Resumos LEIC-A
IST LEIC-AGitHub
Edit page

Introdução ao Cálculo Finito

Derivada de uma sucessão

Dada uma sucessão unu_{n}, tem-se que

(un)′=Δun=un+1−un(u_{n})' = \Delta u_{n} = u_{n+1}-u_{n}

Neste caso, toma-se a definição usual de derivada (razão incremental), mas define-se h=1h = 1 sempre.

Teorema Fundamental do Cálculo Finito

A soma de todas as derivadas desde zero até n−1n-1 é igual a un−u0u_{n} - u_{0}. Assim, tem-se

DEFINIÇÃO

∑k=0n−1Δuk=un−u0\sum_{k=0}^{n-1} \Delta u_{k} = u_{n} - u_{0}

É de notar que un−u0=[un]0n=un∣0nu_{n} - u_{0} = [u_{n}]_{0}^{n} = u_{n}|_{0}^{n} (notação de integral).

Demonstração
Δu0=u1−u0Δu1=u2−u1Δu2=u3−u2Δu3=u4−u3⋮Δun−2=un−1−un−2Δun−1=un−un−1\Delta u_{0} =u_{1} -u_{0}\\ \Delta u_{1} =u_{2} -u_{1}\\ \Delta u_{2} =u_{3} -u_{2}\\ \Delta u_{3} =u_{4} -u_{3}\\ \vdots \\ \Delta u_{n-2} =u_{n-1} -u_{n-2}\\ \Delta u_{n-1} =u_{n} -u_{n-1}

Somando todos os termos, vemos que quase todos se anulam, ficando assim apenas com duas parcelas:

∑k=0n−1Δuk=u1−u0+u2−u1+u3−u2+u4−u3+…+un−1−un−2+un−un−1=−u0+un=un−u0\begin{aligned} \sum ^{n-1}_{k=0} \Delta u_{k} & =u_{1} -u_{0} +u_{2} -u_{1} +u_{3} -u_{2} +u_{4} -u_{3} +\dotsc +u_{n-1} -u_{n-2} +u_{n} -u_{n-1}\\ & =-u_{0} +u_{n} \\ & =u_{n} -u_{0} \end{aligned}

Tal como em cálculo diferencial, existe uma sucessão cuja "derivada" é igual à própria sucessão.
Em calculo finito, esta é a sucessão un=2nu_{n} = 2^{n}.

Demonstração
Δ2k=2k+1−2k=2k(2−1)=2k\begin{aligned} \Delta 2^k &= 2^{k+1}-2^k\\ & =2^k(2-1)\\ & =2^k \end{aligned}

Somas fechadas do tipo aⁿ

Tome-se

∑k=0n−12k\sum_{k=0}^{n-1} 2^{k}

. Sabe-se que 2k=Δ2k2^{k} = \Delta2^{k} logo, tem-se

∑k=0n−12k=∑k=0n−1Δ2k=[2k]0n=2n−1\sum_{k=0}^{n-1} 2^{k} = \sum_{k=0}^{n-1} \Delta2^{k} = [2^{k}]_{0}^{n} = 2^{n} - 1

e, generalizando, tem-se:

DEFINIÇÃO

∑k=0n−1ak=[ak]0na−1=an−1a−1,a≠0,1\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} =\frac{[a^k]^n_0}{a-1} = \frac{a^n-1}{a -1} \quad, \quad a\ne 0,1

Polinómios fatoriais

Note-se, primeiro, a definição de polinómio fatorial:

DEFINIÇÃO

Para cada r∈Nr \in \mathbb{N}, a polinómio fatorial de uma sucessão unu_{n} define-se como se segue:

(un)r‾={ 1se r=0unun−1…un−(r−1)se r≥1(u_{n})^{\underline{r}} = \begin{cases}\ 1 & \text{se } r = 0 \\ u_{n}u_{n-1}\dotsc u_{n-(r-1)} & \text{se } r \geq 1 \end{cases}

De uma forma muito informal, nota-se que em vez de decrementar a expressão na sua totalidade, decrementa-se o valor de nn.

Assim, como exemplo, tem-se

n3‾=n(n−1)(n−2)n^{\underline{3}} = n(n-1)(n-2)
(2n+1)3‾=(2n+1)(2(n−1)+1)(2(n−2)+1)=(2n+1)(2n−1)(2n−3)\begin{aligned} (2n+1)^{\underline{3}} &= (2n+1)\left(2(n-1)+1\right)\left(2(n-2)+1\right)\\ & =(2n+1)(2n−1)(2n−3) \end{aligned}

Derivada do polinómio fatorial

Δnr‾=(n+1)r‾−(n)r‾=(n+1)(n)…(n−(r−2))−(n)…(n−(r−2))(n−(r−1))=n(n−1)…(n−(r−2))×(n+1−(n−r+1))=r⋅nr−1‾\begin{aligned} \Delta n^{\underline{r}} & =(n+1)^{\underline{r}} -(n)^{\underline{r}}\\ & =(n+1)(n)\dotsc (n-(r-2))-(n)\dotsc (n-(r-2))(n-(r-1))\\ & =n( n-1) \dotsc ( n-( r-2))\times ( n+1-( n-r+1))\\ & =r\cdot n^{\underline{r-1}} \end{aligned}

DEFINIÇÃO

Derivada do polinómio fatorial

Δnr‾=r⋅nr−1‾\Delta n^{\underline{r}} = r\cdot n^{\underline{r-1}}

Pode-se também tirar o valor de nrn^r desta expressão:

Δnr+1‾=(r+1)nr‾⇔nr‾=Δ(nr+1‾r+1)\Delta n^{\underline{r+1}} = (r+1)n^{\underline r}\Leftrightarrow n^{\underline r} = \Delta \left(\frac{n^{\underline {r+1}}}{r+1}\right)

Como exemplo, determina-se a soma fechada para ∑k=0n−1k\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}k:

Pega-se na função k2‾k^{\underline{2}}:

Δk2‾=(k+1)2‾−k2‾=(k+1)k−k(k−1)=k(k+1−(k−1))=2k\begin{aligned} \Delta k^{\underline{2}} & =( k+1)^{\underline{2}} -k^{\underline{2}}\\ & =( k+1) k-k( k-1)\\ & =k( k+1-( k-1))\\ & =2k \end{aligned}

(ou, alternativamente, pela forma direta na definição acima)
donde se tira que k=12Δk2‾k = \frac{1}{2}\Delta k^{\underline{2}}.

Logo, pode-se reescrever o somatório para algo com que já se sabe trabalhar:

∑k=0n−1k=12∑k=0n−1Δk2‾=12(n)(n−1)\sum_{k=0}^{n-1}k =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\Delta k^{\underline{2}} = \frac{1}{2}(n)(n-1)