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Método das Perturbações

Perturbação Direta

A perturbação direta consiste em obter o valor de Sn+1S_{n+1} de duas maneira diferentes, de forma a ser possível igualar ambas as somas.

Vamos então ver um exemplo:

Sn=k=0n2kS_n= \sum^n_{k=0} 2^k

Para calcularmos SnS_n vamos obter então o valor de Sn+1S_{n+1} de duas maneiras:

  • Retirando o último elemento (simples)
  • Retirando o primeiro elemento (complicado)

Retirar o último elemento é muito simples:

Sn+1=k=0n+12k=k=0n2k+2n+1=Sn+2n+1S_{n+1} = \sum^{n+1}_{k=0} 2^k = \sum^n_{k=0} 2^k + 2^{n+1} = S_n + 2^{n+1}

Retirar o primeiro elemento pode revelar-se trabalhoso, mas neste exemplo é relativamente simples:

Sn+1=k=0n+12k=20+k=1n+12k=1+k=0n2k+1=1+k=0n(2k×2)==1+2k=0n2k=1+2SnS_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} 2^{k} =2^{0} +\sum ^{n+1}_{k=1} 2^{k} =1+\sum ^{n}_{k=0} 2^{k+1} =1+\sum ^{n}_{k=0}\left( 2^{k} \times 2\right) =\\ =1+2\sum ^{n}_{k=0} 2^{k} =1+2S_{n}

Juntamos agora ambas as expressões, e resolvemos em ordem a SnS_n:

Sn+2n+1=1+2SnSn=2n+11S_{n} +2^{n+1} =1+2S_{n} \Leftrightarrow S_{n} =2^{n+1} -1

Calculámos assim o valor do somatório, Sn=2n+11S_{n} = 2^{n+1} -1.

MAIS EXEMPLOS

É possível encontrar mais exemplos de perturbação direta nos exercícios 1.1.1 da Ficha Séries 1.

Perturbação Indireta

Por vezes, não é possível calcular o valor do somatório pois o método da perturbação direta é inconclusivo.
Um exemplo deste caso é a seguinte soma:

k=0nk2\sum^n_{k=0} k^2

INCONCLUSIVO

Podemos tentar fazer os cálculos pelo método da perturbação direta, mas o resultado vai ser inconclusivo:

Sn+1=k=0n+1k2=k=0nk2+(n+1)2=Sn+(n+1)2S_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{2} =\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +( n+1)^{2} =S_{n} +( n+1)^{2}
Sn+1=k=0n+1k2=0+k=1n+1k2=k=0n(k+1)2=k=0n(k2+2k+1)==k=0nk2+2k=0nk+k=0n1=Sn+2k=0nk+(n+1)S_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{2} =0+\sum ^{n+1}_{k=1} k^{2} =\sum ^{n}_{k=0}( k+1)^{2} =\sum ^{n}_{k=0}\left( k^{2} +2k+1\right) =\\ =\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +2\sum ^{n}_{k=0} k+\sum ^{n}_{k=0} 1=S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1)

O problema é que ao juntar ambas as expressões, os SnS_n anulam-se.

Sn+(n+1)2=Sn+2k=0nk+(n+1)(n+1)2=2k=0nk+(n+1)S_{n} +( n+1)^{2} =S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow ( n+1)^{2} =2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1)

Então como é que podemos resolver este problema?
Se analisarmos com atenção o resultado anterior, podemos concluir que ao calcular o valor de k=0nk2\displaystyle \sum^n_{k=0}k^2, acabámos por conseguir calcular o valor de k=0nk\displaystyle \sum^n_{k=0}k:

Sn+(n+1)2=Sn+2k=0nk+(n+1)(n+1)2=2k=0nk+(n+1)2k=0nk=n2+2n+1(n+1)k=0nk=n2+n2S_{n} +( n+1)^{2} =S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow ( n+1)^{2} =2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2\sum ^{n}_{k=0} k=n^{2} +2n+1-( n+1) \Leftrightarrow \sum ^{n}_{k=0} k=\frac{n^{2} +n}{2}

O que acontece então se tentarmos calcular o valor de k=0nk3\displaystyle \sum^n_{k=0}k^3?

Sn=k=0nk3S'_{n} =\sum ^{n}_{k=0} k^{3}
Sn+1=k=0n+1k3=k=0nk3+(n+1)3=Sn+(n+1)3S'_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{3} =\sum ^{n}_{k=0} k^{3} +( n+1)^{3} =S'_{n} +( n+1)^{3}
Sn+1=k=0n+1k3=0+k=1n+1k3=k=0n(k+1)3=k=0n(k3+3k2+3k+1)==k=0nk3+3k=0nk2+3k=0nk+k=0n1=Sn+3Sn+3k=0nk+(n+1)S'_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{3} =0+\sum ^{n+1}_{k=1} k^{3} =\sum ^{n}_{k=0}( k+1)^{3} =\sum ^{n}_{k=0}\left( k^{3} +3k^{2} +3k+1\right) =\\ =\sum ^{n}_{k=0} k^{3} +3\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +3\sum ^{n}_{k=0} k+\sum ^{n}_{k=0} 1=S'_{n} +3S_{n} +3\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1)

Parece que vamos conseguir obter o valor de SnS_n desta forma. Podemos também substituir o valor de k=0nk\displaystyle \sum ^{n}_{k=0} k, que foi calculado acima.
Igualando então as duas expressões, conseguimos obter o valor de k=0nk2\displaystyle \sum ^{n}_{k=0} k^2:

Sn+(n+1)3=Sn+3Sn+3k=0nk+(n+1)3Sn=(n+1)33(n2+n2)(n+1)Sn=(n+1)33n2+n2n+12Sn=n(n+1)(2n+1)6S'_{n} +(n+1)^{3} =S'_{n} +3S_{n} +3\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 3S_{n} =( n+1)^{3} -3\left(\frac{n^{2} +n}{2}\right) -( n+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow S_{n} =\frac{( n+1)^{3}}{3} -\frac{n^{2} +n}{2} -\frac{n+1}{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \dotsc \Leftrightarrow S_{n} =\frac{n( n+1)( 2n+1)}{6}

MAIS EXEMPLOS

É possível encontrar mais exemplos de perturbação indireta nos exercícios 1.1.2 da Ficha Séries 1.