Estudo Gráfico de Funções

Assíntotas

Assíntotas Verticais

Diz-se que a reta de equação x=x0x=x_0 é uma assíntota:

  • vertical à esquerda para ff se ff está definida em ]x0r,x0[]x_0 − r, x_0[, para algum rR+r\in\R^+, e f(x0)=±.f(x_0^-)=\pm \infin.
  • vertical à direita para ff se ff está definida em ]x0,x0+r[]x_0, x_0+r[, para algum rR+r\in\R^+, e f(x0+)= ±.f(x_0^+)=~\pm \infin.
  • bi-lateral para ff se é simultaneamente uma assíntota à esquerda e uma assíntota à direita.

👉 Só é preciso estudar a existência de assíntotas verticais nos pontos em que a função não é contínua.

Podem existir infinitas assíntotas verticais numa função, tal como é o caso da função f(x)=tgx.f(x)=\tg x.

Exemplos

Exemplo 1

Função f:R\{0}R,f(x)=1xf:\R\backslash \{0\}\to \R\quad,\quad f(x)=\frac 1x

Tem uma assíntota bi-lateral de equação x=0x=0.

Assíntota Bilateral, Exemplo 1

Exemplo 2

g:RR,g(x)={e1xse x00se x=0g:\R\to\R\quad,\quad g(x)=\begin{cases} e^{\frac 1x} &\text{se }x\ne 0\\ 0&\text{se }x=0 \end{cases}

Tem uma assíntota à direita de equação x=0x=0. É de salientar que esta função está definida na origem, sendo mesmo contínua à esquerda. Mesmo assim, tem uma assíntota neste ponto.

Assíntota, Exemplo 2

Assíntotas Não Verticais

Seja ff uma função que está definida em Vr(+)V_r(+\infin), para algum rR+r\in\R^+.

Diz-se que a reta y=m+x+b+{y=m_+x+b_+} é uma assíntota não vertical à direita de ff se

limx+f(x)x=m+R,limx+[f(x)mx]=b+R\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}x=m_+\in\R\quad,\quad\lim_{x\to+\infin}\big[f(x)-mx\big]=b_+\in\R

Também se diz, nesse caso, que a reta descreve o comportamento assintótico de ff quando x+{x\to+\infin}.

Define-se de modo equivalente uma assíntota não vertical à esquerda de ff, y=mx+b{y=m_{-}x+b_{-}}.

👉 Caso mm ou bb não pertençam a R\R, não existe assíntota não vertical (no "lado" que estiverem a verificar).

Pela unicidade do limite, existe no máximo, uma assíntota não vertical à esquerda e uma assíntota não vertical à direita.

Assíntotas Não Retilíneas

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Este tipo de assíntotas é conhecimento extra que não será avaliado.

A explicação de como determinar assíntotas não retilíneas (não verticais) encontra-se nas páginas 3 e 4 do PDF da aula 19. Entre outros, exemplos destas assíntotas são assíntotas quadráticas e assíntotas exponenciais.

Paridade de funções

Conjunto Simétrico

Diz-se que CRC\subset\R é um conjunto simétrico se xC    xC{x\in C \implies -x\in C}.

Seja DfRD_f\subset\R um conjunto simétrico e f:DfRf: D_f\to \R uma função definida em DfD_f. Diz-se que

  • ff é uma função par se f(x)=f(x)f(-x)=f(x) para todo o xDfx\in D_f. Também se diz, nesse caso, que ff é simétrica em relação ao eixo x=0x=0.
  • ff é uma função ímpar se f(x)=f(x)f(-x)=-f(x) para todo o xDfx\in D_f. Também se diz, nesse caso, que ff é simétrica em relação à origem.
  • ff é uma função simétrica se ff é par ou ff é ímpar.

Simetria em relação a x0x_0

Também é possível estudar a simetria num eixo sem ser x=0x=0 ou num ponto sem ser a origem.

Conjunto simétrico em relação a x0x_0

Diz-se que CRC\subset\R é um conjunto simétrico a x0x_0 se xC    2x0xCx\in C \implies 2x_0-x\in C.

Uma função definida num conjunto DfD_f simétrico em relação a x0x_0 é simétrica em relação ao eixo x=x0x=x_0 se f(2x0x)=f(x)f(2x_0-x)=f(x) para qualquer xDfx\in D_f.

Uma função definida num conjunto DfD_f simétrico em relação a x0x_0 é simétrica em relação ao ponto (x0,y0)(x_0,y_0) se f(2x0x)=2y0f(x)f(2x_0-x)=2y_0-f(x).

Exemplo

Tenhamos

f:],0][2,+[R,f(x)=x22x.f :] − \infty, 0] \cup [2, +\infty[\to \R , f(x) = \sqrt{x^2 - 2x}.

É fácil verificar que, sendo Df=],0][2,+[D_f =] − \infty, 0] \cup [2, +\infty[,

xDf    2xDfx \in D_f \implies 2 − x \in D_f

e que f(2x)=f(x)f(2 − x) = f(x) ou, mais simplesmente que a função gg definida por

g(x)=f(x+1)=x21g(x) = f(x + 1) = \sqrt{x^2 - 1}

é uma função par de domínio R\]1,1[.\R \backslash ] − 1, 1[.
Se, por exemplo, se calcular f(2+)f(2^+) tem-se, de imediato e sem mais cálculos, que f(0)=f(2+)f(0^−) = f(2^+). Esta simplificação não é muito interessante, mas supondo que se pretende determinar as derivadas laterais nos ponto 0 e 2, o que tem que ser feito pela definição, o resultado já é mais interessante. Tem-se

fd(2)=limx2+f(x)f(2)x2=limx2+x(x2)x2=limx2+xx2=+.f'_d(2) = \lim_{x\to 2^+} \frac{f(x) − f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x(x-2)}}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \sqrt{\frac{x}{x-2}} = +\infty.

Para calcular fef'_e usando a definição ter-se-ia que fazer algo semelhante mas tendo cuidado com o passar xx para dentro da raiz que daria origem ao aparecimento de um sinal negativo no exterior da raiz,

fe(0)=limx0f(x)f(0)x0=limx0x(x2)x=limx0x2x=.f'_e(0) = \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x(x-2)}}{x} = \lim_{x \to 0^-} - \sqrt{\frac{x-2}{x}} = - \infty.

Usando a simetria, como a derivada de uma função par é ímpar, ter-se-ia, simplesmente,

fe(0)=fd(2)=.f'_e(0) = −f'_d(2) = −\infty.

Periodicidade

Conjunto Periódico

Sejam CRC\subset\R e TR+T\in\R^+. Diz-se que CC é um conjunto periódico de período TT se xC    x+TC{x\in C\implies x+T\in C}.

Também se diz que CC admite período TT. Diz-se que CC é um conjunto periódico se ele admite algum período positivo.

Chama-se período principal de CC ao ínfimo do conjunto {TR+:C admite o perıˊodo T}{\{T\in\R^+:C \text{ admite o período }T\}}. Por outras palavras, o período principal de CC é o período mínimo positivo que o conjunto admite.

Se CC admite período TT, então CC admite período kT,kN+kT, k\in\N^+, logo o período não é único.

Função periódica

Sejam DfD_f um conjunto periódico e f:DfRf:D_f\to\R. Diz-se que ff admite o período TT se DfD_f admite o período TT e f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x), para qualquer xDfx\in D_f.

Diz-se que uma função ff é periódica se ff admite um período positivo.

Define-se o período principal positivo de uma função não constante e periódica como sendo o ínfimo do conjunto {TR+:f admite o perıˊodo T}{\{T\in\R^+: f\text{ admite o período }T\}}.

👉 Uma grande vantagem das funções periódicas é que basta saber o seu comportamento num intervalo qualquer da forma [x0,x0+T][x_0,x_0+T] e sabe-se o seu comportamento em qualquer ponto de R\R.

Estudo Completo de uma Função

O estudo completo de uma função consiste nos seguintes passos:

  1. Domínio, simetria e periodicidade. Neste ponto podem ainda incluir-se as interseções com os eixos. Caso haja simetria ou periodicidade, esse facto deverá afetar o estudo seguinte, simplificando-o.
  2. Continuidade e assíntotas. Aqui deve incluir-se o estudo da existência e prolongamento contínuo aos pontos de DF\DF\overline{D_F}\backslash D_F. Caso exista prolongamento contínuo em algum desses pontos o restante estudo deve incidir sobre esse prolongamento.
  3. Diferenciabilidade, monotonia e extremos.
  4. Diferenciabilidade da derivada, concavidade e inflexões. Aqui é útil incluir a determinação do declive da tangente nos pontos de inflexão.
  5. Gráfico e contradomínio. Aqui é útil começar por elaborar um quadro resumo de todo o conhecimento obtido sobre a função.

Das páginas 8-10 da Aula 19 encontra-se o estudo completo da função

log1x1+x,\log\bigg|\frac{1-x}{1+x}\bigg|,

que é bastante importante ver.


PDFs: