Edit page

Teorema de Newton

Teorema de Newton

Seja pnp_n um polinómio geral:

pn=p0+b1n+b2n2+b3n3++brnr,br0p_n=p_0+b_1n+b_2n^2+b_3n^3+\dots+b_rn^r,\qquad b_r\neq 0

Repare-se que se quiséssemos, por exemplo, a segunda derivada de pnp_n:

Δ2pn=ΔΔpn=Δ(pn+1pn)=pn+22pn+1+pn\Delta^2p_n=\Delta\Delta p_n=\Delta(p_{n+1}-p_n)=p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n

Agora, toma-se a expansão de pnp_n e deriva-se termo a termo:

pn=p0+a1n1+a2n2+a3n3+a4n4++arnrΔpn=a1+2×a2n1+3×a3n2+4×a4n3++r×arnr1Δ2pn=2×a2+3×2×a3n1+4×3×a4n2++r×(r1)×arnr2Δrpn=r!arp_n=p_0+a_1n^{\underline{1}}+a_2n^{\underline{2}}+a_3n^{\underline{3}}+a_4n^{\underline{4}}+\dots+a_rn^{\underline{r}} \\ \Delta p_n=a_1+2\times a_2n^{\underline{1}}+3\times a_3n^{\underline{2}}+4 \times a_4n^{\underline{3}}+\dots+r \times a_rn^{\underline{r-1}}\\ \Delta^2 p_n=2\times a_2+3\times 2\times a_3n^{\underline{1}}+4 \times 3\times a_4n^{\underline{2}}+\dots+r\times (r-1) \times a_rn^{\underline{r-2}}\\ \vdots\\ \Delta^rp_n=r!a_r

Note-se que:

Δp0=(Δpn)n=0\Delta p_0=(\Delta p_n)_{n=0}

Tem-se então:

Δp0=1!×a1Δ2p0=2!×a2Δ3p0=3!×a3Δrp0=r!×arar=1r!Δrp0\Delta p_0=1!\times a_1 \\ \Delta^2p_0=2!\times a_2 \\ \Delta^3p_0=3!\times a_3 \\ \dots\\ \Delta^rp_0=r!\times a_r \Leftrightarrow a_r=\frac 1 {r!}\Delta^r p_0

Donde agora se pode obter como expressão geral para um polinómio, o teorema de newton:

pn=p0+Δp0n1+12!Δ2p0n2+13!Δ3p0n3+1r!Δrp0nrp_n=p_0+\Delta p_0n^{\underline 1}+ \frac 1 {2!}\Delta^2p_0n^{\underline 2} + \frac 1 {3!}\Delta^3p_0n^{\underline 3} + \dots \frac 1 {r!}\Delta^rp_0n^{\underline r}

Agora, pode-se resolver problemas como os seguintes:

Exemplos

Resolução de Exemplos

1)

Começa-se por dispor os dados conhecidos por linhas

Tabela parte 1

A seguir, expande-se a tabela para incluir as linhas anteriores através de contas simples visto que, por exemplo, Δ2=Δn+11Δn1\Delta^2=\Delta^1_{n+1}-\Delta^1_{n}. Assume-se também que a segunda derivada permanecerá constante, e que, por consequência, a terceira será nula. obtendo-se o seguinte:

Tabela parte 2

Agora, com a fórmula já vista para p0p_0, retirando os valores da linha n=0n=0, vem:

pn=0+0+22!n2=n(n1)p_n=0+0+\frac{2}{2!}n^{\underline{2}} = n(n-1)

2)

Como tabela, tem-se:

Exemplo 2

Agora, recorrendo aos números de Stirling de primeira espécie:

Stirling

O exercício 3 seria resolvido de uma maneira análoga a estes últimos dois, com solução n(n+1)n(n+1).

Abaixo segue outro exemplo importante, de um exercício tipo para testes feito pelo professor José.

Exercício final

Exercício final 2