Integral de Riemann

Suponha-se que ff é uma função contínua que só toma valores positivos. O gráfico de ff pode ser qualquer coisa como:

Riemann

Definindo a função como restrita ao intervalo [1,3][1,3], pretende-se que o integral de ff em [1,3][1,3] dê o valor da área sombreada, isto é, a área da região compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função, quando x[1,3]x\in[1,3].

O problema em definir esta área é como encontrar com rigor o seu valor. Para isso, divide-se a área em retângulos, que têm uma área fácil de calcular.

Pode-se escolher retângulos acima da área, ou abaixo, mas sempre do mesmo tamanho.

Pode verificar-se o seguinte:

  • Em geral, não se obtém exatamente a figura, mas uma região que a aproxima.
  • Quanto menor for a base dos retângulos, melhor é a aproximação.
  • Podem-se escolher retângulos de duas formas:
    • Terem alturas tão grandes quanto possível, sem sair fora da região em causa. Obtém-se uma área total menor que a área que se pretende definir.
    • Terem alturas tão pequenas quanto possível, contendo a região toda. Obtém-se uma área total maior que a área que se pretende definir.
  • A base de cada retângulo (e o número de retângulos) pode ser definida através dos vértices desse retângulo que se encontram sobre o eixo das abcissas.
  • A altura de cada retângulo é definida pelos valores que a função toma (tendo em conta as duas formas de escolher os retângulos, mencionadas acima).

Chega-se assim à ideia de escolher um conjunto finito de pontos do intervalo [a,b][a,b], os quais serão os vértices dos retângulos, e definir a altura de cada retângulo como sendo o maior ou menor valor que a função toma no intervalo correspondente à base do retângulo.

Partição de um Intervalo

Chama-se partição de um intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b, a qualquer conjunto finito de pontos do interior desse intervalo distintos uns dos outros.

Chama-se, naturalmente, cardinal dessa partição ao número de pontos que a formam.

Sendo nN+n\in\N^+ e x1<x2<<xn1x_1<x_2<\dots <x_{n-1} os pontos que formam a partição, chama-se diâmetro dessa partição ao mínimo do conjunto {rkR+:rk=xkxk1,k=1,,n}\{r_k\in\R^+:r_k=x_k-x_{k-1},k=1,\dots,n\}, onde x0=ax_0=a e xn=bx_n=b. Por outras palavras, é o diâmetro da partição é a distância mínima entre dois pontos consecutivos.

Chama-se partição nula à partição vazia, ou seja, com 0 elementos.

Pode-se decompor o intervalo [a,b][a,b] na forma:

[a,b]=[a,x1][x1,x2][xn2,xn1][xn1,b][a,b]=[a,x_1]\cup[x_1,x_2]\cup\dots\cup[x_{n-2},x_{n-1}]\cup[x_{n-1},b]

Uma partição com n1n-1 pontos decompõe o intervalo em nn intervalos.

Soma inferior e soma superior referente a uma partição

Seja ff uma função limitada num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Para cada partição d]a,b[d\subset]a,b[,

d={x1,x2,,xn1},a=x0<xk1<xk<xn=b,k=2,,n1d=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\},\quad a=x_0<x_{k-1}<x_k<x_n=b,\quad k=2,\dots,n-1

Define-se soma superior de ff relativa a dd por:

Sd(f)=k=1n[sup[xk1,xk]f(x)(xkxk1)]S_d(f)=\sum_{k=1}^n\bigg[\sup_{[x_{k-1},x_k]}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\bigg]

Por palavras mais simples, a soma superior de ff relativa a dd é a soma de todos os "retângulos" de base xk1x_{k-1} a xkx_k, com altura correspondente ao maior valor que a função toma nesse intervalo.

Define-se soma inferior de ff relativa a dd por:

sd(f)=k=1n[inf[xk1,xk]f(x)(xkxk1)]s_d(f)=\sum_{k=1}^n\bigg[\inf_{[x_{k-1},x_k]}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\bigg]

Pela definição anterior, sd(f)Sd(f)s_d(f)\le S_d(f).

No caso da partição nula, o diâmetro é o comprimento do intervalo, isto é, bab-a.

Partição mais fina

Dadas duas partições, d1d_1 e d2d_2 de um mesmo intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b, diz-se que d1d_1 é mais fina que d2d_2 se d2d1d_2\subset d_1.

Pode-se pensar que uma partição mais fina d1d_1 tem sempre os mesmos pontos que d2d_ 2, mas ainda pode ter mais alguns, sendo assim o deu diâmetro menor.

Isto resulta no seguinte, considerando d1d_1 mais fina que d2d_2:

  • Sd1(f)Sd2(f)S_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)
  • sd1(f)sd2(f)s_{d_1}(f)\ge s_{d_2}(f)
  • sd2(f)sd1(f)Sd1(f)Sd2(f)s_{d_2}(f)\le s_{d_1}(f)\le S_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)

Pode-se ter que nem d1d_1 é mais fina que d2d_2 nem d2d_2 é mais fina que d1d_1. Pode-se, no entanto, definir uma partição d3d_3 que contenha os pontos de d1d_1 e de d2d_2, e irá ser mais fina que d1d_1 e que d2d_2. Este conceito é definido abaixo como partição sobreposta.

Partição sobreposta

Sejam d1d_1 e d2d_2 duas partições de um mesmo intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Chama-se partição sobreposta a d1d_1 e d2d_2 à partição definida por d3=d1d2d_3=d_1\cup d_2.

A partição sobreposta a d1d_1 e d2d_2 é mais fina do que d1d_1 e d2d_2.

Por esta definição, podemos concluir que para quaisquer duas partições do mesmo intervalo compacto, d1d_1 e d2d_2, é verdade que:

  • sd1(f)Sd2(f)s_{d_1}(f)\le S_{d_2}(f)
  • o conjunto de todas as somas inferiores é majorado por qualquer soma superior, logo tem supremo
  • o conjunto de todas as somas superiores é minorado por qualquer soma inferior, logo tem ínfimo

Integral Superior e Integral Inferior

Seja ff uma função limitada num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Chama-se integral superior de ff em [a,b][a,b] ao número

abf(x) ⁣dx=inf{Sd(f):d eˊ uma partic¸a˜o de [a,b]}\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \overline{\int_a^b}f(x)\d x=\inf\Big\{S_d(f): d\text{ é uma partição de }[a,b]\Big\}

Chama-se integral inferior de ff em [a,b][a,b] ao número

abf(x) ⁣dx=sup{sd(f):d eˊ uma partic¸a˜o de [a,b]}\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \underline{\int_a^b}f(x)\d x=\sup\Big\{s_d(f): d\text{ é uma partição de }[a,b]\Big\}

Logo:

abf(x) ⁣dxabf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \underline{\int_a^b}f(x)\d x\le\overline{\int_a^b}f(x)\d x

Integral de uma função

Seja ff uma função limitada num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Diz-se que a função é integrável se

abf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \underline{\int_a^b}f(x)\d x=\overline{\int_a^b}f(x)\d x

chamando-se, nesse caso, integral de ff em [a,b][a,b] ao valor comum dos integrais superior e inferior,

abf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x=\underline{\int_a^b}f(x)\d x=\overline{\int_a^b}f(x)\d x
Exemplo

Considerando a seguinte função:

f(x)={3sex]2,3]2sex=21sex[1,2[f(x)=\begin{cases} 3&\text{se}&x\in]2,3]\\ 2&\text{se}&x=2\\ 1&\text{se}&x\in[1,2[\\ \end{cases}

Graficamente, a função e o seu integral são representados por

Integral Função

Graficamente conseguimos obter o valor de 4 para o integral (1×1+1×3)(1\times1+1\times3).

Considerando uma partição qualquer do intervalo [1,3][1,3], dd.

Caso 2d2\notin d, considera-se a partição mais fina d{2}d\cup \{2\}. Tem-se também de considerar partições que tenham pelo menos um ponto inferior a 2 e um ponto superior a 2.

Logo, dd é uma partição de [1,3][1,3] constituída pelos pontos

x1,,xp=2,,xn1,xk1<xk,k=1,,n1x_1,\dots,x_p=2,\dots,x_{n-1}\quad,\quad x_{k-1}<x_k,k=1,\dots,n-1

em que x0=1x_0=1, xp=2x_p=2 e xn=3x_n=3.

Então, a soma superior associada a dd é

Sd(f)=k=1p1sup[xk1,xk]f(x)(xkxk1)+sup[xp1,xp]f(x)(xpxp1)+sup[xp,xp+1]f(x)(xp+1xp)+k=p+2nsup[xk1,xk]f(x)(xkxk1)S_{d}(f)=\smartcolor{orange}{\sum_{k=1}^{p-1} \sup _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}+\smartcolor{blue}{\sup _{\left[x_{p-1}, x_{p}\right]} f(x)\left(x_{p}-x_{p-1}\right) \\\quad}+\smartcolor{green}{\sup _{\left[x_{p}, x_{p+1}\right]} f(x)\left(x_{p+1}-x_{p}\right)}+\smartcolor{pink}{\sum_{k=p+2}^{n} \sup _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}

Como em [1,2[[1,2[, o supremo é 1, em [xp1,2][x_{p-1}, 2] é 2, em [2,xp+1][2, x_{p+1}] é 3 e em ]2,3]]2,3] é 3, tem-se que:

Sd(f)=1(xp1x0)+2(2xp1)+3(xp+12)+3(xnxp+1)=(xp1x0)+2(2xp1)+3(xn2)=(xp11)+2(2xp1)+3(32)=6xp1\begin{aligned} S_d(f)&=\smartcolor{orange}{1\cdot(x_{p-1}-x_0)}+\smartcolor{blue}{2(2-x_{p-1})}+\smartcolor{green}{3(x_{p+1}-2)}+\smartcolor{pink}{3(x_n-x_{p+1})}\\ &=(x_{p-1}-x_0)+2(2-x_{p-1})+3(x_n-2)\\ &=(x_{p-1}-1)+2(2-x_{p-1})+3(3-2)\\ &=6-x_{p-1} \end{aligned}

Pela definição de integral superior, como xp1<2x_{p-1}<2, o ínfimo de Sd(f)S_d(f) é 4:

abf(x) ⁣dx=62=4\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \overline{\int_a^b}f(x)\d x=6-2=4

Para as somas inferiores associadas a dd:

sd(f)=k=1p1inf[xk1,xk]f(x)(xkxk1)+inf[xp1,xp]f(x)(xpxp1)+inf[xp,xp+1]f(x)(xp+1xp)+k=p+2ninf[xk1,xk]f(x)(xkxk1)s_{d}(f)=\smartcolor{orange}{\sum_{k=1}^{p-1} \inf _{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}+\smartcolor{blue}{\inf_{\left[x_{p-1}, x_{p}\right]} f(x)\left(x_{p}-x_{p-1}\right) \\\quad}+\smartcolor{green}{\inf_{\left[x_{p}, x_{p+1}\right]} f(x)\left(x_{p+1}-x_{p}\right)}+\smartcolor{pink}{\sum_{k=p+2}^{n} \inf_{\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}

Como em [1,2[[1,2[, o ínfimo é 1, em [xp1,2][x_{p-1}, 2] é 1, em [2,xp+1][2, x_{p+1}] é 2 e em ]2,3]]2,3] é 3, tem-se que:

sd(f)=1(xp1x0)+1(2xp1)+2(xp+12)+3(xnxp+1)=(2x0)+2(xp+12)+3(xnxp+1)=(21)+2(xp+12)+3(3xp+1)=6xp+1\begin{aligned} s_d(f)&=\smartcolor{orange}{1\cdot(x_{p-1}-x_0)}+\smartcolor{blue}{1\cdot(2-x_{p-1})}+\smartcolor{green}{2(x_{p+1}-2)}+\smartcolor{pink}{3(x_n-x_{p+1})}\\ &=(2-x_0)+2(x_{p+1}-2)+3(x_n-x_{p+1})\\ &=(2-1)+2(x_{p+1}-2)+3(3-x_{p+1})\\ &=6-x_{p+1} \end{aligned}

Pela definição de integral inferior, como xp+1>2x_{p+1}>2, o supremo de sd(f)s_d(f) é 4:

abf(x) ⁣dx=62=4\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \underline{\int_a^b}f(x)\d x=6-2=4

Então:

abf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx=4\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x=\underline{\int_a^b}f(x)\d x=\overline{\int_a^b}f(x)\d x=4

Monotonia do integral

Sejam ff e gg duas funções definidas e integráveis num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b, tais que

f(x)g(x),x[a,b]f(x)\le g(x)\quad,\quad \forall_{x\in[a,b]}

Então,

abf(x) ⁣dxabg(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x\le \int_a^b g(x)\d x

É definida uma versão forte para a monotonia do integral mais abaixo.

Teorema da média para funções integráveis

Seja ff uma função limitada e integrável num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Então, existe um λ[inff([a,b]),supf([a,b])]\lambda\in[\inf f([a,b]), \sup f([a,b])] tal que

abf(x) ⁣dx=λ(ba)\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x =\lambda(b-a)

Chama-se ao real λ\lambda a média da função ff no intervalo [a,b][a,b].

O λ\lambda corresponde ao valor que uma função constante teria de ter no intervalo [a,b][a,b] para ter exatamente o mesmo integral que ff, isto é, uma função constante em que a sua integral iria definir um retângulo de lados bab-a e λ\lambda.

A demonstração deste teorema encontra-se no PDF em anexo, página 10.

Teorema da média para funções contínuas

Este teorema é igual ao teorema acima, mas definido através do TVI.

Seja ff uma função contínua num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Então existe c]a,b[c\in]a,b[ tal que

abf(x) ⁣dx=(ba)f(c)\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_a^b f(x)\d x =(b-a)\cdot f(c)

Aditividade do integral - Versão fraca

Seja ff uma função contínua num intervalo compacto [a,b][a,b]. Então, para quaisquer x1,x2,x3[a,b]{x_1,x_2,x_3\in[a,b]}, x1<x2<x3x_1<x_2<x_3, ff é integrável nos intervalos [x1,x2][x_1,x_2] e [x2,x3][x_2, x_3] e tem-se

x1x3f(x) ⁣dx=x1x2f(x) ⁣dx+x2x3f(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_{x_1}^{x_3} f(x)\d x =\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x+\int_{x_2}^{x_3} f(x)\d x

A partir disto, obtém-se as seguintes propriedades:

Seja ff uma função integrável no intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

baf(x) ⁣dx=abf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_{b}^{a} f(x)\d x =-\int_{a}^{b} f(x)\d x
ccf(x) ⁣dx=0,c[a,b]\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_{c}^{c} f(x)\d x =0\quad,\quad c\in[a,b]
Existex1x2f(x) ⁣dx,x1,x2[a,b]\text{Existe}\quad\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x\quad,\quad x_1,x_2\in[a,b]

Integral indefinido de uma função

Seja ff uma função integrável em qualquer subintervalo de um intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Chama-se integral indefinido de ff com origem em x0[a,b]x_0\in[a,b] à função definida por

Fx0(x)=x0xf(t) ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F_{x_0}(x)=\int_{x_0}^{x} f(t)\d t

Continuidade do integral indefinido

Se uma função é integrável num intervalo compacto [a,b][a,b], o integral indefinido, com qualquer origem no intervalo, é sempre uma função contínua em [a,b][a,b].

É definida uma versão forte para o integral indefinido de uma função mais abaixo.

Teorema Fundamental do Cálculo

Seja fC0([a,b])f\in C^0([a,b]), a<ba<b. Então, para qualquer x0[a,b]x_0\in[a,b] o integral indefinido de ff com origem em x0x_0, Fx0F_{x_0}, é uma função diferenciável em ]a,b[]a,b[ e

Fx0(x)=f(x),x]a,b[F'_{x_0}(x)=f(x)\quad,\quad \forall _{x\in]a,b[}

A demonstração deste teorema encontra-se no PDF da aula 24, página 13.

Regra de Barrow

📖 É um corolário do Teorema Fundamental do Cálculo e permite calcular explicitamente integrais.

Seja ff uma função contínua no intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b que admite FF como primitiva, em ]a,b[]a,b[. Então,

abf(x) ⁣dx=F(b)F(a)\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_{a}^{b} f(x)\d x= F(b)-F(a)

A demonstração deste corolário encontra-se no PDF da aula 24, página 13.

Integrabilidade

Critério de integrabilidade

Seja ff uma função limitada num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Então, ff é integrável em [a,b][a,b] se e só se, para qualquer δ>0\delta>0, existe uma partição dd no intervalo [a,b][a,b] tal que Sd(f)sd(f)<δS_d(f)-s_d(f)<\delta.

Também podemos expressar esta definição por Sdn(f)sdn(f)0S_{d_n}(f)-s_{d_n}(f)\to0

Por outras palavras, ff é integrável em [a,b][a,b] se as somas superiores e inferiores de dd forem infinitamente próximas.

Este critério de integrabilidade não é propriamente útil, mas será usado para definir os critérios mais práticos e fáceis de aplicar abaixo.

Integrabilidade das contínuas

Seja ff uma função contínua num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Então, ff é integrável em [a,b][a,b].

Integrabilidade das seccionalmente contínuas

Função seccionalmente contínua

Uma função diz-se seccionalmente contínua num conjunto se ela é contínua em todo o conjunto exceto num número finito de pontos e em qualquer desses pontos tem limites laterais finitos.

Uma função seccionalmente contínua pode ser escrita como a soma de uma função contínua com uma função constante num número finito de intervalos.

Seja ff uma função seccionalmente contínua num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Então, ff é integrável em [a,b][a,b].

Resumindo, qualquer função seccionalmente contínua (o que inclui funções contínuas) em [a,b][a,b] é integrável em [a,b][a,b].

Integrabilidade das monótonas

Seja ff uma função monótona definida num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Então, ff é integrável em [a,b][a,b].

Conjunto com medida de Lebesgue nula

Diz-se que um conjunto CRC\subset\R tem medida de Lebesgue nula se existe uma família de intervalos cuja reunião contém CC e a soma de todos os comprimentos dessa família é arbitrariamente pequena.

Exemplos:

  • Se CRC\subset\R for um conjunto finito, CC tem medida de Lebesgue nula. Tendo CC, NN elementos, basta considerar a família composta pelas NN vizinhanças de raio r=δN+1{r=\frac{\delta}{N+1}}.
  • Se C={un:nN+}C=\{u_n:n\in\N^+\} for o conjunto de termos de uma sucessão, CC tem medida de Lebesgue nula. Basta considerar, para cada unu_n, o intervalo In=]unδ2n+2,un+δ2n+3[I_n=]u_n-\frac\delta{2^{n+2}},u_n+\frac\delta{2^{n+3}}[
  • Se CRC\in\R for um conjunto tal que ]x1,x2[C]x_1,x_2[\subset C, para alguns x1,x2Cx_1,x_2\in C, x1<x2x_1<x_2, então CC não tem medida de Lebesgue nula.

A reunião contável de conjuntos com medida de Lebesgue nula é um conjunto com medida de Lebesgue nula.

Muito informalmente, podemos dizer que qualquer conjunto contável tem medida de Lebesgue nula (mas nem todos os conjuntos com medida de Lebesgue nula são contáveis).

💡 Qualquer propriedade que seja válida em todos os pontos de um conjunto exceto num conjunto de pontos com medida de Lebesgue nula, é válida em quase todos os pontos, e escreve-se q.t.p..

Operações com integrais

Linearidade do operador de integração

Sejam ff e gg duas funções integráveis num dado intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b e α,βR\alpha,\beta\in\R.

Então, αf+βg\alpha f+\beta g é integrável em [a,b][a,b] e

ab(αf+βg)(x) ⁣dx=αabf(x) ⁣dx+βabg(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^b_a(\alpha f+\beta g)(x)\d x=\alpha\int^b_af(x)\d x+\beta\int^b_ag(x)\d x

Integrabilidade do módulo

Seja ff uma função integrável num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b. Então f|f| é integrável em [a,b][a,b] e

abf(x) ⁣dxabf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \bigg|\int^b_af(x)\d x\bigg|\le \int ^b_a|f(x)|\d x

Aditividade do integral no intervalo

Seja ff uma função integrável num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b, e a<c<ba<c<b. Então, ff é integrável em [a,c][a,c] e [c,b][c,b] e

abf(x) ⁣dx=acf(x) ⁣dx+cbf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^b_af(x)\d x=\int^c_af(x)\d x+\int^b_cf(x)\d x

Integral indefinido - Versão forte

Seja ff uma função integrável num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b.

Chama-se integral indefinido de ff com origem em x0[a,b]x_0\in[a,b] à função

F(x)=x0xf(t) ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F(x)=\int^x_{x_0}f(t)\d t

Tem-se, ainda, que FF é uma função contínua em [a,b][a,b] e para quaisquer x0,y0[a,b]x_0,y_0\in[a,b],

Fx0Fy0F_{x_0}-F_{y_0}

é uma função constante.

Monotonia do integral - Versão forte

Sejam ff e gg funções integráveis num intervalo II, tais que

f(x)g(x),q.t.p.f(x)\le g(x)\quad,\quad\text{q.t.p.}

Então,

If(x) ⁣dxIg(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int_If(x)\d x\le\int_Ig(x)\d x

Teorema Fundamental do Cálculo para funções seccionalmente contínuas

Seja ff uma função seccionalmente contínua num intervalo II não degenerado (intervalo degenerado é um intervalo que só contém um único valor).

Então, o integral indefinido de ff com origem em x0Ix_0\in\overline I,

Fx0:IR,Fx0(x)=x0xf(t) ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F_{x_0}:\overline I\to\R\quad,\quad F_{x_0}(x)=\int^x_{x_0}f(t)\d t

é uma função com derivadas laterais em qualquer ponto do seu domínio, tal que

Fd(x)=f(x+)eFe(x)=f(x)F'_d(x)=f(x^+)\quad\text{e}\quad F'_e(x)=f(x^-)

em qualquer ponto xIx\in\overline I onde tenham sentido os limites de ff.

Regra de Barrow para funções seccionalmente contínuas

Seja ff uma função seccionalmente contínua no intervalo não degenerado II e FF uma função contínua no fecho de II cuja derivada coincide com ff em qualquer ponto do interior de II onde ff é contínua. Então,

abf(x) ⁣dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^b_af(x)\d x=\Big[F(x)\Big]^b_a=F(b)-F(a)

Regra de Leibnitz - versão simples

Sejam φ,ψ\varphi,\psi: ]a,b[[c,d]]a,b[\to[c,d] duas funções diferenciáveis e ff uma função contínua em [c,d][c,d].

Então, a função definida em ]a,b[]a,b[ por

F(x)=φ(x)ψ(x)f(t) ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F(x)=\int^{\psi(x)}_{\varphi(x)}f(t)\d t

É diferenciável em qualquer ponto x0]a,b[x_0\in]a,b[ e tem-se:

F(x)=(fψ)(x0)ψ(x0)(fφ)(x0)φ(x0)F'(x)=(f\circ\psi)(x_0)\cdot\psi'(x_0)-(f\circ\varphi)(x_0)\cdot\varphi'(x_0)

Resumidamente, esta regra permite-nos derivar funções definidas por integrais.

Exemplos: Esta regra foi utilizada em alguns exercícios da ficha 9, e os exemplos de aplicação podem ser encontrados no documento "Resolução (Prof).pdf", no exercício 4 d) (página 23), exercício 5 (página 24) e exercício 6 a) (páginas 25 e 26).

Aplicações do Integral

Abaixo redefinem-se alguns conceitos já conhecidos da primitivação, mas agora aplicados à integração.

Integração por Partes

Sejam uu e vv funções contínuas num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b, tais que uu' e vv' são funções seccionalmente contínuas nesse intervalo. Então, uvu'\cdot v e uvu\cdot v' são integráveis em [a,b][a,b] e

abu(x)v(x) ⁣dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^b_au'(x)v(x)\d x=\bigg[u(x)\cdot v(x)\bigg]^b_a-\int^b_au(x)v'(x)\d x

A fórmula da integração por partes é igual à da primitivação, mas tem a vantagem de se simplificar mais, por estamos a calcular valores numéricos e não expressões.

Algumas observações sobre a fórmula da integração por partes:

  • É usual, quando na presença de uma função seccionalmente contínua, calcular separadamente o integral em cada um dos intervalos onde a função é contínua.
  • A fórmula de integração por partes é mais conveniente que a fórmula de primitivação por partes pois ao invés de o segundo integral surgir adicionado a uma função, ele surge adicionado a um número (que até pode ser 0).
Exemplo
01arcsinx ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^1_0\arcsin x \d x
u=1u=x,v=arcsinxv=11x2u'=1\to u=x\quad,\quad v=\arcsin x\to v'=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}

Aplicando a integração por partes:

01arcsenx dx=[xarcsenx]0101x1x2 dx==arcsen(1)01x1x2 dx\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen} x \mathrm{~d} x=[x \operatorname{arcsen} x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\\=\operatorname{arcsen}(1)-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x

Aplicando a fórmula da potência:

01arcsenx dx=π2+12012x1x2 dx=π2+12[(1x2)1212]01=π21\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen} x \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{-2 x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left[\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{\pi}{2}-1

Integração por Substituição

Seja ff uma função seccionalmente contínua num intervalo compacto [a,b][a,b], a<ba<b e φ\varphi uma função regular num intervalo compacto [t0,t1][t_0,t_1], t0<t1t_0<t_1, tal que φ(t0)=a\varphi(t_0)=a e φ(t1)=b\varphi(t_1)=b e (fφ)φ(f\circ\varphi)\cdot\varphi' é seccionalmente contínua em [a,b][a,b]. Então,

abf(x) ⁣dx=t0t1f(φ(t))φ(t) ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^b_af(x)\d x=\int^{t_1}_{t_0}f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\d t

A fórmula da integração por substituição é bastante superior à da Primitivação por substituição, pelo simples facto de não ser ter de desfazer a substituição. A outra diferença é que a integração por substituição não necessita de injetividade.

Algumas observações sobre a fórmula de integração por substituição:

  • A integração por partes é bastante melhor do que a primitivação por partes, pois:
    • Não se impõe que φ\varphi seja injetiva
    • Não é necessário desfazer a substituição. Altera-se a variável de integração, mudam-se os extremos, mas obtém-se uma integral com exatamente o mesmo valor.
  • A integração por substituição é o modo preferencial de mexer nos extremos do integral sem alterar o seu valor.
Exemplos
024x2 ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x

Escolhe-se x=2sintx=2\sin t para efetuar a substituição:  ⁣dx=2cost ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d}\d x=2\cos t\d t

2sin(π4)=2e2sin(0)=02\sin\Big(\frac\pi4\Big)=\sqrt2\quad\text e \quad 2\sin(0)=0
024x2 ⁣dx=0π444sin2t(2cost) ⁣dt=40π4cos2tcost ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x =\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{4-4\sin^2t}\cdot (2\cos t)\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{\cos^2t}\cdot \cos t\d t

Como no intervalo de integração, cosx>0\cos x>0, tem-se que cos2x=cosx\sqrt{\cos^2x}=\cos x:

40π4cos2tcost ⁣dt=40π4cos2t ⁣dt=40π41+cos(2t)2 ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} 4\int^{\frac\pi4}_0\sqrt{\cos^2t}\cdot \cos t\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\cos^2 t\d t =4\int^{\frac\pi4}_0\frac{1+\cos(2t)}{2} \d t

Como a primitiva de 1+cos(2t)2\frac{1+\cos(2t)}{2} é t2+sin(2t)4\frac t 2+\frac{\sin(2t)}4:

024x2 ⁣dx=4[t2+sin(2t)4]0π4=4(π8+14)=π2+1\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^{\sqrt 2}_0\sqrt{4-x^2}\d x =4\Bigg[\frac t2+\frac{\sin(2t)}4\Bigg]^{\frac\pi4}_0=4\bigg(\frac\pi8+\frac14\bigg) =\frac\pi2+1

Seja ff uma função ímpar contínua em [a,a][-a,a], com a>0a>0.

aaf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x
aaf(x) ⁣dx=a0f(x) ⁣dx+0af(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =\int^0_{-a}f(x)\d x+\int^a_0f(x)\d x

Utiliza-se a substituição x=tx=-t, ficando com  ⁣dx= ⁣dt\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \d x= -\d t.

Fazendo a substituição nos extremos:

x=at=a,x=0t=0x=a\longleftrightarrow t=-a\quad,\quad x=0\longleftrightarrow t=0
aaf(x) ⁣dx=a0f(t)(1) ⁣dt+0af(x) ⁣dx=0af(t) ⁣dt+0af(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =\int^0_a f(-t)(-1)\d t+\int^a_0 f(x)\d x =\int^a_0f(-t)\d t+\int^a_0f(x)\d x

Como a função é ímpar, f(t)=f(t)f(-t)=-f(t):

aaf(x) ⁣dx=0af(t) ⁣dt+0af(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x =-\int^a_0f(t)\d t+\int^a_0f(x)\d x

Logo, como os dois integrais são idênticos (a variável é "muda"):

aaf(x) ⁣dx=0\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} \int^a_{-a}f(x)\d x=0

Também podemos resolver este mesmo integral pela Regra de Leibnitz:

F(a)=aaf(x) ⁣dx\def\d{\mathop{}\!\mathrm d} F(a)=\int^a_{-a}f(x)\d x

Deriva-se assim a função:

F(a)=f(a)1f(a)(1)=f(a)+f(a)=f(a)f(a)=0F'(a)=f(a)\cdot 1-f(-a)\cdot(-1)=f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)=0

Logo, é uma função constante, e como é ímpar, F(0)=0F(0)=0

limx00xet21 dtxsinx\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\int^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t}{x\sin x}

Pela Regra de Cauchy:

limx0(0xet21 dt)(xsinx)=limx0ex21sinx+xcosx=limx0(ex21x2xsinxx+cosx)=0\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\left(\int\nolimits ^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t\right) '}{( x\sin x) '} =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^{2}} -1}{\sin x+x\cos x} =\lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{x2} -1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{\frac{\sin x}{x} +\cos x}\right)=0

Logo,

limx00xet21 dtxsinx=0\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\int^{x}_{0} e^{t^{2}} -1\ \mathrm{d} t}{x\sin x}=0


Podemos estudar a monotonia da seguinte função, através da Regra de Leibnitz:

f(x)=0xsin(πt2) dtf( x) =\int ^{x}_{0}\sin\left( \pi t^{2}\right) \ \mathrm{d} t

Efetuando a derivação:

f(x)=sin(πx2)f'( x) =\sin\left( \pi x^{2}\right)

Assim, a função é crescente em:

  • [2nπ,2nπ+π][\sqrt{2n\pi},\sqrt{2n\pi+\pi}], nN+n\in\N^+
  • [2nπ+π,2nπ][-\sqrt{2n\pi+\pi}, -\sqrt{2n\pi}], nN+n\in\N^+
  • [π,π][-\sqrt \pi, \sqrt \pi]

E decrescente em:

  • [2nππ,2nπ][\sqrt{2n\pi-\pi}, \sqrt{2n\pi}], nN+n\in\N^+
  • [2nπ,2nππ][-\sqrt{2n\pi},-\sqrt{2n\pi-\pi}], nN+n\in\N^+

Pode-se usar a Regra de Leibnitz para resolver a equação funcional integral, onde ff é uma função de classe C1(R)C^1(\R):

f2(x)=0x2etf(t) dtf^{2}( x) =\int ^{x}_{0} 2e^{t} f( t) \ \mathrm{d} t

Se as funções forem idênticas, o mesmo se sucede com as suas derivadas, logo:

2f(x)f(x)=2exf(x)2f(x)(f(x)ex)=02f( x) f'( x) =2e^{x} f( x) \Leftrightarrow 2f( x)\left( f'( x) -e^{x}\right) =0

Portanto, temos duas soluções:

  • f(x)=0f(x)=0
  • f(x)=C+exf(x)=C+e^x

Aplicações Geométricas da Noção de Integral

Área de uma região do plano

Seja RR a região do plano definida por

R={(x,y):R2:f(x)<y<g(x)a<x<b}R=\left\{( x,y) :\mathbb{R}^{2} :f( x) < y< g( x) \land a< x< b\right\}

onde ff e gg são duas funções seccionalmente contínuas em [a,b][a,b] tais que f(x)<g(x)f(x)<g(x) para qualquer x[a,b]x\in[a,b].

Chama-se área de RR ao valor do integral

AR=abg(x)f(x) dxA_{R} =\int ^{b}_{a} g( x) -f( x) \ \mathrm{d} x

Para encontrarmos a área de uma região do plano, fazemos a integral da diferença entre a função que delimita a área por cima e a função que delimita a área por baixo.

Caso as funções não cumpram a condição f(x)<g(x)f(x)<g(x) em todo o intervalo, divide-se o intervalo para obtermos sempre a condição f(x)<g(x)f(x)<g(x) ou g(x)<f(x)g(x)<f(x).

A maior partes das vezes, podemos aproveitar noções geométricas já conhecidas (área do círculo, retângulo, etc) e simetrias/repetições para partes da área que se pretendem calcular, diminuindo a complexidade dos cálculos.

Exemplos

Considera-se a região definida por x1<y<1x2x-1<y<1-x^2

Região 1

Não é dada qualquer limitação para xx, mas para a condição fazer sentido,

x1<1x2(x1)(x+2)<02<x<1x-1< 1-x^{2} \Leftrightarrow ( x-1)( x+2) < 0\Leftrightarrow -2< x< 1

Assim, a área da região é dada por:

A=21(1x2)(x1) dx =21x2x+2 dx =[x33x22+2x]21 =(1312+2)(83422) =476\begin{aligned}A & =\int ^{1}_{-2}\left( 1-x^{2}\right) -( x-1) \ \mathrm{d} x\\ & =\int ^{1}_{-2} -x^{2} -x+2\ \mathrm{d} x\\ & =\left[ -\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{2}}{2} +2x\right]^{1}_{-2}\\ & =\left( -\frac{1}{3} -\frac{1}{2} +2\right) -\left(\frac{8}{3} -\frac{4}{2} -2\right)\\ & =\frac{47}{6}\end{aligned}

Considera-se a região definida por 1<y<2cosx,0<x<2π1<y<2\cos x\quad,\quad0<x<2\pi.

Região 2

Apesar de parecer ser dada a variação de xx, a condição 1<2cosx1<2\cos x não se verifica em todo o intervalo. Logo:

1<2cosxcosx>12x[0,π3][5π3,2π]1< 2\cos x\Leftrightarrow \cos x >\frac{1}{2} \Leftrightarrow x\in \left[ 0,\frac{\pi }{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi }{3} ,2\pi \right]

Devido à periodicidade da função cosseno, podemos considerar o intervalo π3<x<π3-\frac\pi3<x<\frac\pi3:

Região 2.1

Assim, a área da região é dada por:

A=π3π32cosx1 dx=20π32cosx1 dx=2[2sinxx]0π3=2(3π3)=232π3\begin{aligned} A & =\int ^{\frac{\pi }{3}}_{-\frac{\pi }{3}} 2\cos x-1\ \mathrm{d} x\\ & =2\int ^{\frac{\pi }{3}}_{0} 2\cos x-1\ \mathrm{d} x\\ & =2\Big[ 2\sin x-x\Big]^{\frac{\pi }{3}}_{0}\\ & =2\left(\sqrt{3} -\frac{\pi }{3}\right)\\ & =2\sqrt{3} -\frac{2\pi }{3} \end{aligned}