Regra de Cauchy

É recomendada a visualização do seguinte vídeo, como suporte aos resumos:

Teorema de Cauchy

Sejam ff e gg duas funções regulares no intervalo [a,b][a,b] tais que g(x)0g'(x)\ne0 para x]a,b[x\in]a,b[. Então, existe c]a,b[c\in ]a,b[ tal que:

f(c)g(c)=f(a)f(b)g(a)g(b)\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}

É de notar que este teorema se obtém a partir do Teorema de Lagrange, visto que, se considerarmos g(x)=xg(x)=x obtemos:

f(c)(c)=f(a)f(b)ab    f(c)=f(a)f(b)ab\frac{f'(c)}{(c)'}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\iff f'(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}

Semi-vizinhança

O conceito de semi-vizinhança já tinha sido definido, mas agora define-se com mais rigor:

Seja aRa\in\R.

Define-se uma semi-vizinhança direita de aa com raio rR+r\in\R^+ como sendo o intervalo:

Vrd(a)=[a,a+r[V_r^d(a)=[a,a+r[

No caso de a=a=-\infin a vizinhança direita de raio rr define-se como sendo:

Vrd()=Vr()V_r^d(-\infin)=V_r(-\infin)

Define-se uma semi-vizinhança esquerda de aa com raio rR+r\in\R^+ como sendo o intervalo:

Vre(a)=]ar,a]V_r^e(a)=]a-r,a]

No caso de a=+a=+\infin a vizinhança esquerda de raio rr define-se como sendo:

Vre(+)=Vr(+)V_r^e(+\infin)=V_r(+\infin)

Note-se que não existem semi-vizinhanças esquerdas de -\infin nem semi-vizinhanças direitas de ++\infin.

Regra de Cauchy (ou Regra de L'Hôpital)

Sejam aR{}a\in\R\cup \{-\infin\} e ff e gg definidas e diferenciáveis no interior de uma semi-vizinhança direita de aa tais que g(x)0g'(x)\ne 0 para qualquer xx no interior dessa semi-vizinhança.

Se

f(a+)=g(a+)=0ouf(a+)=g(a+)=+f(a^+)=g(a^+)=0\quad\text{ou}\quad |f(a^+)|=|g(a^+)|=+\infin

e existe o limite

limxa+f(x)g(x)=LR\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R

então existe o limite de fg\frac f g em aa à direita e

limxa+f(x)g(x)=L\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L

O mesmo aplica-se para o limite à esquerda.

👉 É de salientar que em aa, o valor de g(a)g'(a) pode ser nulo, apenas na semi-vizinhança é que não pode ser.

warning

Esta regra existe várias condições. Caso o limite limxa+f(x)g(x)=LR\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R não exista, nada de pode concluir sobre o limite em estudo.

Regra de Cauchy para limites não laterais

Existe um corolário da Regra de Cauchy que permite calcular limites não laterais

Seja aRa\in\R e ff e gg diferenciáveis em Vr(a)\{a}V_r(a)\backslash \{a\}, para algum rR+r\in\R^+, tais que g(x)0g'(x)\ne 0 para xVr(a)\{a}x\in V_r(a)\backslash\{a\}.

Então, se:

limxaf(x)=limxag(x)=0oulimxaf(x)=limxag(x)=+\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to a} |f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=+\infin

e existe o limite

limxaf(x)g(x)=LR\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R

então o limite de fg\frac fg em aa existe e

limxaf(x)g(x)=L.\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.
Aplicação da Regra de Cauchy

Exemplo 1

Comece-se pelo cálculo do limite

limx0+cosx1x2.\lim_{x\to 0^+} \frac{cos x − 1}{x^2}.

Facilmente se verifica que as funções f(x)=cosx1 e g(x)=x2f(x) = cos x − 1 \text{ e } g(x) = x^2 satisfazem os requisitos de regularidade do teorema já que ambas são diferenciáveis em R\R e a derivada de gg só se anula em 0. Na verdade, estes requisitos são, quase sempre, imediatamente verificados pelo que não são, geralmente, referidos no cálculo, desde que cumpridos. Também os requisitos dos limites de ff e gg são cumpridos já que

limx0+(cosx1)=0elimx0+x2=0.\lim_{x\to 0^+} (cos x − 1) = 0 \quad \text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} x^2 = 0.

Falta, portanto verificar se o limite do quociente das derivadas existe. Tem-se

limx0+(cosx1)(x2)=limx0+senx2x=12limx0+senxx=12.\lim_ {x\to 0^+} \frac{(cos x - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to 0^+} \frac{- sen x}{2x} = − \frac{1}{2} \lim_{x\to 0^+} \frac{sen x}{x} = - \frac{1}{2}.

Como também esta condição é verificada, vem que

limx0+cosx1x2=12.\lim_{x\to 0^+} \frac{cos x − 1}{x^2} = - \frac{1}{2}.

Exemplo 2

Seguidamente estuda-se um caso em que a Regra de Cauchy é aplicada sucessivamente. Considere-se, então, o caso do limite

limx0ex1xx22x3\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}

Novamente, as condições sobre a regularidade e os limites das duas funções são trivialmente verificadas, já que se trata de uma indeterminação 00\frac{0}{0}. Falta, portanto, verificar a condição sobre o limite do quociente das derivadas. Calculando esse limite obtém-se

limx0(ex1xx22)(x3)=limx0ex1x3x2\lim_{x\to 0} \frac{(e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2})'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac {e^x - 1 - x}{3 x^2}

que ainda é uma indeterminação do mesmo tipo. Esta situação é bastante diferente do exemplo anterior em que o limite não existia. Apesar de não ser possível, para já, aplicar a Regra de Cauchy, obteve-se um quociente de funções que é uma indeterminação do mesmo tipo, mas com funções mais simples, pois os graus dos polinómios baixaram. As observações anteriores sugerem que se tente aplicar a Regra e Cauchy a este novo limite, na esperança de levantar a indeterminação. Verificam-se sumariamente as restantes condições, já que continua a ser um a indeterminação do mesmo tipo, e tenta-se calcular o limite do quociente das derivadas, vindo

limx0(ex1x)(3x2)=limx0ex16x=16.\lim_{x\to 0} \frac{(e^x - 1 - x)'}{(3 x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{6x} = \frac{1}{6}.

Como este último limite existe, pode aplicar-se a Regra e Cauchy para obter o limite

limx0ex1x3x2=16,\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{3 x^2} = \frac{1}{6},

e, como este existe, pode aplicar-se, novamente, a Regra de Cauchy para obter o limite

limx0ex1xx22x3=16.\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{ 2}}{x^3} = \frac{1}{6}.

Existem mais alguns exemplos nas páginas 5 a 10 do PDF da aula 16 abaixo.


PDFs: