Axiomática

Existem vários métodos de definir os números reais. No entanto, apenas vamos aprofundar no método que utiliza uma via axiomática e axiomas.

É importante perceber o que é um axioma antes de continuar.
TL;DR: Um axioma é uma afirmação que supomos ser verdadeira, e que a partir dela (ou de um conjunto de axiomas) vamos tirar conclusões, neste caso para chegar à definição de números reais.

Operação binária da soma

Uma operação binária é uma operação que tem dois operandos e um resultado.

  • Axioma do fecho da adição x,yU,x+yU\forall x,y\in\mathbb{U}, x+ y\in\mathbb{U}

A qualquer operação que tenha a propriedade anteriormente estabelecida chama-se uma operação fechada em U\mathbb{U}.

  • Axioma da associatividade da adição x,y,zU,x+(y+z)=(x+y)+z\forall x,y,z\in \mathbb{U}, x+(y+z)=(x+y)+z

  • Axioma da comutatividade da adição x,yU,x+y=y+x\forall x,y \in \mathbb{U}, x+y=y+x

tip

Nos PDFs em anexo, existem muitos mais exemplos de axiomas que são usados para definir o conjunto dos números reais. Na prática, esta informação não é assim tão importante, por isso o resumo disto acaba aqui :)

Inequações com somas/diferenças de módulos

Tomemos o exemplo seguinte:

x1+x+2x3x1+x+2x30|x-1|+|x+2|\le |x-3| \Leftrightarrow |x-1|+|x+2|-|x-3|\le 0

Para resolver esta inequação, temos de utilizar uma tabela de módulos, atendendo aos pontos em que os módulos mudam de sinal. Assim, ficamos com os pontos 2,1 e 3-2, 1 \text{ e } 3.

Tabela de Sinais

É importante relembrar que quando se está a juntar as parcelas na linha F(x)F(x) não se pode esquecer dos sinais que estavam inicialmente na inequação. É de notar também a simetria da expressão após passar pelo seu zero.

Através da tabela anterior, podemos escrever a seguinte expressão:

Inequação

É de salientar que não se pode esquecer de fechar os intervalos, isto é, de incluir os pontos de separação na tabela anterior (2,1 e 3-2, 1 \text{ e } 3), exceto nos casos em que estes não fazem do domínio.

No final, ao resolver a expressão anterior, obtemos o resultado de [4,0][-4,0].


PDFs: