Fórmula de Taylor

É recomendada a visualização do seguinte vídeo, como suporte aos resumos:

Derivadas de Ordem Superior

Conceito já introduzido nas classes de funções.

No entanto, este conceito pode ser definido por recorrência:

💡 Se $f$ é diferenciável em $A\subset D_f$, para qualquer $x\in A$,

se $f^{(k)}$ é diferenciável em $A$, para qualquer $k=1,\dots,n$.

Como exemplo desta definição, estuda-se a função polinomiar definida por

👉 Para qualquer função polinomial de grau $n\in\N_0$ que têm todas as derivadas definidas em $\R$, tem-se $f^{(k)}(x)=0$ para qualquer $k>n$ e qualquer $x\in\R$.

Determinação de derivadas de ordem $n$

As derivadas de ordem $n$ de algumas funções são intuitivamente obtidas (para $n\in\N_0$):

• $f(x)=e^{ax}$ então $f^{(n)}(x)=a^ne^{ax}$
• $f(x)=\sin(ax)$ então $f^{(n)}(x)=a^n\sin(\frac{n\pi}2+ax)$

A demonstração por indução da derivada de ordem $n$ da função exponencial encontra-se no PDF da aula 17, páginas 1 e 2.

Fórmula de Leibnitz

Fórmula de Leibnitz para a derivada de ordem $n$ do produto

Sejam $f$ e $g$ duas funções com derivada até à ordem $n$ numa vizinhança do ponto $x_0$. Então, o produto $f\cdot g$ é $n$ vezes diferenciável numa vizinhança de $x_0$ e:

Então, se por exemplo, considerarmos a função $h(x)=x^2e^{ax}$, temos:

Logo, pela Fórmula de Leibnitz, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de ordem $n$ de $h$, visto que apenas os três primeiros termos são não nulos, por $(a)$.

Contacto de ordem $n$ entre duas funções

• O polinómio aproxima a função suficientemente bem para que o quociente entre a diferença entre eles e $x-x_0$, que é um infinitésimo, ainda tende para $0$ quando $x\to x_0$.

Considerando um polinómio, em $x-x_0$, de ordem $n$

Isto corresponde a dizer que

• $f(x_0)=a_0$ (contacto de ordem 0)
• $f'(x_0)=a_1$ (contacto de ordem 1)
• $f''(x_0)=2\cdot a_2$ (contacto de ordem 2)
• $f^{(3)}(x_0)=3\cdot 2\cdot a_3$ (contacto de ordem 3)
• $f^{(n)}(x_0)=n!\cdot a_n$ (contacto de ordem $n$)

Assim, obtemos uma expressão para os coeficientes da função polinomial que tem contacto de ordem $n$ com a função $f$:

Polinómio de Taylor

Juntado os coeficientes obtidos acima, podemos obter o polinómio de Taylor:

Seja $f$ uma função com derivadas até à ordem $n$ numa vizinhança de $x_0\in\R$. Chama-se polinómio de Taylor de ordem $n$ da função $f$, relativo ao ponto $x_0$, ou em torno do ponto $x_0$ ao polinómio

onde

O polinómio de Taylor de ordem $n$, relativo a $x_0$, existe para qualquer função de ordem $C^{n-1}(V_r(x_0))$ que tenha derivada de ordem $n$ em $x_0$ e que esse polinómio é único.

Exemplo

Podemos aproximar a função seno, junto da origem, construindo um polinómio de Taylor de ordem 4. Seja então $f(x)=\sin x$, $x_0=0$ e $n=4$.

$$f^{(k)}(0)=\sin\bigg(\frac{k\pi}2\bigg)\implies\\ f(0)=0\\ f'(0)=1\\ f''(0)=0\\ f^{(3)}(0)=-1\\ f^{(4)}(0)=0$$

Usando a fórmula para o polinómio de Taylor:

$$a_0=0,a_1=1,a_2=0,a_3=-\frac 16,a_4=0$$

Então, $\displaystyle P_4(x)=x-\frac{x^3}6$.

👉 Podem-se tirar duas conclusões ao analisar este exemplo:

• A construção do polinómio é uma tarefa mecânica, muito simples.
• Sem a indicação da ordem do polinómio, ser-se-ia levado a acreditar que se tratava de um polinómio de terceira ordem, visto que os polinómios de terceira e quarta ordem coincidem, pois ambos têm grau 3.

Teorema/Fórmula de Taylor

Sejam $n\in\N^+$, $x_0\in\R$ e $f$ uma função de classe $C^{(n-1)}(V_r(x_0))$, para algum $r\in\R^+$, com derivada de ordem $n$ em $V_r(x_0)$.

Então, $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ onde $P_n(x)$ é o polinómio de Taylor de ordem $n$ da função $f$ em torno do ponto $x_0$ e $R_n(x)$ satisfaz

Chama-se à função $R_n$, resto de ordem $n$ da fórmula de Taylor para a função $f$ no ponto $x_0$.

Simplificando, quando se aproxima uma função através de um polinómio de Taylor, existe um resto, $R_n(x)$, que corresponde à diferença entre o valor real da função e o valor aproximado pelo polinómio de Taylor.

Restos

Tal como indicado acima, existe um resto associado ao Teorema de Taylor. Existem várias maneiras de calcular este resto, dependendo do problema em questão:

Resto de Lagrange

Sejam $n\in\N ^+$, $x_0\in\R$ e $f$ uma função de classe $C^{(n)}(V_r(x_0))$, para algum $r\in\R^+$, tal que $f^{(n)}$ é diferenciável em $V_r(x)$. Então, o resto de ordem $n$ da fórmula de Taylor é dado por:

para algum $c$ tal que $|c-x_0|<|x-x_0|$.

Resto de Peano

Sejam $n\in\N ^+$, $x_0\in\R$ e $f$ uma função de classe $C^{(n)}(V_r(x_0))$, para algum $r\in\R^+$, tal que $f^{(n)}$ é diferenciável em $V_r(x)$. Então, o resto de ordem $n$ da fórmula de Taylor é dado por:

onde $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\alpha_n(x)=0$.

Para calcular limites, usa-se maioritariamente o Resto de Peano. Para outros casos, usa-se o Resto de Lagrange.

Resto de Cauchy

Sejam $n\in\N ^+$, $x_0\in\R$ e $f$ uma função de classe $C^{(n)}(V_r(x_0))$, para algum $r\in\R^+$, tal que $f^{(n)}$ é diferenciável em $V_r(x)$. Então, o resto de ordem $n$ da fórmula de Taylor é dado por:

para algum $c$ tal que $|c-x_0|<|x-x_0|$.

Exemplo

Para escrever a fórmula de MacLaurin para $f(x)=\sh(ax)$, com resto de ordem 4, começa-se por determinar o polinómio de MacLaurin de ordem 4 para $f$.

$$\big(\sh(ax)\big)^{(n)}=\begin{cases} a^n\sh(ax)&\text{se }n\text{ é par}\\ a^n\ch(ax)&\text{se }n\text{ é ímpar} \end{cases}$$

Aplicando a fórmula dos coeficientes do polinómio de Taylor:

$$a_0=0\quad,\quad a_1=a\quad, \quad a_2=0\quad,\quad a_3=\frac{a^3}6\quad,\quad a_4=0\\ P_4(x)=ax+\frac{a^3}6x^3$$

De seguida, calcula-se o resto de Lagrange. Por definição:

$$f^{(5)}(c)=a^5\ch(ac)\\ R_4(x)=\frac{a^5\ch(ac)}{120}x^5\quad,\quad |c|<|x|$$

Logo, como $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$:

$$f(x)=ax+\frac{a^3}6x^3+\frac{a^5\ch(ac)}{120}x^5\quad,\quad x\in\R,|c|<|x|$$

Como podemos observar, a aproximação da função perto de $x_0=0$ é bastante boa, até porque $R(x)$ é praticamente zero.

Majorar o erro

Seguindo o exemplo anterior, podemos majorar o erro, isto é, descobrir o valor máximo do resto numa vizinhança de $x_0$.

Escolhemos, por exemplo, $V_{\frac 12}(0)$ e $a=2$:

Como $|c|<|x|<\frac 12$, e $\ch(2x)$ é crescente em $\R^+$ e $\ch(2\cdot\frac 12)<\frac 74$, pode-se majorar o erro por:

Assim, uma das grandes utilidades do Resto de Lagrange é majorar o erro cometido ao aproximar a função pelo polinómio.

Cálculo de limites

Para calcular limites, usa-se normalmente o Resto de Peano.

Considerando o seguinte limite:

Facilmente se conclui que se trata de uma indeterminação. No entanto, seria complicado de levantar esta indeterminação pela Regra de Cauchy, porque se teria de a aplicar cinco vezes. Assim, pode-se recorrer ao Resto de Peano.

Assim, usado a Fórmula de MacLaurin:

Então:

Assim, uma das grandes utilidades do Resto de Peano é o cálculo de limites.

Teorema de Taylor para os extremos

Tal como já foi referido anteriormente, o conjunto dos extremantes locais (de uma função diferenciável em todo o seu domínio) está sempre contido no conjunto dos zeros da sua derivada. A estes pontos (pontos onde a primeira derivada é nula), chamam-se pontos de estacionariedade da função, ou, pontos críticos da função.

Podemos usar o seguinte Teorema para verificar se uma função tem um extremo num ponto:

Seja $f$ uma função de classe $C^n$, $n\ge 1$ numa vizinhança de um ponto $x_0\in\R$ tal que

Então, pode-se concluir o seguinte:

• Se $n$ é par:
  • Se $f^{(n)}(x_0)>0$, $x_0$ é minimizante local
  • Se $f^{(n)}(x_0)<0$, $x_0$ é maximizante local
• Se $n$ é ímpar:
  • Se $f^{(n)}(x_0)>0$, $f$ é crescente numa vizinhança de $x_0$
  • Se $f^{(n)}(x_0)<0$, $f$ é decrescente numa vizinhança de $x_0$

Nada se pode concluir no caso em que uma função tem as derivadas todas nulas num ponto.

👉 A demonstração do teorema encontra-se no PDF da aula 18, páginas 5 a 7.

Concavidade

Pode definir-se formalmente a concavidade de uma função do seguinte modo:

Seja $f$ uma função diferenciável num ponto $x_0\in\R$. Diz-se que:

• $f$ é convexa em $x_0$ se $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\ge0$ nalguma vizinhança de $x_0$. Também se diz, nesse caso, que o gráfico de $f$ tem a concavidade virada para cima.
• $f$ é côncava em $x_0$ se $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\le0$ nalguma vizinhança de $x_0$. Também se diz, nesse caso, que o gráfico de $f$ tem a concavidade virada para baixo.
• $f$ tem um ponto de inflexão em $x_0$ se $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\le0$ numa das semi-vizinhanças laterais de $x_0$ e $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\ge0$ na outra.

Pela definição, não é necessário ter a segunda derivada para calcular a concavidade.

Teorema de Taylor para as concavidades

Seja $f$ uma função de classe $C^n$, $n\ge 2$ numa vizinhança de um ponto $x_0\in\R$, tal que

Então:

• Se $n$ é par
  • Se $f^{(n)}(x_0)>0$, $f$ é convexa em $x_0$
  • Se $f^{(n)}(x_0)<0$, $f$ é côncava em $x_0$
• Se $n$ é ímpar, $f$ tem um ponto de inflexão em $x_0$

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PDFs:

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• Aula 17
• Aula 18