Fórmula de Taylor

É recomendada a visualização do seguinte vídeo, como suporte aos resumos:

Derivadas de Ordem Superior

Conceito já introduzido nas classes de funções.

No entanto, este conceito pode ser definido por recorrência:

💡 Se ff é diferenciável em ADfA\subset D_f, para qualquer xAx\in A,

{f(1)(x)=f(x)f(n+1)(x)=[f(n)(x)]\displaystyle\begin{cases} f^{(1)}(x)=f'(x)\\ f^{(n+1)}(x)=[f^{(n)}(x)]' \end{cases}

se f(k)f^{(k)} é diferenciável em AA, para qualquer k=1,,nk=1,\dots,n.

Como exemplo desta definição, estuda-se a função polinomiar definida por

f(x)=x4+3x2+18x+1f(x)=4x3+6x+18=f(1)(x)f(x)=12x2+6=f(2)(x)f(3)(x)=24xf(4)(x)=24f(n)(x)=0,nN,n>4f(x)=x^4+3x^2+18x+1\\ f'(x)=4x^3+6x+18=f^{(1)}(x)\\ f''(x)=12x^2+6=f^{(2)}(x)\\ f^{(3)}(x)=24x\\ f^{(4)}(x)=24\\ f^{(n)}(x)=0,\forall n\in\N,n>4

👉 Para qualquer função polinomial de grau nN0n\in\N_0 que têm todas as derivadas definidas em R\R, tem-se f(k)(x)=0f^{(k)}(x)=0 para qualquer k>nk>n e qualquer xRx\in\R.

Determinação de derivadas de ordem nn

As derivadas de ordem nn de algumas funções são intuitivamente obtidas (para nN0n\in\N_0):

  • f(x)=eaxf(x)=e^{ax} então f(n)(x)=aneaxf^{(n)}(x)=a^ne^{ax}
  • f(x)=sin(ax)f(x)=\sin(ax) então f(n)(x)=ansin(nπ2+ax)f^{(n)}(x)=a^n\sin(\frac{n\pi}2+ax)

A demonstração por indução da derivada de ordem nn da função exponencial encontra-se no PDF da aula 17, páginas 1 e 2.

Fórmula de Leibnitz

Fórmula de Leibnitz para a derivada de ordem nn do produto

Sejam ff e gg duas funções com derivada até à ordem nn numa vizinhança do ponto x0x_0. Então, o produto fgf\cdot g é nn vezes diferenciável numa vizinhança de x0x_0 e:

(fg)(n)(x0)=k=0n[(nk)f(nk)(x0)g(k)(x0)](f\cdot g)^{(n)}(x_0)=\sum_{k=0}^n\bigg[\smartcolor{orange}{\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}}\smartcolor{green}{f^{(n-k)}(x_0)}\smartcolor{pink}{g^{(k)}(x_0)}\bigg]
(nk)=nCk=n!(nk)!k!\smartcolor{orange}{\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}}={^n}C_k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}

Então, se por exemplo, considerarmos a função h(x)=x2eaxh(x)=x^2e^{ax}, temos:

f(x)=eaxg(x)=x2f(n)(x)=aneaxg(0)(x)=g(x)=x2g(1)(x)=g(x)=2xg(2)(x)=g(x)=2g(k)(x)=0,k>2(a)f(x)=e^{ax}\quad g(x)=x^2\\ \smartcolor{green}{f^{(n)}(x)=a^ne^{ax}}\\ \smartcolor{pink}{g^{(0)}(x)=g(x)=x^2\quad g^{(1)}(x)=g'(x)=2x\quad g^{(2)}(x)=g''(x)=2}\\ \tag{a}g^{(k)}(x)=0, \forall k>2

Logo, pela Fórmula de Leibnitz, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de ordem nn de hh, visto que apenas os três primeiros termos são não nulos, por (a)(a).

(x2eax)(n)=(n0)f(n)(x)g(x)+(n1)f(n1)(x)g(x)+(n2)f(n2)(x)g(x)==1aneaxx2+nan1eax2x+n(n1)2!a(n2)eax2\big(x^2e^{ax}\big)^{(n)}=\smartcolor{orange}{\begin{pmatrix}n\\0 \end{pmatrix}}\smartcolor{green}{f^{(n)}(x)}\smartcolor{pink}{g(x)}+\smartcolor{orange}{\begin{pmatrix}n\\1 \end{pmatrix}}\smartcolor{green}{f^{(n-1)}(x)}\smartcolor{pink}{g'(x)}+\smartcolor{orange}{\begin{pmatrix}n\\2 \end{pmatrix}}\smartcolor{green}{f^{(n-2)}(x)}\smartcolor{pink}{g''(x)}=\\= \smartcolor{orange}{1}\cdot\smartcolor{green}{a^ne^{ax}}\smartcolor{pink}{x^2}+\smartcolor{orange}{n}\smartcolor{green}{a^{n-1}e^{ax}}\cdot\smartcolor{pink}{2x}+\smartcolor{orange}{\frac{n(n-1)}{\cancel{2!}}}\smartcolor{green}{a^{(n-2)}e^{ax}}\cdot\smartcolor{pink}{\cancel2}

Contacto de ordem nn entre duas funções

  • O polinómio aproxima a função suficientemente bem para que o quociente entre a diferença entre eles e xx0x-x_0, que é um infinitésimo, ainda tende para 00 quando xx0x\to x_0.

Considerando um polinómio, em xx0x-x_0, de ordem nn

Px0,n(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+a3(xx0)3++an(xx0)nP_{x_0,n}(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\dots+a_n(x-x_0)^n

Isto corresponde a dizer que

  • f(x0)=a0f(x_0)=a_0 (contacto de ordem 0)
  • f(x0)=a1f'(x_0)=a_1 (contacto de ordem 1)
  • f(x0)=2a2f''(x_0)=2\cdot a_2 (contacto de ordem 2)
  • f(3)(x0)=32a3f^{(3)}(x_0)=3\cdot 2\cdot a_3 (contacto de ordem 3)
  • f(n)(x0)=n!anf^{(n)}(x_0)=n!\cdot a_n (contacto de ordem nn)

Assim, obtemos uma expressão para os coeficientes da função polinomial que tem contacto de ordem nn com a função ff:

ak=f(k)(x0)k!k=0,1,,na_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\quad k=0,1,\dots,n

Polinómio de Taylor

Juntado os coeficientes obtidos acima, podemos obter o polinómio de Taylor:

Seja ff uma função com derivadas até à ordem nn numa vizinhança de x0Rx_0\in\R. Chama-se polinómio de Taylor de ordem nn da função ff, relativo ao ponto x0x_0, ou em torno do ponto x0x_0 ao polinómio

Pf,x0,n(x)=k=0nak(xx0)kP_{f,x_0,n}(x)=\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k

onde

ak=f(k)(x0)k!k=0,1,,na_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\quad k=0,1,\dots,n

Vídeo Taylor 1 Vídeo Taylor 2

O polinómio de Taylor de ordem nn, relativo a x0x_0, existe para qualquer função de ordem Cn1(Vr(x0))C^{n-1}(V_r(x_0)) que tenha derivada de ordem nn em x0x_0 e que esse polinómio é único.

Exemplo

Podemos aproximar a função seno, junto da origem, construindo um polinómio de Taylor de ordem 4. Seja então f(x)=sinxf(x)=\sin x, x0=0x_0=0 e n=4n=4.

f(k)(0)=sin(kπ2)    f(0)=0f(0)=1f(0)=0f(3)(0)=1f(4)(0)=0f^{(k)}(0)=\sin\bigg(\frac{k\pi}2\bigg)\implies\\ f(0)=0\\ f'(0)=1\\ f''(0)=0\\ f^{(3)}(0)=-1\\ f^{(4)}(0)=0

Usando a fórmula para o polinómio de Taylor:

a0=0,a1=1,a2=0,a3=16,a4=0a_0=0,a_1=1,a_2=0,a_3=-\frac 16,a_4=0

Então, P4(x)=xx36\displaystyle P_4(x)=x-\frac{x^3}6.

👉 Podem-se tirar duas conclusões ao analisar este exemplo:

  • A construção do polinómio é uma tarefa mecânica, muito simples.
  • Sem a indicação da ordem do polinómio, ser-se-ia levado a acreditar que se tratava de um polinómio de terceira ordem, visto que os polinómios de terceira e quarta ordem coincidem, pois ambos têm grau 3.

Teorema/Fórmula de Taylor

Sejam nN+n\in\N^+, x0Rx_0\in\R e ff uma função de classe C(n1)(Vr(x0))C^{(n-1)}(V_r(x_0)), para algum rR+r\in\R^+, com derivada de ordem nn em Vr(x0)V_r(x_0).

Então, f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x)=P_n(x)+R_n(x) onde Pn(x)P_n(x) é o polinómio de Taylor de ordem nn da função ff em torno do ponto x0x_0 e Rn(x)R_n(x) satisfaz

limxx0Rn(x)(xx0)n=0lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0

Chama-se à função RnR_n, resto de ordem nn da fórmula de Taylor para a função ff no ponto x0x_0.

Simplificando, quando se aproxima uma função através de um polinómio de Taylor, existe um resto, Rn(x)R_n(x), que corresponde à diferença entre o valor real da função e o valor aproximado pelo polinómio de Taylor.

warning

Quando x0=0x_0=0, frequentemente chama-se fórmula, resto e polinómio de MacLaurin em vez de fórmula, resto e polinómio de Taylor.

Restos

Tal como indicado acima, existe um resto associado ao Teorema de Taylor. Existem várias maneiras de calcular este resto, dependendo do problema em questão:

Resto de Lagrange

Sejam nN+n\in\N ^+, x0Rx_0\in\R e ff uma função de classe C(n)(Vr(x0))C^{(n)}(V_r(x_0)), para algum rR+r\in\R^+, tal que f(n)f^{(n)} é diferenciável em Vr(x)V_r(x). Então, o resto de ordem nn da fórmula de Taylor é dado por:

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(xx0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}

para algum cc tal que cx0<xx0|c-x_0|<|x-x_0|.

Resto de Peano

Sejam nN+n\in\N ^+, x0Rx_0\in\R e ff uma função de classe C(n)(Vr(x0))C^{(n)}(V_r(x_0)), para algum rR+r\in\R^+, tal que f(n)f^{(n)} é diferenciável em Vr(x)V_r(x). Então, o resto de ordem nn da fórmula de Taylor é dado por:

Rn(x)=(f(n+1)(x0)(n+1)!+αn(x))(xx0)n+1R_n(x)=\bigg(\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}+\alpha_n(x)\bigg)(x-x_0)^{n+1}

onde limxx0αn(x)=0\displaystyle\lim_{x\to x_0}\alpha_n(x)=0.

warning

O αn(x)\alpha_n(x) é algo que vai mesmo ficar no resultado final, não dá para descobrir, apenas sabemos que tende para zero em x0x_0.

Para calcular limites, usa-se maioritariamente o Resto de Peano. Para outros casos, usa-se o Resto de Lagrange.

Resto de Cauchy

🚫

Raramente se usa este resto.

Sejam nN+n\in\N ^+, x0Rx_0\in\R e ff uma função de classe C(n)(Vr(x0))C^{(n)}(V_r(x_0)), para algum rR+r\in\R^+, tal que f(n)f^{(n)} é diferenciável em Vr(x)V_r(x). Então, o resto de ordem nn da fórmula de Taylor é dado por:

Rn(x)=f(n+1)(c)n!(xc)n(xa)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot (x-c)^{n}(x-a)

para algum cc tal que cx0<xx0|c-x_0|<|x-x_0|.

Exemplo

Para escrever a fórmula de MacLaurin para f(x)=sh(ax)f(x)=\sh(ax), com resto de ordem 4, começa-se por determinar o polinómio de MacLaurin de ordem 4 para ff.

(sh(ax))(n)={ansh(ax)se n eˊ paranch(ax)se n eˊ ıˊmpar\big(\sh(ax)\big)^{(n)}=\begin{cases} a^n\sh(ax)&\text{se }n\text{ é par}\\ a^n\ch(ax)&\text{se }n\text{ é ímpar} \end{cases}

Aplicando a fórmula dos coeficientes do polinómio de Taylor:

a0=0,a1=a,a2=0,a3=a36,a4=0P4(x)=ax+a36x3a_0=0\quad,\quad a_1=a\quad, \quad a_2=0\quad,\quad a_3=\frac{a^3}6\quad,\quad a_4=0\\ P_4(x)=ax+\frac{a^3}6x^3

De seguida, calcula-se o resto de Lagrange. Por definição:

f(5)(c)=a5ch(ac)R4(x)=a5ch(ac)120x5,c<xf^{(5)}(c)=a^5\ch(ac)\\ R_4(x)=\frac{a^5\ch(ac)}{120}x^5\quad,\quad |c|<|x|

Logo, como f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x)=P_n(x)+R_n(x):

f(x)=ax+a36x3+a5ch(ac)120x5,xR,c<xf(x)=ax+\frac{a^3}6x^3+\frac{a^5\ch(ac)}{120}x^5\quad,\quad x\in\R,|c|<|x|

Como podemos observar, a aproximação da função perto de x0=0x_0=0 é bastante boa, até porque R(x)R(x) é praticamente zero.

Majorar o erro

Seguindo o exemplo anterior, podemos majorar o erro, isto é, descobrir o valor máximo do resto numa vizinhança de x0x_0.

Escolhemos, por exemplo, V12(0)V_{\frac 12}(0) e a=2a=2:

ϵ=f(x)P4(x)=R4(x)=32ch(2c)120x5\epsilon=|f(x)-P_4(x)|=|R_4(x)|=\bigg|\frac{32\ch(2c)}{120}x^5\bigg|

Como c<x<12|c|<|x|<\frac 12, e ch(2x)\ch(2x) é crescente em R+\R^+ e ch(212)<74\ch(2\cdot\frac 12)<\frac 74, pode-se majorar o erro por:

ϵ<7480=32×74120×(12)5\epsilon<\frac 7{480}=\frac{32\times\frac 74}{120}\times\bigg(\frac 12\bigg)^5

Assim, uma das grandes utilidades do Resto de Lagrange é majorar o erro cometido ao aproximar a função pelo polinómio.

Cálculo de limites

Para calcular limites, usa-se normalmente o Resto de Peano.

Considerando o seguinte limite:

limx06sh(2x)12x8x3x5\lim_{x\to 0}\frac{6\sh(2x)-12x-8x^3}{x^5}

Facilmente se conclui que se trata de uma indeterminação. No entanto, seria complicado de levantar esta indeterminação pela Regra de Cauchy, porque se teria de a aplicar cinco vezes. Assim, pode-se recorrer ao Resto de Peano.

Assim, usado a Fórmula de MacLaurin:

sh(2x)=2x+86x3+(32120+α4(x))x5,limx0α4(x)=0\sh(2x)=2x+\frac86x^3+\bigg(\frac{32}{120}+\alpha_4(x)\bigg)x^5\quad,\quad \lim_{x\to0}\alpha_4(x)=0

Então:

limx06sh(2x)12x8x3x5=limx0=12x+8x3+6(415+α4(x))x512x8x3x5=limx0(85+6α4(x))=85\lim_{x\to 0}\frac{6\sh(2x)-12x-8x^3}{x^5}=\lim_{x\to 0}=\frac{12x+8x^3+6(\frac 4{15}+\alpha_4(x))x^5-12x-8x^3}{x^5}\\= \lim_{x\to 0}\bigg(\frac85+6\alpha_4(x)\bigg)=\frac85

Assim, uma das grandes utilidades do Resto de Peano é o cálculo de limites.

Teorema de Taylor para os extremos

Tal como já foi referido anteriormente, o conjunto dos extremantes locais (de uma função diferenciável em todo o seu domínio) está sempre contido no conjunto dos zeros da sua derivada. A estes pontos (pontos onde a primeira derivada é nula), chamam-se pontos de estacionariedade da função, ou, pontos críticos da função.

Podemos usar o seguinte Teorema para verificar se uma função tem um extremo num ponto:

Seja ff uma função de classe CnC^n, n1n\ge 1 numa vizinhança de um ponto x0Rx_0\in\R tal que

f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0f(n)(x0)0f'(x_0)=f''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0\quad f^{(n)}(x_0)\ne 0

Então, pode-se concluir o seguinte:

  • Se nn é par:
    • Se f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0, x0x_0 é minimizante local
    • Se f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0, x0x_0 é maximizante local
  • Se nn é ímpar:
    • Se f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0, ff é crescente numa vizinhança de x0x_0
    • Se f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0, ff é decrescente numa vizinhança de x0x_0

Nada se pode concluir no caso em que uma função tem as derivadas todas nulas num ponto.

👉 A demonstração do teorema encontra-se no PDF da aula 18, páginas 5 a 7.

Concavidade

Pode definir-se formalmente a concavidade de uma função do seguinte modo:

Seja ff uma função diferenciável num ponto x0Rx_0\in\R. Diz-se que:

  • ff é convexa em x0x_0 se f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\ge0 nalguma vizinhança de x0x_0. Também se diz, nesse caso, que o gráfico de ff tem a concavidade virada para cima.
  • ff é côncava em x0x_0 se f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\le0 nalguma vizinhança de x0x_0. Também se diz, nesse caso, que o gráfico de ff tem a concavidade virada para baixo.
  • ff tem um ponto de inflexão em x0x_0 se f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\le0 numa das semi-vizinhanças laterais de x0x_0 e f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\ge0 na outra.

Pela definição, não é necessário ter a segunda derivada para calcular a concavidade.

Teorema de Taylor para as concavidades

Seja ff uma função de classe CnC^n, n2n\ge 2 numa vizinhança de um ponto x0Rx_0\in\R, tal que

f(x0)==f(n1)(x0)=0f(n)(x0)0f''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0\quad f^{(n)}(x_0)\ne 0

Então:

  • Se nn é par
    • Se f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0, ff é convexa em x0x_0
    • Se f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0, ff é côncava em x0x_0
  • Se nn é ímpar, ff tem um ponto de inflexão em x0x_0

PDFs: