=0}( 2k+3)^{\underline{2}} & =\sum ^{n}_{k=0} \Delta \frac{(2k+3)^{\underline{3}}}{3\times 2}\\ & =\left[\frac{( 2k+3)^{\underline{3}}}{6}\right]^{n}_{0}\\ & =\frac{( 2n+3)( 2n+1)( 2n-1)}{6} -\frac{2\times 0+3}{6}\\ & =\frac{( 2n+3)( 2n+1)( 2n-1) -3}{6}\\ & =\frac{( n+1)\left( 4n^{2} +2n-3\right)}{3} \end{aligned}
Exemplo 2

Um comboio de mercadorias viaja durante 5 h5\ h à velocidade de 3 km h13\ km\ h^{-1}; três comboios de mercadorias viajam durante 7 h7\ h à velocidade de 5 km h15\ km\ h^{-1}; cinco comboios de mercadorias viajam 9 h9\ h à velocidade de 7 km h17\ km\ h^{−1}; e assim sucessivamente, até que, finalmente, vinte e um comboios de mercadorias viajam durante 25 h25\ h à velocidade de 23 km h123\ km\ h^{−1}. Qual é a distância total coberta por todos os comboios?

k=0n(2k+5)3=[14×2(2k+5)4]0n+1=[18(2k+5)(2k+3)(2k+1)(2k1)]0n+1=(2n+7)(2n+5)(2n+3)(2n+1)+158.\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}(2 k+5)^{\underline 3} &=\left[\frac{1}{4 \times 2}(2 k+5)^{\underline 4}\right]_{0}^{n+1} \\ &=\left[\frac{1}{8}(2 k+5)(2 k+3)(2 k+1)(2 k-1)\right]_{0}^{n+1} \\ &=\frac{(2n+7)(2 n+5)(2 n+3)(2 n+1)+15}{8} . \end{aligned}

Como n=10n = 10, a resposta é 40755 km40 755\ km.

Polinomial Fatorial com Expoente Negativo

DEFINIÇÃO

Define-se um polinomial fatorial com valor negativo (nr)(n^{\underline{-r}}) como:

unr=1un+1un+ru_{n}^{\underline{-r}} = \frac{1}{u_{n+1} \cdot \cdot \cdot u_{n+r}}

Como mnemónica, escreve-se o último termo no denominador primeiro porque coincide com o expoente fatorial e depois conta-se o número de fatores (existem rr fatores).

Exemplos
un2=1(n+1)(n+2)u_{n}^{\underline{-2}} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}

1(n+2)(n+3)(n+4)=(n+1)3\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)} = (n+1)^{\underline{-3}}

1(2n+1)(2n+3)(2n+5)=1(2(n+1)1)(2(n+2)1)(2(n+3)1)=(2n1)3\frac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)} = \frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+2)-1)(2(n+3)-1)} = (2n-1)^{\underline{-3}}

Somas Fechadas do tipo aⁿ para n Negativo

A fórmula anteriormente conhecida para polinómios elevados a fatoriais positivos pode-se prolongar, funcionando da mesma maneira para os de expoente negativo, ou seja:

DEFINIÇÃO

k=0n1kr=[kr+1r+1]0n,rZ\{1}\sum_{k=0}^{n-1}k^{\underline{r}} = \left[\frac{k^{\underline{r+1}}}{r+1}\right]_{0}^{n}\quad,\quad r \in \mathbb{Z}\backslash \{-1\}
k=0n1ukr=[ukr+1a(r+1)]0n,rZ\{1},uk=ak+b\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}^{\underline{r}} = \left[\frac{u_{k}^{\underline{r+1}}}{a(r+1)}\right]_{0}^{n}\quad,\quad r \in \mathbb{Z}\backslash \{-1\}\quad,\quad u_k=ak+b
Exemplo
k=0n1k2+3k+2=k=0n1(k+1)(k+2)=k=0nk2=[12+1k2+1]0n+1=[1k+1]0n+1=(1n+21)=n+1n+2\begin{aligned} \sum ^{n}_{k=0}\frac{1}{k^{2} +3k+2} & =\sum ^{n}_{k=0}\frac{1}{( k+1)( k+2)}\\ & =\sum ^{n}_{k=0} k^{\underline{-2}}\\ & =\left[\frac{1}{-2+1} k^{\underline{-2+1}}\right]^{n+1}_{0}\\ & =\left[ -\frac{1}{k+1}\right]^{n+1}_{0}\\ & =-\left(\frac{1}{n+2} -1\right)\\ & =\frac{n+1}{n+2} \end{aligned}

Derivada do Polinómio Fatorial de Expoente Negativo

DEFINIÇÃO

Δnr=rnr1,r>0\Delta n^{\underline{-r}}=-r\cdot n^{\underline{-r-1}}\quad,\quad r>0
Demonstração
Δnr=(n+1)rnr=1(n+2)(n+r)(n+r+1)1(n+1)(n+2)(n+r)=1(n+2)(n+r)(1n+r+11n+1)=1(n+2)(n+r)×(n+1)(n+r+1)(n+1)(n+r+1)=r(n+1)(n+2)(n+r)(n+r+1)=r×n(r+1)=r×nr1\begin{aligned} \Delta n^{\underline{-r}} & =( n+1)^{\underline{-r}} -n^{\underline{-r}}\\ & =\frac{1}{( n+2) \dotsc ( n+r)( n+r+1)} -\frac{1}{( n+1)( n+2) \dotsc ( n+r)}\\ & =\frac{1}{( n+2) \dotsc ( n+r)}\left(\frac{1}{n+r+1} -\frac{1}{n+1}\right)\\ & =\frac{1}{( n+2) \dotsc ( n+r)} \times \frac{( n+1) -( n+r+1)}{( n+1)( n+r+1)}\\ & =\frac{-r}{( n+1)( n+2) \dotsc ( n+r)( n+r+1)}\\ & =-r\times n^{\underline{-( r+1)}}\\ & =-r\times n^{\underline{-r-1}} \end{aligned}

Podemos também obter a derivada em função do polinómio fatorial, tal como feito anteriormente:

nr=1r+1Δnr+1,r1n^{\underline{-r}}=\frac{1}{-r+1} \Delta n^{\underline{-r+1}}\quad,\quad r\ne 1