Indução Matemática. Majorantes e Minorantes

Números Naturais e Inteiros

DEFINIÇÃO

Um conjunto é indutivo se satisfaz a seguinte condição:

xA,(x+1)A\forall x \in A, (x+1)\in A

DEFINIÇÃO

O conjunto dos naturais, N0\mathbb{N}_0, define-se como a interseção de todos os conjuntos indutivos que contenham 00. Alguns autores consideram os naturais como a interseção de todos os conjuntos indutivos que contêm 11. É também costume escrever N\mathbb{N} ao invés de N0\mathbb{N}_0.

É bom de relembrar, que nem todos os conjuntos indutivos que contenham 0 são o conjunto dos números naturais. O conjunto C={0,12,1,32,2,...}C=\{0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, ...\} é indutivo, pois obedece à condição acima, mas não corresponde ao conjunto dos números naturais. Por isso é que o definimos como a interseção de todos estes conjuntos que contenham 00.

Esta definição de conjunto dos naturais não inclui os números inteiros negativos, pois como é a interseção de todos os conjuntos indutivos que contenham 00, existe um conjunto como CC definido acima.

DEFINIÇÃO

Chama-se conjunto dos números inteiros ao conjunto Z\mathbb{Z} definido por Z=N0(N+)\mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\cup(-\mathbb{N}^+).

Os números inteiros são a reunião dos inteiros com o simétrico dos inteiros.

Através desta definição, podemos concluir que Z+=N+\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}^+ e Z=N+\mathbb{Z}^-=-\mathbb{N}^+.

Princípio da Indução Matemática

Princípio da Indução Matemática: Sejam nN0n\in \mathbb{N}_0 e P(n)P(n) uma expressão proposicional, ou seja, uma expressão em que para cada nN0n\in \mathbb{N}_0 resulta uma proposição.

Se forem verdadeiras as seguintes proposições:

  • P(0)P(0) (base da indução)
  • (P(n)P(n+1))(P(n)\Rightarrow P(n+1)), para qualquer nN0n\in \mathbb{N}_0 (etapa de indução) então a proposição P(n)P(n) é verdadeira para qualquer nN0n\in \mathbb{N}_0.

Resumidamente, o Princípio da Indução Matemática permite-nos verificar se uma proposição (P(0)P(0)) é verdadeira para todos os números naturais (nN0n\in \mathbb{N}_0).

Exemplo 1
nN0,8n:4n=2nPara n=080:40=201:1=1 Proposic¸a˜o verdadeiraHipoˊtese de induc¸a˜o: 8n:4n=2nTese: 8n+1:4n+1=2n+1 8n+1:4n+1=8×8n4×4n=2×8n:4nHipoˊtese de induc¸a˜o=2×2n=2n+1\forall n\in \mathbb{N}_0, 8^n:4^n=2^n \\ \text{Para } n=0 \rightarrow 8^0:4^0=2^0\Leftrightarrow 1:1=1 \rightarrow \text{ Proposição verdadeira} \\ \text{Hipótese de indução: } 8^n:4^n=2^n\\ \text{Tese: } 8^{n+1}:4^{n+1}=2^{n+1}\\ \text{ }\\ 8^{n+1}:4^{n+1}=\frac{8\times8^n}{4\times4^n}=2\times\underbrace{8^n:4^n}_{\text{Hipótese de indução}}=2\times2^n=2^{n+1}

Logo, como a condição se verifica para n=0n = 0 e é hereditária, esta é verdadeira para nN0n \in \mathbb{N}_0.

Exemplo 2
nN0,k=0n(2k)=2n+11Para n=0k=00(2k)=1 e 20+11=1 Proposic¸a˜o verdadeiraHipoˊtese de induc¸a˜o: k=0n(2k)=2n+11Tese: k=0n+1(2k)=2n+21 k=0n+1(2k)=k=0n(2k)Hipoˊtese de induc¸a˜o+2n+1=2n+11+2n+1==2×2n+11=2n+21\forall n\in \mathbb{N}_0, \sum_{k=0}^{n}(2^k)=2^{n+1}-1 \\ \text{Para } n=0 \rightarrow \sum_{k=0}^{0}(2^k)=1\text{ e }2^{0+1}-1=1\rightarrow \text{ Proposição verdadeira} \\ \text{Hipótese de indução: }\sum_{k=0}^{n}(2^k)=2^{n+1}-1 \\ \text{Tese: } \sum_{k=0}^{n+1}(2^k)=2^{n+2}-1\\ \text{ }\\ \sum_{k=0}^{n+1}(2^k)=\overbrace{\sum_{k=0}^{n}(2^k)}^{\text{Hipótese de indução}}+2^{n+1} =2^{n+1}-1+2^{n+1}=\\ =2\times2^{n+1}-1 =2^{n+2}-1

Logo, como a condição se verifica para n=0n = 0 e é hereditária, esta é verdadeira para nN0n \in \mathbb{N}_0.

Visto que o Princípio da Indução Matemática é recursivo, podemos utilizá-lo para definir várias operações, tais como potências de base aa e expoente natural, fatoriais e somatórios.

DEFINIÇÃO

Potência de base aa e expoente natural nn

Sejam aR\{0}a\in\mathbb{R}\backslash\{0\} e nN0n\in\mathbb{N}_0:

an={1se n=0aan1se n>0a^n=\begin{cases} 1 &\quad\text{se } n=0\\ a\cdot a^{n-1} &\quad\text{se } n>0 \end{cases}

DEFINIÇÃO

Fatorial de um número natural

Seja nN0n\in\mathbb{N}_0:

n!={1se n=0n(n1)!se n>0n! = \begin{cases} 1 &\quad\text{se } n=0\\ n\cdot (n-1)! &\quad\text{se } n>0 \end{cases}

DEFINIÇÃO

Somatório desde pp até nn de termo geral uku_k

Sejam p,nZp,n\in\mathbb{Z} e uku_k uma expressão designatória para que cada kZk\in\mathbb{Z} tal que pknp\le k\le n se transforma num número real:

k=pnuk={upse n=pun+k=pn1ukse n>p\displaystyle\sum_{k=p}^n u_k= \begin{cases} u_p &\quad\text{se } n=p\\ u_n+\displaystyle\sum_{k=p}^{n-1}u_k &\quad\text{se } n>p \end{cases}

Números racionais

O conjunto dos racionais pode ser definido por:

Q={xR:x=pq,pZ,qZ+}\mathbb{Q}=\{x\in\mathbb{R}:x=\frac{p}{q},p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{Z}^+\}

Majorantes e minorantes

Definição de majorantes, minorantes, conjunto majorado, conjunto minorado, conjunto limitado, supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
Seja ARA \subset \mathbb{R}:

  • MRM\in\mathbb{R} é um majorante de AA se para qualquer xAx \in A se tem xMx \le M
  • AA é um conjunto majorado se o conjunto dos majorantes de AA, Maj(A)\text{Maj}(A), é não vazio
  • mRm \in \mathbb{R} é um minorante de AA se para qualquer xAx \in A se tem xmx \ge m
  • AA é um conjunto minorado se o conjunto dos minorantes de AA, Min(A)\text{Min}(A), é não vazio
  • Quando um conjunto é majorado e minorado, diz-se limitado
  • Se AA for majorado e existir um majorante menor que todos os outros chama-se a esse majorante supremo de AA, sup A\text{sup } A
  • Se AA for minorado e existir um minorante maior que todos os outros chama-se a esse minorante ínfimo de AA, inf A\text{inf } A
  • Se existe sup A\text{sup } A e sup AA\text{sup } A\in A diz-se que sup A\text{sup } A é o máximo de AA, max A\text{max } A
  • Se existe inf A\text{inf } A e inf AA\text{inf } A\in A diz-se que inf A\text{inf } A é o mínimo de AA, min A\text{min } A

Axioma do supremo: Qualquer subconjunto dos reais majorado e não vazio tem supremo


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